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不等式的性质公式.docx
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不等式的性质公式
不等式的性质公式
(经典版)
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不等式的性质公式
这是不等式的性质公式,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。
不等式的性质公式第1篇
教学目的
掌握不等式的基本性质,会用不等式的基本性质进行不等式的变形。
教学过程
师:
我们已学过等式,不等式,现在我们来看两组式子(教师出示小黑板中的两组式子),请同学们观察,哪些是等式?
哪些是不等式?
第一组:
1+2=3;a+b=b+a;S=ab;4+x=7.
第二组:
-71+4;2x≤6,a+2≥0;3≠4.
生:
第一组都是等式,第二组都是不等式。
师:
那么,什么叫做等式?
什么叫做不等式?
生:
表示相等关系的式子叫做等式;表示不等式的式子叫做不等式。
师:
在数学炽,我们用等号“=”来表示相等关系,用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系,其中“>”和“<”表示大小关系。
表示大小关系的'不等式是我们中学教学所要研究的。
前面我们学过了等式,同学们还记得等式的性质吗?
生:
等式有这样的性质:
等式两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以(除数不为零)同一个数,所得到的仍是等式。
师:
很好!
当我们开始研究不等式的时候,自然会联想到,是否有与等式相类似的性质,也就是说,如果在不等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除经(除数不为零)同一个数,结果将会如何呢?
让我们先做一些试验练习。
练习1(回答)用小于号“”填空。
不等式的性质公式第2篇
教学目标:
1.理解不等式的性质,掌握不等式的解法.
2能熟练的应用不等式的基本性质进行不等式的变形.
教学重点:
不等式的性质和解法.
教学难点:
不等号方向的确定.
教法:
演示法、
学法:
类比法
复习:
1.什么是不等式?
不等式的解?
用“>”或“<”表示大小关系的式子叫做不等式.
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解
2.什么是不等式解集?
能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.
一、情境引入
(1)观察:
用“”填空,并找一找其中的规律.
5>35+2___>_3+2
5-2__>__3-2
(2)-1 -1-3__ (3)6>26X3__>__2X3
6÷2___>_2÷2
(4)-2 (-2)÷2__ 当不等式的两边乘以同一个正数时,不等号的方向不变.
(5)6>26x(-2)___ 6÷(-2)___ (6)-2 (-2)÷(-2)_>___4÷(-2)
当不等式的两边除以同一个负数时,不等号的方向改变
二、互动新授
不等式性质1:
不等式两边加(或减)同一个数(或式子,不等号的方向不变。
a>b,那么a±c>b±c
不等式的性质公式第3篇
教学目标
1.理解不等式的性质,掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系,并掌握它们的证明方法以及功能、运用;
2.掌握两个实数比较大小的一般方法;
3.通过不等式性质证明的学习,提高学生逻辑推论的能力;
4.提高本节内容的学习,;培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度;
教学建议
1.教材分析
(1)知识结构
本节首先通过数形结合,给出了比较实数大小的方法,在这个基础上,给出了不等式的性质,一共讲了五个定理和三个推论,并给出了严格的证明。
(2)重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中,联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法,复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线,无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用,不等式的证明和解一些简单的不等式,无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小,不等式的`五个定理和三个推论;难点是不等式的性质成立的条件及其它的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点,从实数与数轴上的点一一对应出发,与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法:
比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论,是从证明过程安排顺序的.从这几个性质的分类来说,可以分为三类:
(Ⅰ)不等式的理论性质:
(对称性)
(传递性)
(Ⅱ)一个不等式的性质:
(n∈N,n>1)
(n∈N,n>1)
(Ⅲ)两个不等式的性质:
2.教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能,训练学生的推理能力.为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础.
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式.通过问答形式不断地给学生设置疑问(即:
设疑);对教学难点,再由讲授形式解决疑问.(即:
解疑).主要思路是:
教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑.
教学过程可分为:
发现定理、定理证明、定理应用,采用由形象思维到抽象思维的过渡,发现定理、证明定理.采用类比联想,变形转化,应用定理或应用定理的证明思路;解决一些较简单的证明题.
第一课时
教学目标
1.掌握实数的运算性质与大小顺序间关系;
2.掌握求差法比较两实数或代数式大小;
3.强调数形结合思想.
教学重点
比较两实数大小
教学难点
理解实数运算的符号法则
教学方法
启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,在数轴上不同的两点中,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如,在右图中,点A表示实数,点B表示实数,点A在点B右边,那么.
我们再看右图,表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地:
若,则是正数;逆命题也正确.
类似地,若,则是负数;若,则.它们的逆命题都正确.
这就是说:
(打出幻灯片1)
由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了,这也是我们这节课将要学习的主要内容.
二、讲授新课
1.比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数与的大小,归结为判断它们的差的符号,而这又必然归结到实数运算的符号法则.
比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号.
接下来,我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.
2.例题讲解
例1比较与的大小.
分析:
此题属于两代数式比较大小,实际上是比较它们的值的大小,可以作差,然后展开,合并同类项之后,判断差值正负,并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.
解:
∴
例2已知,比较(与的大小.
分析:
此题与例1基本类似,也属于两个代数式比较大小,但是其中的x有一定的限制,应该在对差值正负判断时引起注意,对于限制条件的应用经常被学生所忽略.
由得,从而
请同学们想一想,在例2中,如果没有这个条件,那么比较的结果如何?
(学生回答:
若没有这一条件,则,从而大于或等于)
为了使大家进一步掌握求差比较法,我们来进行下面的练习.
三、课堂练习
1.比较的大小.
2.如果,比较的大小.
3.已知,比较与的大小.
要求:
学生板演练习,老师讲评,并强调学生注意加限制条件的题目.
课堂小结
通过本节学习,大家要明确实数运算的符号法则,掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.
课后作业
习题6.11,2,3.
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1.求差比较法例1学生
……
例2板演
……
不等式的性质公式第4篇
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节教学的重点是不等式的三条基本性质.难点是不等式的基本性质3.掌握不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式(组)的解法等后续知识的基础.
1.不等式的概念
用不等号(“”或“≠”表示不等关系的式子,叫做不等式.
另外,(“≥”是把“>”、“=”)结合起来,读作“大于或等于”,或记作“≮”,亦即“不小于”)、(“≤”是把“ 2.当不等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时,所得结果仍是不等式.但变形所得的不等式中不等号的方向,有的与原不等式中不等号的方向相同,有的则不相同.因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”,而应明确变形所得的不等式中不等号的方向.
3.不等式成立与不等式不成立的意义
例如:
在不等式中,字母表示未知数.当取某一数值时,的值小于2,我们就说当时,不等式成立;当取另外某一个数值时,的值不小于2,我们就说当时,不等式不成立.
4.不等式的三条基本性质是不等式变形的重要依据,性质1、2类似等式性质,不等号的方向不改变,性质3不等号的方向改变,这是不等式独有的性质,也是初学者易错的地方,因此要特别注意.
一、素质教育目标
(-)知识教学点
1.了解不等式的意义.
2.理解什么是不等式成立,掌握不等式是否成立的判定方法.
3.能依题意准确迅速地列出相应的不等式.
(二)能力训练点
1.培养学生运用类比方法研究相关内容的能力.
2.训练学生运用所学知识解决实际问题的能力.
(三)德育渗透点
通过引导学生分析问题、解决问题,培养他们积极的参与意识,竞争意识.
(四)美育渗透点
通过不等式的学习,渗透具有不等量关系的数学美.
二、学法引导
1.教学方法:
观察法、引导发现法、讨论法.
2.学生学法:
只有准确理解不等号的几种形式的意义,才能在实际中进行灵活的运用.
三、重点·难点·疑点及解决办法
(一)重点
掌握不等式是否成立的判定方法;依题意列出正确的不等式.
(二)难点
依题意列出正确的不等式
(三)疑点
如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号.
(四)解决方法
在正确理解不等号的意义后,通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式.
四、课时安排
一课时.
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片.
六、师生互动活动设计
1.创设情境,通过复习有关等式的知识,自然导入新课的学习,激发学生的学习热情.
2.从演示的有关实验中,探究相应的不等量关系,从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式.
3.从师生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识,并培养学生具有一定的灵活应用能力.
七、教学步骤
(一)明确目标
本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式.
(二)整体感知
通过复习等式创设情境,自然过渡到不等式的学习过程中,又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系,从而列出正确的不等式.
(三)教学过程
1.创设情境,复习导入
我们已经学过等式和它的基本性质,请同学们观察下面习题,思考并回答:
(1)什么是等式?
等式中“=”两侧的代数式能否交换?
“=”是否具有方向性?
(2)已知数值:
-5,,3,0,2,7,判断:
上述数值哪些使等式成立?
哪些使等式不成立?
学生活动:
首先自己思考,然后指名回答.
教师释疑:
①“=”表示相等关系,它没有方向性,等号两例可以相互交换,有时不交换只是因为书写习惯,例如方程的解.
②判断数取何值,等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程的解,因为等式为一元一次方程,它只有惟一解,所以等式只有在时成立,此外,均不成立.
【教法说明】设置上述习题,目的是使学生温故而知新,为学习本节内容提供必要的知识准备.
2.探索新知,讲授新课
不等式和等式既有联系,又有区别,大家在学习时要自觉进行对比,请观察演示实验并回答:
演示说明什么问题?
师生活动:
教师演示课本第54页天平称物重的两个实例(同时指出演示中物重为克,每个砝码重量均为1克),学生观察实验,思考后回答:
演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等.
【教法说明】结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识,能激发学生的学习兴趣.
在实际生活中,像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的,这种关系需用不等式来表示.那么什么是不等式呢?
请看:
,,
,,
提问:
(l)上述式子中有哪些表示数量关系的符号?
(2)这些符号表示什么关系?
(3)这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗?
(4)什么叫不等式?
学生活动:
观察式予,思考并回答问题.
答案:
(1)分别使用“”“≠”.
(2)表示不等关系.(3)不可以随意互换位置.(4)用不等号表示不等关系的式子叫不等式.
不等号除了“”“≠”之外,还有无其他形式?
学生活动:
同桌讨论,尝试得到结论.
教师释疑:
①不等号除“”“≠”外,还有“≥”“≤”两种形式(“≥”是指“>”与“=”结合起来,读作“大于或等于”,也可理解成“不小于”;同理“≤”读作“小于或等于”,也可理解成“不大于”.)现在,我们来研究用“>”“ ②不等号“>”“ 【教法说明】①通过学生自己观察思考,进而猜测出不等式的意义,这种教法充分发挥了学生的主体作用.
②通过教师释疑,学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解.
3.尝试反馈,巩固知识
同类量之间的大小关系常用“>”“
(1)用“”境空.(抢答)
①4___-6;②-1____0③-8___-3;④-4.5___-4.
(2)用不等式表示:
①是正数;②是负数;③与3的和小于6;④与2的差大于-1;⑤的4倍大于等于7;⑥的一半小于3.
(3)学生独立完成课本第55页例1.
注意:
不是所有同类量都可以比较大小,例如不在同一直线上的两个力,它们只有等与不等关系,而无大小关系,这一点无需向学生说明.
学生活动:
第(l)题抢答;第
(2)题在练习本上完成,由两个学生板演,完成之后,由学生
判断板演是否正确
教师活动:
巡视辅导,统计做题正确的人数,同时给予肯定或鼓励.
【教法说明】①第
(1)题是为了调动积极性,强化竞争意识;第
(2)题则是为了训练学生书面表述能力.
②教学时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号,例如“小于”用“ 下面研究什么使不等式成立,请同学们尝试解答习题:
已知数值;-5,,3,0,2,-2.5,5.2;
(1)判断:
上述数值哪些使不等式成立?
哪些使不成立?
(2)说出几个使不等式成立的的数值;说出几个使不成立的数值.
学生活动:
同桌研究讨论,尝试得到答案.
教师活动:
引导学生回答,使未知数的取值不仅有正整数,还有负数、零、小数.
师生总结:
判定不等式是否成立的方法就是:
如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致,称不等式成立;否则不成立.例如对于;当时,的值小于6,就说时不等式成立;当时,的值不小于6,就说时,不成立.
【教法说明】通过学生自己举例,培养他们运用已有的知识探索新知识的意识,同时也活跃了课堂气氛.
4.变式训练,培养能力
(1)当取下列数值时,不等式是否成立?
-7,0,0.5,1,,10
(2)①用不等式表示:
与3的和小于等于(不大于)6;
②写出使上述不等式成立的几个的数值;
③取何值时,不等式总成立?
取何值时不成立?
学生在练习本上完成1题,2题,同桌订正;教师抽查,强调注意事项.
【教法说明】
①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个,为6.2讲解不等式的解集做准备.
②强化思维能力和归纳总结能力.
(四)总结、扩展
学生小结,师生共同完善:
本节课的重点内容:
1.掌握不等式是否成立的判断方法;2.依题意列出正确的不等式.
注意:
列不等式时,要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示.例如“不大于”用“≤”表示,而不用“ 八、布置作业
(一)必做题:
P61A组1,2,3.
(二)选做题:
1.单项选择
(1)绝对值小于3的非负整数有()
A.1,2B.0,1C.0,1,2D.0,1,3
(2)下列选项中,正确的是()
A.不是负数,则
B.是大于0的数,则
C.不小于-1,则
D.是负数,则
2.依题意列不等式
(1)的3倍与7的差是非正数
(2)与6的和大于9且小于12
(3)A市某天的最低气温是-5℃,最高气温是10℃,设这天气温为℃,则满足的条件是____________________.
【设计说明】1.再现本节重点,巩固所学知识.
2.有层次性地布置作业,可以调动全体学生的学习积极性,这也是实施素质教育的具体体现.
参考答案
1.,>, 2.5.2,6,8.3,11是的解,-10,-7,-4.5,0,3不是解
3.
(1)
(2)(3)(4)
(二)1.
(1)C
(2)D
2.
(1)
(2)(3)
九、板书设计
6.1不等式和它的基本性质
(一)
一、什么叫不等式?
用:
“>”“ 重点研究“>”“ 二、依题意列不等式
“大于”“>”;“小于”“ 三、不等式能否成立
时,(√);时,(X);
时,(X)
四、归纳总结重点
(一)依题意列不等式.
(二)会判断不等式是否成立.
十、背景知识与课外阅读
费马数
费马(P.deFermat)是17世纪法国著名数学家,是法国南部土鲁斯议会的议员,他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献.他无意发表自己的著作,平生没有完整的著作问世.去世后,人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中,以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书.费马特别爱好数论,在这方面有好几项成就,如费马数、费马小定理、费马大定理等.
费马于1640年前后,在验算了形如
的数当的值分别为
3,5,17,257,65537
后(请注意这些数均为质数)便宣称:
对于为任何自然数,是质数.
大约过了100年,1732年数学家欧拉(L.Euler)指出
.
从而否定了费马的上述结论(猜想).
尔后,人们又对进行了大量研究,发现在中,除了上述五个质数外,人们尚未再发现新的质数.
虽然费马的这个猜想是错误的,但为了纪念这位数学家,人们仍把这种形式的数叫做费马数.
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