北京海淀北京57中高一下期中数学真题卷.docx
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北京海淀北京57中高一下期中数学真题卷
2016-2017学年度第二学期期中测试
高一年级数学学科
一、选择题
1.已知是第四象限角,,则().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵,
∴即,
又,
∴,
∵是第四象限角,
∴.
故选.
2.不等式的解集是().
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】等价于,即,
∴,解得或,
∴不等式的解集是.
故选.
3.已知数列的前项和为,,,则().
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】∵,
∴,
两式相减,可得,即,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴.
故选.
4.已知为等差数列,,,以表示的前项和,则使得达到最大值的是().
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,
由题意可得,,,
∴,
解得,
∴,
∴当时,达到最大值.
故选.
5.设是等差数列,下列结论中正确的是().
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
【答案】C
【解析】项,,,若,则不成立,故错误;
项,若,则,当时,不一定成立,故项错误;
项,若,则,故项错误;
项,∵,,当时,,故项错误.
故选.
6.已知函数,若,,则().
A.B.
C.D.与的大小不能确定
【答案】A
【解析】已知二次函数的图象开口向上,且对称轴为,
∵,
∴,
∴与的中点在之间,
又,
∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离,
∴.
故选.
7.如果正数,,,满足,那么().
A.,且等号成立时,,,的取值唯一
B.,且等号成立时,,,的取值唯一
C.,且等号成立时,,,的取值不唯一
D.,且等号成立时,,,的取值不唯一
【答案】A
【解析】∵,是正数,
∴根据基本不等式有,
则,当且仅当时,等号成立,
∵,是正数,
∴根据基本不等式有,
则,当且仅当时等号成立,
又∵,,,满足,
∴当且仅当时等号成立,
∴,,
∴,当且仅当时等号成立.
故选.
8.设,满足约束条件,若目标函数的值是最大值为,则的最小值为().
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
作出不等式组所表示的平面区域,如图所示,
当直线过直线与直线的交点时,
目标函数取得最大值,
即,即,故.
∴,
的最小值为.
故选.
二、填空题
9.数列满足,且对任意的,,都有,则__________;的前项和__________.
【答案】;
【解析】由题意满足,且任意的,,有,
令得,即,
∴数列是以为首项,为公比的等比数列,
∴,.
10.在中,角,,的对边分别为,,,若,,,则__________.
【答案】或
【解析】∵在中,,,,
∴根据余弦定理,得,
化简得,即,
∴或.
11.已知函数,项数为的等差数列满足,且公差,若,则当__________时,.
【答案】
【解析】函数是奇函数,故图象关于原点对称,图象过原点.
而等差数列有项,,
由等差数列的性质可得,
所以,
则必有,
故.
12.已知,,是等差数列,那么__________;的最大值为__________.
【答案】;
【解析】∵,,是等差数列,
∴,
∴.
由基本不等式可得,
当且仅当时取等号,
故的最大值为.
13.已知函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则__________.
【答案】
【解析】的图象在轴右侧的第一个对称轴为,,,
∴图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为,
故.
14.对于数列,定义数列如下:
对于正整数,是使得不等式成立的所有中的最小值.
()设是单调递增数列,若,则__________.
()若数列的通项公式为,,则数列的通项是__________.
【答案】().
().【注意有文字】
【解析】()∵是单调递增数列,,
∴当时,,
∴使成立的的最小值为,
故.
()设,则,,
所以满足的最小的为(其中表示不超过的最大整数),
即,即当是奇数时,,当是偶数时,,
故.【注意有文字】
三、解答题
15.(本小题满分分)
已知函数的最小正周期为.
()求的值.
()求在区间上的最大值和最小值.
【答案】见解析.
【解析】解:
()∵
,
∴的最小正周期,
解得.
()由()得,
∵,
∴,
∴当,即时,取得最大值;
当,即时,取得最小值.
16.(本小题满分分)
已知等比数列中,,.
()若为等差数列,且满足,,求数列的通项公式.
()若数列满足,求数列的前项和.
【答案】见解析.
【解析】解:
()设等比数列的公比为,则由,得:
,
解得,
∴,
根据题意,在等差数列中,
,,
可得公差,
∴.
()若数列满足,
则,
∴,
∴数列的前项和
.
17.(本小题满分分)
如图所示,在四边形中,,且,,.
()求的面积.
()若,求的长.
【答案】见解析.
【解析】解:
()∵,,
∴,
∴,
∴的面积.
()∵在中,,,,
∴由余弦定理可得,
∴,
在中,,,,
∴由余弦定理可得,
即,
化简得,
解得.
18.(本小题共分)
已知函数.
()解关于的不等式.
()若在区间上恒成立,求实数的取值范围.
【答案】见解析.
【解析】解:
()由得,即,
当,即时,原不等式的解为或,
当,即时,原不等式的解为,
当,即时,原不等式的解为或.
综上所述,当时,原不等式的解集为或;
当时,原不等式的解集为且;
当时,原不等式的解集为或.
()由在区间上恒成立,得在区间上恒成立,
∴在上恒成立,
令,,则,
∵,
∴,
∴,
即实数的取值范围是.
19.(本小题共分)
已知数列满足:
,.
()求,,的值.
()求证:
数列是等比数列.
()令,如果对任意,都有,求实数的取值范围.
【答案】见解析.
【解析】解:
()由题意,,,,
计算得,,.
()由题意可得,,
,
两式相减,可得,即,
∴,
又,
∴数列是以为首项,以为公比的等比数列.
()由()可得,,
∴,
由,得;
由可得,
∴,
∴数列有最大值,
∴对任意,有,
根据题意,对任意的,有,即恒成立,
则有,即,
解得或.
故实数的取值范围是.
20.(本小题共分)
已知数集具有性质对任意的,,,使得成立.
()分别判断数集与是否具有性质,并说明理由.
()求证:
.
()若,求数集中所有元素的和的最小值.
【答案】见解析.
【解析】解:
()∵,
∴数集不具有性质.
∵,,,
∴数集具有性质.
()∵集合具有性质即对任意的,,使得成立,
又,,
∴,,
∴,,
∴,
即,,,,
将上述不等式相加得,
化简得.
()最小值为.
首先注意到,根据性质,得到,
所以易知数集的元素都是整数,
构造或者,这两个集合具有性质,此时元素和为.
下面,证明是最小的和.
假设数集,满足最小(存在性显然,因为满足的数集只有有限个).
第一步:
首先说明集合中至少有个元素:
由()可知,,,,
又,
∴,,,,,,
∴.
第二步:
证明,,,
若,设,
∵,为了使最小,
在集合中一定不含有元素,使得,
从而;
若,根据性质,对,有,,使得,
显然,
∴,
此时集合中至少有个不同于,,的元素,
从而,矛盾,
∴,进而,,且.
同理可证:
若,则.
假设,
∵,根据性质,有,,使得,
显然,
∴,
此时集合中至少还有个不同于,,,的元素,
从而,矛盾,
∴,且,
同理可证:
若,则.
假设,
∵,根据性质,有,,使得,
显然,
∴,
此时集合中至少还有个不同于,,,,的元素,
从而,矛盾,
∴,且.
至此,我们得到,,,,,
根据性质,有,,使得,我们需要考虑如下几种情形:
①,,此时集合中至少还需要一个大于等于的元素,才能得到元素,则;
②,,此时集合中至少还需要一个大于的元素,才能得到元素,则;
③,,此时集合,;【注意有文字】
④,,此时集合,.
综上所述,若,则数集中所有元素的和的最小值是.
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