理学优化模型教案三四章58次课.docx
- 文档编号:1143140
- 上传时间:2022-10-17
- 格式:DOCX
- 页数:53
- 大小:860.25KB
理学优化模型教案三四章58次课.docx
《理学优化模型教案三四章58次课.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《理学优化模型教案三四章58次课.docx(53页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
理学优化模型教案三四章58次课
第5-8次课6学时
本次课教学难点:
简单优化模型、规划模型的推导
教学重点:
简单优化模型、规划模型的推导、理解和应用
本次课教学内容
3.1存贮模型
3.2生猪的出售时机
3.3森林救火
3.4最优价格
3.5血管分支
3.6消费者均衡
3.7冰山运输
4.1奶制品的生产与销售
4.2自来水输送与货机装运
4.3汽车生产与原油采购
4.4接力队选拔和选课策略
4.5饮料厂的生产与检修
4.6钢管和易拉罐下料
教学方法及工具
以多媒体为载体进行讲授式启发式教学。
教学过程
静态优化模型
·现实世界中普遍存在着优化问题
·静态优化问题指最优解是数(不是函数)
·建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数
·求解静态优化模型一般用微分法
3.1存贮模型
问题:
配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件,生产准备费5000元,贮存费每日每件1元。
试安排该产品的生产计划,即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。
要求:
不只是回答问题,而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析与思考
每天生产一次,每次100件,无贮存费,准备费5000元。
每天费用5000元
·日需求100件,准备费5000元,贮存费每日每件1元。
平均每天费用950元
·10天生产一次,每次1000件,贮存费900+800+…+100=4500元,准备费5000元,总计9500元。
·50天生产一次,每次5000件,贮存费4900+4800+…+100=122500元,准备费5000元,总计127500元。
平均每天费用2550元
10天生产一次平均每天费用最小吗?
•周期短,产量小贮存费少,准备费多
•周期长,产量大准备费少,贮存费多
存在最佳的周期和产量,使总费用(二者之和)最小
•这是一个优化问题,关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
模型假设
1.产品每天的需求量为常数r;
2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2;
3.T天生产一次(周期),每次生产Q件,当贮存量为零时,Q件产品立即到来(生产时间不计);
4.为方便起见,时间和产量都作为连续量处理。
建模目的
设r,c1,c2已知,求T,Q使每天总费用的平均值最小。
模型建立(离散问题连续化)
贮存量表示为时间的函数q(t)
t=0生产Q件,q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减,q(T)=0.
一周期贮存费为
一周期总费用:
每天总费用平均值(目标函数):
模型求解
求T使,,
模型分析
,,
模型应用
c1=5000,c2=1,r=100
·回答问题:
T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)
·经济批量订货公式(EOQ公式)
用于订货、供应、存贮情形
每天需求量r,每次订货费c1,每天每件贮存费c2,T天订货一次(周期),每次订货Q件,当贮存量降到零时,Q件立即到货。
,
不允许缺货的存贮模型
·问:
为什么不考虑生产费用?
在什么条件下才不考虑?
允许缺货的存贮模型
当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货,造成损失
原模型假设:
贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)
现假设:
允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足
周期T,t=T1贮存量降到零
一周期贮存费:
一周期缺货费:
一周期总费用:
每天总费用平均值(目标函数):
求T,Q使
,为与不允许缺货的存贮模型相比,T记作T’,Q记作Q’
,
允许缺货模型:
,
不允许缺货模型:
,
记,
不允许缺货,,
允许缺货模型:
,
注意:
缺货需补足
Q′~每周期初的存贮量
每周期的生产量R(或订货量):
,
Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
3.2生猪的出售时机
问题:
饲养场每天投入4元资金,用于饲料、人力、设备,估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。
市场价格目前为每千克8元,但是预测每天会降低0.1元,问生猪应何时出售。
如果估计和预测有误差,对结果有何影响。
分析:
投入资金使生猪体重随时间增加,出售单价随时间减少,故存在最佳出售时机,使利润最大
求t使Q(t)最大
10天后出售,可多得利润20元
建模及求解
估计r=2,g=0.1
若当前出售,利润为80×8=640(元)
t天出售:
生猪体重w=80+rt销售收入R=pw
出售价格p=8-gt资金投入C=4t
利润Q=R-C=pw-C
求t使Q(t)最大,
Q(10)=660>640,10天后出售,可多得利润20元
敏感性分析
研究r,g变化时对模型结果的影响
估计r=2,g=0.1
·设g=0.1不变,
t对r的(相对)敏感度,
生猪每天体重增加量r增加1%,出售时间推迟3%。
估计r=2,g=0.1
研究r,g变化时对模型结果的影响
·设r=2不变
t对g的(相对)敏感度
,
生猪价格每天的降低量g增加1%,出售时间提前3%。
强健性分析
研究r,g不是常数时对模型结果的影响
每天利润的增值每天投入的资金
保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售
由S(t,r)=3,若(10%),则(30%)
建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。
w=80+rt→w=w(t)
p=8-gt→p=p(t)
若(10%),则(30%)
3.3森林救火
问题:
森林失火后,要确定派出消防队员的数量。
队员多,森林损失小,救援费用大;
队员少,森林损失大,救援费用小。
综合考虑损失费和救援费,确定队员数量。
问题分析:
记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).
·损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定.
·救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定.
存在恰当的x,使f1(x),f2(x)之和最小
·关键是对B(t)作出合理的简化假设.
失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.
模型假设
1)0≤t≤t1,dB/dt与t成正比,系数β(火势蔓延速度)
2)t1≤t≤t2,β降为-λx(λ为队员的平均灭火速度)
3)f1(x)与B(t2)成正比,系数c1(烧毁单位面积损失费)
4)每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3
假设1)的解释:
火势以失火点为中心,均匀向四周呈圆形蔓延,半径r与t成正比,面积B与t2成正比,dB/dt与t成正比.
模型建立
假设3)4)
目标函数——总费用
模型建立
目标函数——总费用
其中c1,c2,c3,t1,β,λ为已知参数
模型求解
求x使C(x)最小
结果解释
·β/λ是火势不继续蔓延的最少队员数
c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,
β~火势蔓延速度,λ~每个队员平均灭火速度.
c1,t1,β↑→x↑,c3,λ↑→x↓
c2↑→x↑
为什么?
模型应用
c1,c2,c3已知,t1可估计,β,λ可设置一系列数值,由模型决定队员数量x
3.4最优价格
问题:
根据产品成本和市场需求,在产销平衡条件下确定商品价格,使利润最大
假设:
1)产量等于销量,记作x
2)收入与销量x成正比,系数p即价格
3)支出与产量x成正比,系数q即成本
4)销量x依赖于价格p,x(p)是减函数
进一步设:
x(p)=a-bp,a,b>0
建模与求解:
收入I(p)=px支出C(p)=qx
利润U(p)=I(p)-C(p)求p使U(p)最大
建模与求解:
使利润U(p)最大的最优价格p*满足
边际收入边际支出
最大利润在边际收入等于边际支出时达到
结果解释
q/2~成本的一半
b~价格上升1单位时销量的下降幅度(需求对价格的敏感度)bp*
a~绝对需求(p很小时的需求)ap*
思考:
如何得到参数a,b?
3.5血管分支
背景:
机体提供能量维持血液在血管中的流动
给血管壁以营养克服血液流动的阻力
消耗能量取决于血管的几何形状
在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则
问题;研究在能量最小原则下,血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度
模型假设:
一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面;
血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动;
血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加,管壁厚度近似与血管半径成正比
考察血管AC与CB,CB´
q=2q1r/r1,?
粘性流体在刚性管道中运动p~A,C压力差,~粘性系数
克服阻力消耗能量
提供营养消耗能量
管壁内表面积2rl
管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比
模型建立:
克服阻力消耗能量
提供营养消耗能量
机体为血流提供能量
模型求解
模型解释:
生物学家:
结果与观察大致吻合
推论:
大动脉到毛细血管有n次分岔n=?
大动脉半径rmax,毛细血管半径rmin
观察:
狗的血管
血管总条数
3.6消费者均衡
问题
消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示,问他如何分配一定数量的钱,购买这两种商品,以达到最大的满意度。
设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交),记作U(q1,q2)=c
U(q1,q2)~效用函数
已知甲乙价格p1,p2,有钱s,试分配s,购买甲乙数量q1,q2,使U(q1,q2)最大.
模型及求解
已知价格p1,p2,钱s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大
由
有
几何解释
直线MN:
最优解Q:
MN与l2切点
斜率
结果解释
边际效用
消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。
效用函数U(q1,q2)应满足的条件
A.U(q1,q2)=c所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸
解释B的实际意义
效用函数U(q1,q2)几种常用的形式
•消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。
•U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。
效用函数U(q1,q2)几种常用的形式
购买两种商品费用之比与二者价格无关。
U(q1,q2)中参数,分别表示对甲乙的偏爱程度
思考:
如何推广到m(>2)种商品的情况
3.7冰山运输
背景
•波斯湾地区水资源贫乏,淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。
•专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山,取代淡化海水
从经济角度研
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 理学 优化 模型 教案 三四 58