数学思维训练教材六年级上册.doc
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第1讲比较大小
在平时数学学习,尤其是数学竞赛中,我们经常遇到一些题目:
(1)比较这几个分数的大小:
、、、、
(2)试比较和,那个分数大?
……
如果我们不去研究其中的规律,相信大家一定会很难解决这样的题目。
本讲,我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。
例1:
已知A=B=C=D=E(ABCDE都不等于0),将A、、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。
分析与解为了方便比较,我们首先将这五个算式统一写成乘法形式,这样原来的算式就变成A=B=C=D=E。
下面我们可以运用倒数的知识来解决这一问题。
首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。
那么,A就是的倒数,即;同理,B应是,C是,D是,E是。
这样,我们很容易就能比较出这五个数的大小。
因为>>>>,所以D>E>C>B>A.
随堂练习一:
如果a=b=c=d(a、b、c、d均不等于0),a、b、c、d四个数中,谁最大?
谁最小?
例2:
将下列分数从小到大排列起来:
、、、、。
分析与解比较几个分数的大小,课本上介绍的主要方法是先通分,再比较大小。
就本题而言,如果用通分再比较,太麻烦,我们可以根据“同分子的分数,分母大的分数反而小”这一性质,把这几个分数先化成同分子的分数,在进行比较就比较容易了。
因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60,根据分数的基本性质,可以把它们分别化为:
、、、、。
由150>148>145>140>138,可以得到:
﹤﹤﹤﹤,即﹤﹤﹤﹤。
方法点评如果几个分数的公分母比较大时,采用先通分、再比较的方法比较复杂。
我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数,再比较大小。
随堂练习二:
把下列分数按从小到大的顺序排列起来。
、、、、
例3:
已知A=,B=。
试比较A与B的大小。
分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大,无论采用“先同分、再比较”,还是“先化成同分子的分数,再比较”的方法,都不容易。
但仔细观察,可以发现:
这两个分数的分子都比分母小2。
我们可以根据这一特点,先比较这两个分数与1的差,再确定这两个分数的大小,这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。
因为比A比1少,B比1少,而﹤,所以A﹥B。
方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时,我们可以用间接比较法,即先比较这两个分数与1的差,再确定这两个数的大小。
随堂练习三:
试比较下列两个分数的大小。
和
例4:
比较和,那个分数大?
分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同,虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法,但显然不是最佳方法。
仔细分析这两个数,可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7,所以我们可以线比较它们的倒数的大小,倒数大的那个分数的值比较小。
想一想,这是为什么?
的倒数是,的倒数是,因为﹥,所以﹤。
方法点评从本题可以看出,如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系,而且余数相同,采用比较倒数的方法比较简便。
随堂练习四:
试比较和的大小。
例5:
试比较下面两个分数的大小。
和
分析与解观察这两个分数,你会发现用上面的几种方法无法解答。
但分析其中的数据,你会发现,第二个分数的分子2207=1207+1000,分母2006=1006+1000,即第一个分数的分子与分母都加上同一个数:
1000,就正好等于第二个分数。
方法点评当a﹥b时,﹥,即一个分数的分子和分母都加上同一个数,得到的新分数比原分数小,所以﹥。
同理,一个真分数的分子和分母都加上同一个数,得到的分数比原分数大。
随堂练习五:
比较与的大小
拓展训练
1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。
、、、、
2、比较下面两个分数的大小。
和
3、比较和的大小。
4、比较与的大小。
5、比较与的大小。
第2讲速算与巧算
专题简析:
学习数学离不开数的计算,而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。
因此,要学好数学,就必须做到计算准确而又迅速。
本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。
例1:
计算下面各题。
(1)9
(2)2003
分析与解同学们都会计算带分数除法,但相信同学们看了这两道题目后,都会感到计算太麻烦,如果我们开动脑筋想一想,就会发现:
可以把
(1)分成一个9的倍数与另一个较小得数,再利用除法的性质就可以使计算简便;把例
(2)中的被除数和除数利用商不变的性质,同时除以2003后,计算就很简便了。
(1)9
(2)2003
=(63+)9=(20032003)(2003)
=639+9=1(20032003+2003)
=7+=1
==
方法点评:
有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时,而且有容易出错,这时可以通过款差题目中的数据特点,把一个数拆成几个数,在计算,往往可以达到事半功倍的效果。
随堂练习一:
计算:
(1)55
(2)167
例2:
计算:
(1+)(1+)—(1+)()
分析与解这道题虽然算式很长,但仔细分析其中的数据,可以发现组成这个算式的数并不多,我们可以把重复出现的数用字母表示,这样可以简化题意,方便简算。
设=A1+=B,原来的算式可以转化成:
(1+A)B-BA
=B+AB-AB
=B
所以本题的结果为:
1+=
方法点评:
用字母是可以使复杂的算式变得简洁,有助于我们发现规律。
随堂练习二:
计算:
(1+)×(+)-(1++)×()
例3:
计算
分析与解这组分数的特点是:
分母为1的分数有1个,分母为2的分数有3个,分母为3的分数有5个……且同分母的分数的和依次为1,2,3,4,5…这是一个扥差数列,可以直接利用等差数列求和公式来计算,即(首项+末项)×项数÷2=数列的和。
原式=1+2+3+4+…+49+50
=(1+50)×50÷2
=1275
方法点评:
在数列求和中,发现与研究数列规律是解决有关问题的前提,灵活选用合适的方法是基本策略,转化与分组是主要方法和技巧。
随堂练习三:
计算:
+
例4:
计算:
(1)()÷()
(2)
分析与解
(1)被除数与除数中两个分数的分母分别相同,经试验发现:
==145×(),=5×().所以,
原式=()÷()=145×()÷5×()=145÷5=29
(2)我们注意到,这个分数的分子与分母尽管数据很长,但每个数据分别是由2002和2003组成。
因而我们可以先采用分解质因数,找出其中的规律,再进行简便计算。
因为2002=2002×1
20022002=2002×10001
200220022002=2002×1000110001
所以2002+20022002+200220022002=2002×(1+10001+100010001)
同理2003+20032003+200320032003=2003×(1+10001+100010001)
原式==
随堂练习四:
计算:
(1)()÷()
(2)
例5:
计算
分析与解这道题的加数很多,如果采用同分后计算公分母一定很大,这显然不切合实际。
下面我们来分析一下:
=1-,=,….=
=1-++…+
=1-
=
方法点评:
这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法,叫做裂项法。
但是需要指出的是,题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积,如果不是,方法就不同了,裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。
当a﹤b时,=()×
随堂练习五:
计算
拓展训练
1.、计算(1+)×(+)-(1++)×()
2、计算()-()
3、计算
4、计算
5、计算(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×…×(1+)×(1-)
第3讲比的意义和应用
比有奇妙的作用,在许多分数、百分数应用题中,如果恰当运用比的知识,你会真正理解什么是“事半功倍”。
在这一讲,我们一起研究这方面的知识。
例1:
两只相同的杯子中装满盐水,一只杯子中盐与水的比是1︰2,另一只杯子中盐与比是1︰5。
若把两杯盐水混合在一起,这时盐与水的比是多少?
分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少,只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了,因为两只杯子相同,所以设每只杯子中的盐水为1,则第一支杯子中的盐占,水占;第二只杯子中的盐占,水占。
两只杯子中的盐水混合后,盐为+=,水为+=。
所以,混合液中的盐与水的比为:
(+)︰(+)
=︰
=1︰3。
答:
混合后,盐与水的比为1︰3。
方法点评:
求两个量的比时,首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率,然后再进行解答。
随堂练习一:
六年
(1)班男、女人数的比是5︰4,六年
(2)班男、女人数的比是2︰1,两班人数相等。
求六年
(1)班男男生与六年
(2)班男生的人数比。
例2:
如右图,原形中的阴影部分面积占圆面积的,占正方形面积的,三角形中阴影部分的面积占三角形面积的,占正方形面积的。
圆,正方形、三角形面积的最简整数比是多少?
分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少,只需知道这三个图形的面积各是多少就行了,因为圆和三角形都与正方形的面积有关,我们就设正方形的面积为12,那么圆的面积就是:
12×÷=16;三角形的面积为:
12×÷=15。
所以这三个图形的面积比就是:
(12×÷)︰12︰(12×÷)=16︰12︰15
方法点评在求几个量的比时,我们可以先假设其中一个量等于几,然后根据条件计算出其他量,再求比,这样解决问题比较容易。
随堂练习二:
如图,两个长方形重叠部分的面积相当于大长方形面积的,相当于小长方形面积的。
这两个长方形的面积比是多少?
例3:
有大小两个长方形,大长方形的长比小长方形的长多,而小长方形的宽比大长方形的宽多。
求这两个长方形的面积比。
分析与解大长方形的长比小长方形的长多,可以把小长方形的长看做4份,大长方形的长就是1+4=5份;小长方形的宽比大长方形的宽多。
可以理解成八大长方形的宽看做10份,小长方形的宽是1+10=11份。
所以,这两个长方形的面积比为:
(5×10)︰(4×11)
=55︰44
=25︰22
答:
大小两个长方形的面积比为25︰22。
随堂练习三:
有大小两个正方形,大正方形的边长比小正方形的边长多。
求两个正方形的周长比。
例4:
六年
(1)班男人数的与女生人数的相等,已知男生比女生多5人,这个班男、女生各有多少人?
分析与解根据男人数的与女生人数的相等,可以列出数量关系:
男生人数×=女生人数×。
假设男人数的与女生人数的都是1,则男生人数为1=;女生人数为1=。
所以,男、女生人数的比为:
(1)︰
(1)
=︰
=6︰5
每一份的人数就是:
5÷(6-5)=5(人)
男生人数就是:
5×6=30(人)
女生人数就是:
5×5=25(人)
答:
男生有30人,女生有25人。
随堂练习四:
拔一根绳子按5︰3截成甲、乙两段,已知乙比甲短1.2米。
这根绳子原来全长多少米?
例5:
小丽读一本书,已读的页数和未读的页数的比是1︰5,
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