天线原理与设计习题集解答第1章.docx
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天线原理与设计习题集解答第1章
天线原理与设计习题集
第一章天线的方向图
(1-1)如图1为一元天线,电流矩为
Idz,其矢量磁位表示为
?
0Idz
jr
,
Az
e
4r
试导出元天线的远区辐射电磁场E
H。
(电磁场与电磁波P163)
图1-1(a)元天线及坐标系(b)元天线及场重量取向
解:
利用球坐标中矢量各重量与直角坐标系中矢量各重量的关系矩阵
Ar
sincos
sinsin
coAxs
A
coscos
cossin
sAyin
A
sin
cos
0Az
因AxAy0,可得
Ar
Azcos
AAzsin
A0
E
j
A
由远场公式
H
1?
E
r
0
可得
Idz
jr
(V/m)
E
j
02
rsin
e
H
jIdzsin
ejr
(A/m)
2
r
Er
E
Hr
H
0
(1-2)已知球面波函数
e
j
r/r,试证其知足颠簸方程:
2
2
0
21
2
1
jr
2
jr
2
证明:
r
2r
(r
r
)
r2
r[(1
jr)e]
r
e
则
2
2
0
(1-3)如图2所示为两副长度为2的对称线天线,其上的电流分别为平均散布和三角形散布,试采纳元天线辐射场的叠加原理,导出两天线的远区辐射场
E,H,方向图函数f(,)和归一化方向图函数F(,),并分别画出它们在
yoz平面和xoy平面内的方向图的表示图。
解:
(1)天线上电流为平均散布时
I(z)0I,lzl
将对称振子分为长度为dz的很多小段,每个小段可看作是一个元天线,以下列图所示。
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
dE
j
I(z)dzsinejR
j
I0dzsin
ejR
2R
2R
作远场近似,对相位
R
r
zcos
,对幅度1/R
1/r,且ej
R
ejrejzcos,
得
dE
j
ej
r
j
zcos
dz
2
sin
I0e
r
则远区总场为这些元天线的辐射场在空间某点的叠加,用积分表示为
l
jr
l
j
r
j
lcos
jlcos
e
I0ejzcosdz
I0e
e
e
E
dE
j
sin
l
j
sin
l
2
r
2r
j
cos
j60I0ejrsin
r
式中方向图函数为:
f()
sin(lcos
)
j60I0
ej
rf()
cos
r
sin(
lcos)
sin(cos)
sin
|l
/2
sin
cos
cos
平均电流散布的对称振子,其最大辐射方向在侧向。
方向图函数的最大值为
fmax
lim
f()
l|l
/2
/2
则归一化方向图函数为
F()
f()
sin
sin(
lcos
)|l/2sin
sin(cos)
fmax
lcos
cos
其E面方向图函数由上式表示,方向图为字形;H面方向图函数为FHF()|/21,方向图为一个圆。
平均电流散布的对称振子归一化方向图,l/2
(2)天线上电流为三角形散布时
I(z)I0(1|z|),lzl
l
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
dEjI(z)dzsinejR
2R
相同作远场近似后并带入三角形电流散布得
dE
e
jr
I(z)e
j
zcos
dz
e
jr
sin
I0(1
|z|
j
zcos
dz
j
sin
j
r
)e
2
r
2
l
则远区总场为
l
e
jr
l
|z|)ej
zcos
E
dE
j
sin
I0
(1
dz
l
2
r
l
l
I0e
jr
0
z
jz
cos
l
j
sin
[
(1e
)
dz
0
2
r
l
l
z
zj
cos
]
(1e
)dz
l
j60I0ejrf()
r
式中,
f()sin
1cos(lcos)
|l/2sin
1cos(cos)
lcos2
cos2
方向图函数的最大值为
fmax
limf()
2
/2
则归一化方向图函数为
F()
f()
2sin
1cos(cos)
fmax
2cos
其E面方向图函数由上式表示,方向图为字形;H面方向图函数为
FH
F()|/21,方向图为一个圆。
(1-4)
有一对称振子长度为
2l,其上电流散布为:
I(z)Imsin
(l|z|)试导出:
(1)远区辐射场E,H;
(2)方向图函数f(,);
(3)半波天线(2l/2)的归一化方向图函数F(,),并分别画出其E面和H面内的方向图。
(4)若对称振子沿y轴搁置,导出其远区场E,H表达式和E面、H面方向图函数。
解:
(1)
由I(z)
Imsin[
(l
|z|),
l
z
l
及dE
j
0
I(z)dzsin
ej
R
2
R
作远场近似
对相位Rrzcos
对幅度R
r
且ej
R
ej
rej
zcos
l
e
j
r
l
zcosdz
j0
E
dE
r
sin
I(z)ej
l
2
l
e
j
r
0
z)]ej
zcos
l
z)]ejzcosdz
Im
j
0
r
sin
sin[
(l
dz
sin[
(l
2
l
0
e
j
r
l
j
0
2
r
sinIm
2
sinl[
z(
)]czos(
dczos
)
0
j60Im
ejr
cos(l
cos
)
closj(60I)me
jr
f()
r
sin
r
(2)方向图函数:
f(
)
cos(
lcos
)
cos(
l)
sin
cos(
cos)
cos(
cos)
(3)对半波天线:
2l
/2,f()
2
,fmax
1,F()
2
sin
sin
E面方向图H面方向图
沿z轴搁置的对称振子天线方向图
(4)对称振子沿y轴搁置,其远区场表达式不变
f(,)
cos(lcosy)cos(l)
siny
式中,y为天线轴与射线r的夹角,且cosyr?
y?
sinsin
E面方向图H面方向图
沿y轴搁置的对称振子天线方向图
(1-5)有一长度为/2的直导线,其上电流散布为I(z)I0ejz,试求该天线
的方向图函数F(,),并画出其极坐标图。
图1-12单行波天线
解:
距坐标原点z处的元天线的辐射电场为
dEjI(z)dzsinejR
2R
作远场近似后并带入行波电流散布得
dE
ej
r
jzcos
ej
r
jz(cos1)
j
r
sinI(z)e
dzj
sinI0e
dz
2
2
r
远区总场为
E
e
jr
l
j(cosz1)
ejr
I0
ej(cosl
11)
j
I0sin
e
dzj
sin
1)
2r
0
2r
j(cos
e
jr
j
l(cos
1)sin[
l(cos
1)/2]
j
I0sin
e
2
(cos
1)
r
取模值
|E|
0I0
|sin
sin[
l(cos
1)
/2]|
r
cos
1
60I0
sin
sin[
l(1
cos)/2]
r
1
cos
得方向图函数为
sin
sin[
l(1
cos)/2]
f()
cos
1
60I0f()
r
tan()sin[l(1cos)]
22
其E面方向图函数由上式表示。
长度为/2,,2时的方向图以下所示。
(1-6)利用方向性系数的计算公式:
D2
4
F2(,)sindd
0
0
计算:
(1)
元天线的方向性系数;
(2)
归一化方向图函数为
F(,)csc,0/2,00的天线方向性系数。
1,其余
(3)归一化方向图函数为:
F(,)
n=1和2时的天线方向性系数。
解:
cosn,0
0,其余
/2,02
(1)元天线F()sin,则,
(2)D
2
4
0/2
4
F2(,)sindd
sindd
0
0
csc2
0
0
或
D
4
,
或
D
4
0ln1
cos0
0ln1cos0
1
cos
0
sin
0
(3)
D
4
4
2
/2
dcos
2
2
2n
sin
d
d
cos2n
0
0
cos
0
2
2(2n
1)
1
2n1
cos
2
2n
1
0
因此,n=1,D=6
n=2,D=10
4
sin
0
0ln
1cos0
(1-7)如图3所示为二元半波振子阵,两单元的馈电电流关系为I1I2ej/2,要求导出二元阵的方向图函数fT(,),并画出E面(yz平面)和H面(xy平面)方向图。
图3半波振子二元阵,d/4
解:
此时图3所示二元阵的阵因子方向图为心脏形,
I2相位滞后于I1,最大值方
向为正y轴方向。
二元阵的总场方向图函数为fT(,)f0(fa)
(,)
cos(cos
)
式中,单元方向图函数为
f0(
)
2
sin
二元阵的阵因子为
(
d
cos
,)
fa
)2cos(
2
y
2
cosy
?
?
sin,
/2
r
ysin
(1)E面(yz面,
/2)方向图
cos(
cos
)
单元方向图函数为
f0()
2
sin
阵因子为
fa()
2cos[
(sin
1)]
4
由方向图相乘原理可绘出其
E面方向图以下列图所示。
d/4,/2时的等幅激励半波振子二元阵E面方向图
(2)H面(xy面,/2)方向图
单元方向图函数为f0()1
阵因子为fa()2cos[(sin1)]
4
由方向图相乘原理可绘出其H面方向图以下列图所示。
d/4,/2时的等幅激励半波振子二元阵H面方向图
(1-8)
有三付对称半波振子平行摆列在向来线上
相邻振子间距为d,如图4所示。
(1)
若各振子上的电流幅度相等,相位分别为
0,时,求xz面、yz面和
H面方向图函数。
(2)若d/4,各振子电流幅度关系为1:
2:
1,相位关系为/2,0,/2时,
试画出三元阵的E面和H面方向图。
图4半波振子三元阵
解:
(1).三个对称半波振子天线电流相等,相位分别为
0,
,构成平均直线
阵。
此时,I1
I2e
j
,I3
I2ej
En
j60In
e
jrnf0(
),n=1,2,3
rn
cos(
cos
)
f0()
2
sin
总场为ET
E1
E2
E3
j60I2
ej
r
f0(
)[ej(r1r)ej
1
ej(r3
r)ej]
r
式中波程差为:
r
r1
r?
1
dsin
sin
r
r3
?
3
dsin
sin
r
ET
j60I2ej
rf0(
)fa(
)
r
fa(,)
ej
(dsinsin
1)
1
ej
(dsin
sin
1)
1
2cos[
(dsin
sin
1)]
■xz面内(
0
)的方向图函数为
F(
)
f0(,
)fa(
)|
0
cos(
cos
/2)[1
2cos
]
sin
■yz面内(/2)的方向图函数为
F()
f0(,
)fa(
)|
/2
cos(
cos/2){12cos[
(dsin1)]}
sin
■H面(xy面,
/2
)方向图函数为
FH(
)
f0(,
)fa(,
)|
/2
12cos[(dsin
1)]
(2)已知I1
I0ej
/2,I1
2I0,I3
I0ej/2,d/4。
可得总场为
ETE1
E2
E3
j60I0ejrf0(,)[ej(r1r)ej/2
2ej(r3r)e-j/2]
r
j60I0e
jrf0(
)fa(,
)
r
式中,fa(,)e
[e
j(
dsinsin
/2)
2
ej(
dsin
sin
/2)
j
1
/2)
1
dsin
sin
/2)
(dsinsin
j(
2
2
e2
]
4cos2[
(sinsin1)]
4
cos(cos
)
■E面(yz平面,
/2
)方向图函数为
fE(
)
2
4cos
2
[(sin1)]
sin
4
■H面(xy平面,
/2)方向图函数为
fH(
)4cos2[
(sin
1)]
4
(1-9)由四个元天线构成的方阵,其摆列如图
5所示。
每个单元到阵中心的距离
为3/8,各单元的馈电幅度相等,单元
1和2同相,单元3和4同相但与1和
2反相。
试导出该四元阵的方向图函数及阵因子,并草绘该阵列
xy平面内的方
向图。
解:
已知单元到阵中心的距离为d3/8,I1I2I3I4I0。
这个四元阵
可看作是x轴上的二元阵和y轴上的二元阵构成。
x轴上的二元阵阵因子为
f(,)2cosd(co,scossin
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