人教版八年级数学上册第十二章全等三角形 同步课时练习题.docx
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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形同步课时练习题
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
01 基础题
知识点1 全等形
1.下列各图形中,不是全等形的是(A)
2.如图所示,是全等形的是
(1)和(9);
(2)和(3);(4)和(8);(5)和(7);(11)和(12).
知识点2 全等三角形的概念及表示方法
3.已知△ABC与△EDF全等,其中点A与点E,点B与点D,点C与点F是对应顶点,则对应边为AB与ED,AC与EF,BC与DF,对应角为∠A与∠E,∠B与∠D,∠C与∠F,△ABC≌△EDF.
4.如图,若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE,则图中全等的三角形记为△ABC≌△ADE,∠BAC的对应角为∠DAE,DE的对应边为BC.
知识点3 全等三角形的性质
5.(厦门中考)如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D,点B与点C是对应顶点,AF与DE相交于点M,则∠DCE=(A)
A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB
6.(大同矿区恒安一中月考)已知△ABC≌△DEF,且∠A=90°,AB=6,AC=8,BC=10,△DEF中最大边长是10,最大角是90°.
7.如图,把△ABC沿直线BA翻折至△ABD,那么△ABC和△ABD是全等三角形(填“是”或“不是”).若CB=5,则DB=5;若△ABC的面积为10,则△ABD的面积为10.
8.如图,已知△ABD≌△ACD,且点B,D,C在同一条直线上,那么AD与BC有怎样的位置关系?
为什么?
解:
AD⊥BC.理由:
∵△ABD≌△ACD,
∴∠ADB=∠ADC.
又∵∠ADB+∠ADC=180°,
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∴AD⊥BC.
9.如图,△ACE≌△DBF,AC=6,BC=4.
(1)求证:
AE∥DF;
(2)求AD的长度.
解:
(1)证明:
∵△ACE≌△DBF,
∴∠A=∠D.
∴AE∥DF.
(2)∵△ACE≌△DBF,
∴AC=DB.
∴AC-BC=DB-BC=6-4=2,
即AB=CD=2.
∴AD=AC+CD=6+2=8.
易错点 对应边不确定
10.已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1.若这两个三角形全等,则x等于(C)
A.
B.4C.3D.3或
02 中档题
11.如图所示,将△ABC沿AC翻折,点B与点E重合,则图中全等的三角形有(C)
A.1对B.2对C.3对D.4对
12.如图,△ABE≌△ACD,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠DAC的度数是(B)
A.120°B.70°C.60°D.50°
13.如图,将直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,AB=10,DO=4,BF=21,平移距离为6,则△OEC的面积为(A)
A.27B.40C.42D.54
14.(教材P33习题T3变式)如图是两个全等三角形,请根据图中提供的信息,写出x=20.
15.(大同矿区恒安一中月考)如图,△ABD≌△ACE,AD=8cm,AB=3cm,则BE=5cm.
16.如图,在△ABC中,∠A=60°,将△ABC沿DE翻折后,点A落在BC边上的点A′处.如果∠A′EC=70°,那么∠A′DE的度数为65°.
17.(沈阳中考)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接DE.求证:
∠CEB=∠CBE.
证明:
∵△ABC≌△ABD,
∴∠ABC=∠ABD.
∵CE∥BD,
∴∠CEB=∠ABD.
∴∠CEB=∠ABC,
即∠CEB=∠CBE.
18.如图,△ABC≌△ADE,∠DAC=60°,∠BAE=100°,BC,DE相交于点F,求∠DFB的度数.
解:
∵△ABC≌△ADE,
∴∠B=∠D,∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
∵∠DAC=60°,∠BAE=100°,
∴∠BAD=
(∠BAE-∠DAC)=20°.
∵∠B=∠D,∠AGB=∠FGD,
∴∠DFB=∠BAD=20°.
03 综合题
19.如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)你能说明BD,DE,CE之间的数量关系吗?
(2)请你猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
解:
(1)BD=DE+CE.
理由:
∵△BAD≌△ACE,
∴BD=AE,AD=CE.
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE,
即BD=DE+CE.
(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.
理由:
∵BD∥CE,
∴∠E=∠BDE.
∵△BAD≌△ACE,
∴∠ADB=∠E.
∴∠ADB=∠BDE.
∵∠ADB+∠BDE=180°,
∴∠ADB=90°.
20.(阳泉盂县期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(2,1),B(4,1),C(1,3).若△ABC与△ABD全等,则点D的坐标为(1,-1),(5,3)或(5,-1).
12.2 三角形全等的判定
第1课时 用“SSS”判定三角形全等
01 基础题
知识点1 用“SSS”判定三角形全等
1.如图,如果AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,那么下列结论正确的是(A)
A.△ABC≌△A′B′C′B.△ABC≌△C′A′B′
C.△ABC≌△B′C′A′D.这两个三角形不全等
2.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是③.
3.如图所示,AD=BC,AC=BD,用三角形全等的判定“SSS”可证明△ADC≌△BCD或△ABD≌△BAC.
4.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,求证:
△ABD≌△ACD.
证明:
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
知识点2 三角形全等的判定与性质的综合
5.如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,下列结论错误的是(D)
A.两个三角形的周长相等
B.两个三角形的面积相等
C.∠BAC=∠DAC
D.∠BAD+∠D=180°
6.(教材P43习题T1变式)如图,在△ABC和△DBC中,AB=DB,AC=DC.若∠A=25°,∠BCD=35°,求∠ABD的度数.
解:
在△ABC和△DBC中,
∴△ABC≌△DBC(SSS).
∴∠A=∠D,∠ACB=∠DCB,∠ABC=∠DBC.
∴∠ABE=∠DBE.
∵∠A=25°,∠BCD=∠ACB=35°,
∴∠ABE=∠A+∠ACB=25°+35°=60°.
∴∠ABD=2∠ABE=120°.
知识点3 尺规作一个角等于已知角
7.如图,已知∠AOB,点C是OB边上的一点.用尺规作图画出经过点C且与OA平行的直线.
解:
①以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点E,交OB于点D;
②以点C为圆心,OD的长为半径画弧,交OB于点G;
③以点G为圆心,DE的长为半径画弧,交前弧于点H,连接CH,则CH∥OA.
02 中档题
8.如图所示,△ABC是三边都不相等的三角形,DE=BC,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出(B)
A.2个B.4个C.6个D.8个
9.(阳泉平定县月考)如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD,∠2=110°,∠BAE=60°,下列结论错误的是(C)
A.△ABE≌△ACDB.△ABD≌△ACE
C.∠C=30°D.∠1=70°
10.(长春中考)如图,以△ABC的顶点A为圆心,以BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,以AB长为半径作弧,两弧交于点D;连接AD,CD.若∠B=65°,则∠ADC的大小为65°.
11.(桂林中考)如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:
△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
解:
(1)证明:
∵AC=AD+DC,DF=DC+CF,且AD=CF,
∴AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(2)由
(1)可知,△ABC≌△DEF,
∴∠F=∠ACB.
∵∠A=55°,∠B=88°,
∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=37°.
∴∠F=∠ACB=37°.
12.如图,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,B,D,E三点在同一直线上,求证:
∠3=∠1+∠2.
证明:
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
∴∠BAD=∠1,∠ABD=∠2.
∵∠3=∠BAD+∠ABD,
∴∠3=∠1+∠2.
13.(山西农大附中期中)如图,AB=AC,DB=DC,EB=EC.
(1)图中有几对全等三角形?
请写出来;
(2)过点D作DH⊥BE,DG⊥CE,垂足分别为H,G,求证:
DG=DH.
解:
(1)有3对全等三角形:
△ABD≌△ACD;△ABE≌△ACE;△DBE≌△DCE.
(2)证明:
在△BED和△CED中,
∴△BED≌△CED(SSS).
∴S△BED=S△CED.
∵DG⊥CE,DH⊥BE,
∴
BE·DH=
CE·DG.
∴DH=DG.
03 综合题
14.如图,AD=CB,E,F是AC上两个动点,且有DE=BF.
(1)若点E,F运动至如图1所示的位置,且有AF=CE,求证:
△ADE≌△CBF;
(2)若点E,F运动至如图2所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗?
为什么?
(3)若点E,F不重合,则AD和CB平行吗?
请说明理由.
解:
(1)证明:
∵AF=CE,
∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(2)△ADE≌△CBF成立.理由如下:
∵AF=CE,
∴AF-EF=CE-EF,即AE=CF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SSS).
(3)AD与CB不一定平行.理由如下:
在△ADE和△CBF中,仅有AD=CB,DE=BF,不能判定它们全等,即不能得出∠A=∠C.
故AD与CB不一定平行.
第2课时 用“SAS”判定三角形全等
01 基础题
知识点1 用“SAS”判定三角形全等
1.下图中全等的三角形有(D)
① ② ③ ④
A.①和②B.②和③C.②和④D.①和③
2.(朔州右玉县校级月考)如图,AC与BD相交于点P,AP=DP,则用“SAS”证明△APB≌△DPC,还需添加的条件是(B)
A.BA=CDB.PB=PC
C.∠A=∠DD.∠APB=∠DPC
3.(武汉中考改编)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,求证:
△ABF≌△DCE.
证明:
∵BE=CF,
∴BE+EF=CF+EF,
即BF=CE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS).
知识点2 三角形全等的判定与性质的综合
4.(泸州中考)如图,点C是线段AB的中点,CD=BE,CD∥BE.求证:
∠D=∠E.
证明:
∵点C是线段AB的中点,
∴AC=CB.
∵CD∥BE,∴∠ACD=∠CBE.
在△ACD和△CBE中,
∴△ACD≌△CBE(SAS).
∴∠D=∠E.
5.(大同矿区恒安一中月考)如图,已知B,D,E,C四点在一条直线上,且△ABE≌△ACD.求证:
(1)BD=CE;
(2)△ABD≌△ACE.
证明:
(1)∵△ABE≌△ACD,
∴EB=DC.
∴EB-DE=DC-DE,
即DB=EC.
(2)∵△ABE≌△ACD,
∴∠B=∠C,AB=AC.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
知识点3 用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
6.【关注社会生活】如图,将两根钢条AA′,BB′的中点O连在一起,使AA′,BB′可以绕着点O自由转动,就做成了一个测量工件,则A′B′的长等于内槽宽AB,那么判定△AOB≌△A′OB′的理由是边角边(或SAS).
7.如图所示,有一块三角形镜子,小明不小心将它打破成1,2两块.现需配成同样大小的一面镜子,为了方便起见,需带上第1块,其理由是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
易错点 误用“SSA”判定三角形全等
8.如图,AD平分∠BAC,BD=CD,则∠B与∠C相等吗?
为什么?
解:
相等.理由:
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD.
∴∠B=∠C.
以上解答是否正确?
若不正确,请说明理由.
解:
不正确.理由:
错用“SSA”来证明两个三角形全等,∠BAD不是BD与AD的夹角,∠CAD不是CD与AD的夹角.
02 中档题
9.如图,已知AB=AC,AD=AE,若要得到“△ABD≌△ACE”,必须添加一个条件,则下列所添条件不成立的是(B)
A.BD=CEB.∠ABD=∠ACE
C.∠BAD=∠CAED.∠BAC=∠DAE
10.(陕西中考)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.若连接AC,BD相交于点O,则图中全等三角形共有(C)
A.1对B.2对C.3对D.4对
11.如图,点A在BE上,AD=AE,AB=AC,∠1=∠2=30°,则∠3的度数为30°.
12.(教材P43习题T2变式)如图,已知AD=AE,请你添加一个条件,使△ABE≌△ACD,你添加的条件是AB=AC(或BD=CE)(填一个即可).
13.如图所示,A,F,C,D四点在同一直线上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)∠CBF=∠FEC.
证明:
(1)∵AB∥DE,
∴∠A=∠D.
∵AF=CD,
∴AF+FC=CD+FC,
即AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).
(2)由
(1)知△ABC≌△DEF,
∴BC=EF,∠ACB=∠DFE.
在△FBC和△CEF中,
∴△FBC≌△CEF(SAS).
∴∠CBF=∠FEC.
03 综合题
14.(教材P44习题T10变式)如图1,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
(1)求证:
△AOB≌△COD;
(2)如图2,连接BC,若AB=4,BC=5,求OB的取值范围;
(3)如图3,连接BC,AD,求证:
AD∥BC且AD=BC.
解:
(1)证明:
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS).
(2)由
(1)知△AOB≌△COD,
∴CD=AB=4,OB=OD.
在△BCD中,BC-CD ∴1<2OB<9. ∴ . (3)在△AOD和△COB中, ∴△AOD≌△COB(SAS). ∴AD=CB,∠ADO=∠CBO. ∴AD∥BC. 15.(临汾襄汾县期中)如图,已知方格纸中是4个相同的正方形,则∠1+∠2+∠3的度数为(D) A.90°B.105°C.120°D.135° 第3课时 用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 01 基础题 知识点1 用“ASA”判定三角形全等 1.如图所示,AB与CD相交于点O,∠A=∠B,AO=BO,又因为∠AOC=∠BOD,所以△AOC≌△BOD,其依据是ASA. 2.(宜宾中考)如图,已知∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC.求证: BC=AD. 证明: ∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC, ∴∠DAB=∠CBA. 在△ADB和△BCA中, ∴△ADB≌△BCA(ASA). ∴BC=AD. 3.(孝感中考)如图,BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,AD=AE.求证: BE=CD. 证明: ∵BD⊥AC,CE⊥AB, ∴∠ADB=∠AEC=90°. 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴AB=AC. 又∵AD=AE, ∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD. 知识点2 用“AAS”判定三角形全等 4.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,D为BC的中点,过点D分别向AB,AC作垂线段DE,DF,则能够直接判定△BDE≌△CDF的理由是(D) A.SSSB.SASC.ASAD.AAS 5.(玉林中考)如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D.求证: △ABC≌△AED. 证明: ∵∠1=∠2, ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC, 即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED(AAS). 6.(宜宾中考)如图,已知∠1=∠2,∠B=∠D,求证: CB=CD. 证明: ∵∠1=∠2, ∴∠ACB=∠ACD. 在△ABC和△ADC中, ∴△ABC≌△ADC(AAS). ∴CB=CD. 知识点3 三角形全等判定方法的选用 7.(太原期末)如图,已知∠ABC=∠DCB,添加以下条件,不能判定△ABC≌△DCB的是(C) A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBC C.AC=DBD.AB=DC 8.(济宁中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE相交于点H,请你添加一个适当的条件: 答案不唯一,如AH=CB,使△AEH≌△CEB. 02 中档题 9.(朔州右玉二中月考)如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是(C) 10.(南京中考)如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=a,BF=b,EF=c,则AD的长为(D) A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c 11.【关注社会生活】(宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A处步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息如下: 如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20m,请根据上述信息求标语CD的长度. 解: ∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO. ∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°. ∴∠ABO=90°,即OB⊥AB. ∵相邻两平行线间的距离相等, ∴OD=OB. 在△ABO和△CDO中, ∴△ABO≌△CDO(ASA). ∴CD=AB=20m. 12.(吕梁孝义期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F分别是AB,AC上的点,连接BF,CE交于点D,连接AD并延长交BC于点H,∠ABF=∠ACE.求证: BD=CD. 证明: 在△ABF和△ACE中, ∴△ABF≌△ACE(ASA). ∴AF=AE. ∵AB=AC, ∴AC-AF=AB-AE, 即BE=CF. 在△BDE和△CDF中, ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴BD=CD. 13.【类比思想】(吕梁期中)问题情境: 如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,可知: ∠BAD=∠C(不需要证明); 特例探究: 如图2,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.求证: △ABD≌△CAF; 归纳证明: 如图3,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证: △ABE≌△CAF; 拓展应用: 如图4,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为5. 证明: 特例探究: ∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°, ∴∠BDA=∠AFC=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°. ∴∠ABD=∠CAF. 在△ABD和△CAF中, ∴△ABD≌△CAF(AAS). 归纳证明: ∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠ACF+∠CAF, ∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠ACF. 在△ABE和△CAF中, ∴△ABE≌△CAF(ASA). 第4课时 用“HL”判定直角三角形全等 01 基础题 知识点1 用“HL”判定直角三角形全等 1.如图,可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是(C) A.AC=DF,BC=EF B.∠A=∠D,AB=DE C.AC=DF,AB=DE D.∠B=∠E,BC=EF 2.如图,∠BAD=∠BCD=90°,AB=CB,可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A) A.HLB.ASAC.SASD.AAS 3.在Rt△ABC和Rt△DEF中,AB=DE,∠A=∠D=90°,再补充一个条件答案不唯一,如BC=EF,便可得Rt△ABC≌Rt△DEF. 4.(教材P43练习T1变式)如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,并同时到达C,D.若CB⊥AB,DA⊥AB,则CB与DA相等吗? 为什么? 解: CB=DA. 理由: 由题意易知AC=BD. ∵CB⊥AB,DA⊥AB, ∴∠DAB=∠CBA=90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中, ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL).∴DA=CB. 5.如图,∠ACB=∠CFE=90°,AB=DE,BC=EF,求证: AD=CF. 证明: ∵∠ACB=∠CFE=90°, ∴∠ACB=∠DFE=90°. 在Rt△ACB和Rt△DFE中, ∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL). ∴AC=DF. ∴AC-AF=DF-AF,即AD=CF. 知识点2 直角三角形全等判定方法的选用 6.如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B) A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3 B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40° C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3 D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40° 7.如图所示,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F.若BE=CF,则图中全等三角形有(C) A.1对B.2对C.3对D.4对 8.(大同矿区期中改编)如图,AC⊥AB,BD⊥CD,请添加一个条件,使△ABC≌△DCB. (1)添加AB=DC,根据是HL; (2)添加AC=DB,根据是HL; (3)添加∠ABC=∠DCB,根据是AAS; (4)添加∠ACB=∠DBC,根据是AAS. 02 中档题 9.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC
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