函数的周期性与对称性.docx
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函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x+a)=f(x-a)②f(x+a)=-f(x)③f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=-1/f(x)
2、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|
3.函数图象本身的对称性(自身对称)
若,则具有周期性;若,则具有对称性:
“内同表示周期性,内反表示对称性”。
1、图象关于直线对称
推论1:
的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
例题分析:
1.设是上的奇函数,,当时,,则等于()
(A)0.5(B)(C)1.5(D)
2、(xx)已知定义在上的奇函数满足,则的值为()
A.-1B.0C.1D.2
3.设是定义在上的奇函数,求
4.函数对于任意实数满足条件,若,则___
5.已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。
(1)求的值;
(2)证明是周期函数;
(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,xx有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
巩固练习:
1.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( )
A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)
2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈Rxx有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则:
①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3.
其中所有正确命题的序号是________.
3.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于( )A.-B.-C.-D.-
4.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________.
5、
(1);
(2)
(3)若设
.
6.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.
(1)求f(3)的值;
(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积.
7.设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式.
8.设函数对任意实数满足,判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点.
9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值.
(1)证明:
;
(2)求的解析式;
(3)求在上的解析式.
10.已知,
(1)判断的奇偶性;
(2)证明:
11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。
12.(xx文)已知定义域为的函数是奇函数。
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式xx成立,求的取值范围。
复习题:
1.已知数列,其前项和为,点在抛物线上;各项都为正数的
等比数列满足.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和.
2.在△中,角、、所对的边分别是、、,且(其中为△的面积).
(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,△的面积为3,求.
3.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:
1
2
3
4
5
频率
0.2
0.45
(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,,的值;
(Ⅱ)在
(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,,,等级系数为5的2件日用品记为,,现从,,,,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
4.如图,在三棱锥中,底面,,为的中点,,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求经过点的球的表面积。
5.已知抛物线与轴交点为,动点在抛物线上滑动,且
(1)求中点的轨迹方程;
(2)点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明:
为直角三角形
6.设函数.
(1)求的极大值;
(2)求证:
(3)当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值;
函数的周期性与对称性
1、函数的周期性
若a是非零常数,若对于函数y=f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立,则函数y=f(x)是周期函数,且2|a|是它的一个周期。
①f(x+a)=f(x-a)②f(x+a)=-f(x)③f(x+a)=1/f(x)④f(x+a)=-1/f(x)
2、函数的对称性与周期性
性质5若函数y=f(x)同时关于直线x=a与x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质6、若函数y=f(x)同时关于点(a,0)与点(b,0)中心对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=2|a-b|
性质7、若函数y=f(x)既关于点(a,0)中心对称,又关于直线x=b轴对称,则函数f(x)必为周期函数,且T=4|a-b|
3.函数图象本身的对称性(自身对称)
若,则具有周期性;若,则具有对称性:
“内同表示周期性,内反表示对称性”。
1、图象关于直线对称
推论1:
的图象关于直线对称
推论2、的图象关于直线对称
推论3、的图象关于直线对称
2、的图象关于点对称
推论1、的图象关于点对称
推论2、的图象关于点对称
推论3、的图象关于点对称
例题分析:
1.设是上的奇函数,,当时,,则等于()
(A)0.5(B)(C)1.5(D)
2、(xx)已知定义在上的奇函数满足,则的值为()
A.-1B.0C.1D.2
3.设是定义在上的奇函数,求
4.函数对于任意实数满足条件,若,则___
5.已知是定义在上的奇函数,且它的图像关于直线对称。
(1)求的值;
(2)证明是周期函数;
(3)若,求时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,xx有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
解:
(1)证明:
∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.
又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x2+6x-8,
即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
巩固练习:
1.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为( )
A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3)D.(-1,0)∪(0,1)
解析:
选C f(x)的图像如图.
当x∈(-1,0)时,由xf(x)>0得x∈(-1,0);
当x∈(0,1)时,由xf(x)<0得x∈∅;当x∈(1,3)时,由xf(x)>0得x∈(1,3).
故x∈(-1,0)∪(1,3).
2.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈Rxx有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=1-x,则:
①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;
③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=x-3.
其中所有正确命题的序号是________.
解析:
由已知条件:
f(x+2)=f(x),
则y=f(x)是以2为周期的周期函数,①正确;
当-1≤x≤0时0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=1+x,
函数y=f(x)的图像如图所示:
当3 f(x)=f(x-4)=x-3,因此②④正确,③不正确.答案: ①②④ 3.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R,都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f的值等于( ) A.-B.-C.-D.- 解析: 选C 由f(t)=f(1-t)得f(1+t)=f(-t)=-f(t), 所以f(2+t)=-f(1+t)=f(t),所以f(x)的周期为2. 又f (1)=f(1-1)=f(0)=0, 所以f(3)+f=f (1)+f=0-2=-. 4.若偶函数y=f(x)为R上的周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于________. 解析: ∵y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)·(x-a)(-3≤x≤3), ∴f(x)=x2+(1-a)x-a,1-a=0. ∴a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 5、 (1); (2) (3)若设 . 6.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(3)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成图形的面积. 解: (1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(3)=f(3-4)=-f (1)=-1. (2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x).故知函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称. 又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图像关于原点成中心对称,则-1≤x≤0时,f(x)=x,则f(x)的图像如图所示. 当-4≤x≤4时,设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×=4. 7.设是定义在上以2为周期的周期函数,且是偶函数,在区间上,求时,的解析式. 解: 当,即, 又是以2为周期的周期函数,于是当,即时, 8.设函数对任意实数满足,判断函数图象在区间上与轴至少有多少个交点. 解: 由题设知函数图象关于直线和对称,又由函数的性质得 是以10为周期的函数.在一个周期区间上, 故图象与轴至少有2个交点. 而区间有6个周期,故在闭区间上图象与轴至少有13个交点. 9.已知函数是定义在上的周期函数,周期,函数是奇函数.又知在上是一次函数,在上是二次函数,且在时函数取得最小值. (1)证明: ; (2)求的解析式; (3)求在上的解析式. 解: ∵是以为周期的周期函数,且在上是奇函数,∴,∴. ②当时,由题意可设, 由得,∴, ∴. ③∵是奇函数,∴, 又知在上是一次函数,∴可设 而, ∴,∴当时,, 从而时,,故时,. ∴当时,有,∴. 当时,, ∴ ∴. 10.已知, (1)判断的奇偶性; (2)证明: 11、定义在上的函数是减函数,且是奇函数,若,求实数的范围。 12.(xx文)已知定义域为的函数是奇函数。 (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式xx成立,求的取值范围。 10 (1)偶函数 (2)奇函数11 (1)偶函数12、 复习题: 2.已知数列,其前项和为,点在抛物线上;各项都为正数的 等比数列满足. (Ⅰ)求数列,的通项公式;(Ⅱ)记,求数列的前项和. 2.在△中,角、、所对的边分别是、、,且(其中为△的面积). (Ⅰ)求;(Ⅱ)若,△的面积为3,求. 3.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: 1 2 3 4 5 频率 0.2 0.45 (1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求,,的值; (Ⅱ)在 (1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为,,,等级系数为5的2件日用品记为,,现从,,,,这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率. 4.如图,在三棱锥中,底面,,为的中点,,. (Ⅰ)求证: 平面; (Ⅱ)求经过点的球的表面积。 5.已知抛物线与轴交点为,动点在抛物线上滑动,且 (1)求中点的轨迹方程; (2)点在上,关于轴对称,过点作切线,且与平行,点到的距离为,且,证明: 为直角三角形 6.设函数. (1)求的极大值; (2)求证: (3)当方程有唯一解时,方程也有唯一解,求正实数的值; 复习题答案: 1、解: (Ⅰ),当时, 数列是首项为2,公差为3的等差数列, 又各项都为正数的等比数列满足 ,解得, (Ⅱ)由题得 ① ② ①-②得 ………………………………………………12分 2、解析: (Ⅰ)由已知得即 ………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ……………………………………12分 3、.解: (1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,a+b+c=0.35……………1分 因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b==0.15………3分 等级系数为5的恰有2件,所以c==0.1……………4分 从而a=0.35-b-c=0.1 所以a=0.1b=0.15c=0.1……………6分 (2)从日用品,,,,中任取两件,所有可能结果(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,), (,),(,)共10种,…9分 设事件A表示“从日用品,,,,中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为(,),(,),(,),(,)共4个,………11分 故所求的概率P(A)==0.4……………12分 4、(Ⅰ)证明: 因为底面,底面, 所以, 又因为,,所以平面, 又因为平面,所以. 因为是中点,所以, 又因为, 所以平面.…………………………6分 (Ⅱ)……………………12分 5、解: (1)显然直线的斜率存在且不为0,设为,设的中点 直线与联立解得: 同理: 的中点 轨迹方程: …………………………6分 (2)由得: ,设则 又则则 又则 为直角三角形……………………13分 6、解: (1)由得 0 递增 极大值 递减 从而在单调递增,在单调递减. ……………………………………………………4分 (2)证明: 分别令,, …………………………9分 (3)由 (1)的结论: 方程有唯一解 方程有唯一解即: 有唯一解 设 由则设的两根为,不妨设 在递减,递增 要使有唯一解,则 即: ① 又②由①②得: 即: ,又是方程的根 ………………………………………………14分
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- 函数 周期性 对称性