第7章截面几何性质答案.docx
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第7章截面几何性质答案
第七章截面几何性质
基本要求与重点
1.形心与重心
(1)理解重心与形心,熟知常见规则图形形心的位置。
(2)记住以下常见规则几何图形的形心位置:
圆及圆环、矩形、三角形。
(3)能熟练计算,由规则图形构成的组合图形的形心位置。
2.面积静矩(又称静矩或面矩)
(1)了解面积静矩的积分定义,掌握其有限式定义。
(2)能熟练计算组合图形的静矩。
(3)熟知面积静矩的重要性质。
3.惯性矩与极惯性矩。
(1)理解惯性矩与极惯性矩
(2)了解惯性矩与极惯性矩的定义
(3)掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系
(4)掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。
(5)记住圆及圆环对圆心的极惯性矩
(6)记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。
4.了解惯性积、形心主轴的概念
主要内容
1.形心与重心
(1)概念与性质
重心是物体的重力中心,形心是几何体的形状中心。
对均质物体,重心与形心位置重合。
若存在几何对称同,则形心必在对称轴上。
(2)计算
形心位置的计算公式分积分式与代数式两种。
其中,常用的是代数形式的计算公式:
2.面积静矩(又称静矩或面矩)
(1)定义:
分为代数式和积分式两种形式
有限式:
几何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值,称为该图形对该轴的静矩。
积分式:
几何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值,称为该元面积对该轴的静矩;所有点的元面积静矩之和,为几何图形的对该轴的静矩。
(2)面积静矩的重要性质:
若图形对某轴的面积静矩为零,则该轴过这一图形的形心;反之亦然。
也就是说,静矩为零与轴过形心互为充要条件。
(3)计算
根据实际情况可选用代数式或积分式进行计算,工程中主要是利用代数式进行计算。
3.惯性矩与极惯性矩。
(1)定义
点对轴的惯性矩:
点对点的极惯性矩
图形对轴的惯性矩
图形对点的惯性矩
(3)掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系
若
是某一图形对直角坐标系
中两轴的惯性矩,
是对该坐标系原点O的极惯性矩。
则:
(4)惯性矩的平行轴定理:
几何图形对任意轴的惯性矩,等于对与该轴平行、且过形心的轴的惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。
(太长了,慢慢读)即:
(5)组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。
第1步:
将图形分割为几个简单图形,按形心计算公式求出总的形心位置。
第2步:
利用平行轴定理,计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。
第3步:
将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。
4.惯性积、形心主轴的概念
惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。
惯性积的值可为:
正、负或零。
当
时,对应的坐标轴
称为主轴,对主轴的惯性矩称为主惯性矩。
当坐标原点在形心时,对应的坐标轴称为形心主轴;对应的惯性矩称为形心主惯性矩。
两个主惯性矩分别是过该点的所有惯性矩的最大值与最小值。
思考题与习题
7-1.如图所示T形截面,C为形心,z为形心轴,问z轴上下两部分对z轴的静矩存在什么关系?
答:
大小相等,正负号相反(上面的静矩为正)。
7-2.如图所示矩形截面m-m以上部分对形心轴z的静矩和m-m以下部分对形心轴z的静矩有何关系?
答:
同上。
7-3.惯性矩、惯性积、极惯性矩是怎样定义的?
为什么它们的值有的恒为正?
有的可正、可负、还可为零?
答:
定义在主要内容中所详细说明。
由定义可知,它们分别是面积元与坐标的函数的积的定积分。
面积元为正,坐标可能为正、负、零。
所以惯性积,可为正、负、零。
而(极)惯性矩是面积与坐标平方的积,恒为正,所以它们的积分也为正。
7-4.图a所示矩形截面,若将形心轴z附近的面积挖去,移至上下边缘处,成为工字形截面图b,问此截面对z轴的惯性矩有何变化?
为什么?
答:
惯性矩为变大。
因为点到轴的距离越远越惯性矩越大,b)图离轴远的点更多。
7-5.图示直径为D的半圆,已知它对z轴的惯性矩
,则对z1轴的惯性矩如下计算是否正确?
为什么?
答:
不对。
平行移轴公式
中,
的轴必须是过形心且与z平行的轴。
7-6.惯性半径与惯性矩有什么关系?
惯性半径iz是否就是图形形心到该轴的距离?
答:
1.惯性半径与惯性矩两者之间的关系是:
。
惯性半径不是图形形心到该轴的距离。
2.不是,由上式可以看出惯性半径恒大于零,图形形心到该轴的距离可以等于零。
(什么时候?
)
7-7.图示各截面图形,以各截面的底边为
轴,试计算对
z1轴的静矩。
解:
a)
b)
或
c)
7-8.如图7—20所示截面图形,求
(1)形心C的位置;
(2)阴影部分对z轴的静矩。
解:
1.求形心C的位置。
形心在y轴上,设到底边的距离为
。
2.阴影部分对z轴的静矩
若利用图形对形心轴的静矩为零的性质,可以计算上半部分的静矩,取相反数,更简单。
即
7-9.计算图示矩形截面对其形心轴z的惯性矩;已知b=150mm,h=300mm。
如按图中虚线所示,将矩形截面的中间部分移至两边缘变成工字形,计算此工字形截面对z轴的惯性矩,并求出工字形截面的惯性矩较矩形截面的惯性矩增大的百分比。
解:
1.矩形惯性矩
2.工字形惯性矩
或用负面积法
3.计算增大的百分比p。
7-10.计算图示各图对形心轴zc、yc的惯性矩。
解:
a)图
b)图
7-11.计算图示图形对其形心轴z的惯性矩。
解1.计算形心轴到顶边的距离d。
2.计算对形心轴z的惯性矩。
7-12.计算图所示组合图形对形心主轴的惯性矩。
解:
由型钢表可查得。
单个参数如下:
面积
形心到边的距离
对平行于边且过形心的轴的惯性矩
由于
是对称轴,且
过形心,根据形心主轴的性质可知
、
是形心主轴。
7-13.要使图示两个№10工字钢组成的截面对两个形心主轴的惯性矩相等,求距离a的值。
解:
查表得对单个工字钢:
面积
对两个工字钢
要使截面对两个形心主轴的惯性矩相等,即:
解得:
补充与拓展
1.三角形的形心位置的讨论
三角形的形心在顶点与边中点连线的交点上,其到边的垂直距离为高的
。
下面介绍另一种常见情况,形心到底边一角的水平距离。
注意:
对于钝角三角形是:
推导方法一:
按
计算形心到E的水平距离,再减去a。
推导方法二:
用
代替a代入到锐角三角形的公式中即可。
2.梯形的形心位置
梯形也是常见的形状之,下面给出其形心位置公式。
1)形心到底的距离
用AE将其分为两个三角形计算。
公式记忆技巧:
三角形到底的公式乘以一个系数,1加远端底与两底和之比。
2)形心到底角的垂直距离
依然用AE将其分为两个三角形计算。
其中,
形心到B的垂直距离是
这个公式并不好记忆。
对于以后用的比较多的直角梯形可化简为:
【前面所有公式推导过程中,三角形面积前的
都没有写。
只是为了省事,非正式的过程中,可以这样做,最后结果不变】
2.关于公式与定理的学习
公式与定理是力学学习中不可回避的重要部分。
这是我们学习的重点过程中的重点。
提高这部分内容的学习效率,对整个力学的学习有很大的帮助。
大家一定有很多这方面学习的经验,下面我们从另一个角度介绍一下这部分内容学习的一个方法。
其基本原理是建立在,“公式是符号化的定理,定理是文字化的公式”。
这一命题上的。
例子1:
用全中文文字述说
。
答:
所有的力对某一点之矩的代数和等于零。
例子2:
用全中文文字述说
答:
所有的力分别对不同的三点之矩求代数和,其值都等于零。
3.坐标旋转变换
设
某一平面内的一个直角坐标系,将
整体绕其坐标原点O旋转角度
,得新的坐标系
。
某点A在坐标系中
的坐标为,
。
试求,A点在新坐标系
中的坐标
。
解:
(1)如图所示,过点A分别作4个坐标轴的垂线得到4个交点,B、C、D、E。
则:
,
;
,
。
过C作
的平行线与
交于M。
将DA向边延长线分别与MC交于N、与
交于P。
由几何与三角函数关系可得:
坐标旋转变换公式:
(2)坐标旋转逆变换公式
在坐标旋转变换公式中,
,
得
4.惯性矩和惯性积的转轴公式
将坐标旋转公式代入到惯性矩及惯性积公式中,可以得到转轴公式
由转轴公式可知
时,
说明对任意一点都存在主轴。
(注:
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)
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