211椭圆及其标准方程 教案高中数学选修11北师大版.docx

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211椭圆及其标准方程教案高中数学选修11北师大版

第二章　圆锥曲线与方程

§1椭　圆

1．1　椭圆及其标准方程

●三维目标

1．知识与技能：

掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．

2．过程与方法：

通过引导学生亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程，进而归纳椭圆的定义，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力．

3．情感、态度与价值观：

通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美．通过讨论椭圆方程推导的等价性养成学生扎实严谨的学习态度．

●重点难点

重点：

椭圆的标准方程与坐标法的基本思想．

难点：

椭圆标准方程的推导与化简及坐标法的应用．

教学时引导学生根据椭圆定义建立直角坐标系推导椭圆的标准方程，根据推导过程理解标准方程及坐标法的应用从而化解难点．

●教学建议

本节内容是圆锥曲线的开始，为后面学习双曲线、抛物线起了好开端．教学时引导学生动手亲自操作画一个椭圆以理解、掌握椭圆的定义．引导学生探究“常数”的条件，让学生讨论、归纳其各种情况，教学时让学生尝试建系求椭圆的方程，让学生在尝试、纠正中求提高．

●教学流程

课标解读

1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆焦点、焦距的定义.

2.会求一些简单的椭圆的标准方程．（重点）

椭圆的定义

【问题导思】　

设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：

参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．

（1）参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？

（2）这种游戏设计的原理是什么？

【提示】　

（1）相同．

（2）椭圆的定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．

我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．

椭圆的标准方程

【问题导思】　

在平面直角坐标系中，已知A（－2，0），B（2，0），C（0，2），D（0，－2）．

（1）若动点P满足|PA|＋|PB|＝6，则P点的轨迹方程是什么？

（2）若动点P满足|PC|＋|PD|＝6，则P点的轨迹方程是什么？

【提示】　

（1）＋＝1.

（2）＋＝1.

焦点在x轴上

焦点在y轴上

标准方程

＋＝1（a>b>0）

＋＝1（a>b>0）

焦点坐标

（－c，0），（c，0）

（0，－c）（0，c）

a、b、c

的关系

b2＝a2－c2

用待定系数法求椭圆的标准方程

　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上任意一点P到两焦点距离的和等于10；

（2）两个焦点的坐标分别为（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点（－，）．

【思路探究】　根据题意，先判断椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a、b的值．

【自主解答】　

（1）∵椭圆的焦点在x轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1（a>b>0）．

∵c＝4，2a＝10，

∴b2＝a2－c2＝9.

∴所求的椭圆方程为＋＝1.

（2）∵椭圆的焦点在y轴上，

∴设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a>b>0）．

∵

解之得

∴所求椭圆的方程为＋＝1.

1.根据已知条件，判定焦点的位置，设出椭圆的方程是解决此题的关键．

2.本题

（2）也可根据椭圆定义求2a.即2a＝＋＝2.

　求过点（，－），且与椭圆＋＝1有相同的焦点的椭圆的标准方程．

【解】　因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1（a>b>0）．

因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①

又点（，－）在椭圆上，

所以＋＝1，

即＋＝1.②

由①②得b2＝4，a2＝20，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

椭圆定义的应用

　已知P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．

【思路探究】　因为∠F1PF2＝60°，所以要求S△F1PF2只要求|PF1|·|PF2|，可根据|PF1|＋|PF2|＝2a及|F1F2|＝2c，结合余弦定理求解．

【自主解答】　在△F1PF2中，

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°.

∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

且a2＝25，b2＝，

∴c2＝25－＝.

∴c＝，即|F1F2|＝2c＝5.

∴25＝（|PF1|＋|PF2|）2－3|PF1||PF2|

＝100－3|PF1||PF2|.

∴|PF1||PF2|＝25.

∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin60°＝×25×＝.

1.本题利用余弦定理整体求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求出|PF1|、|PF2|，这样可以减少运算量．

2.由椭圆上一点P及两个焦点F1、F2连线构成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，一般需根据椭圆的标准方程确定a的值，再依据椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a求解．

　将本例中“∠F1PF2＝60°”改为“∠F1PF2＝90°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积．

【解】　在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，

∴25＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·|PF2|.

由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝10，

∴|PF1|·|PF2|＝.

∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×＝.

与椭圆有关的轨迹问题

　△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a>b>c，A，C的坐标分别为（－1，0），（1，0），求顶点B的轨迹方程．

【思路探究】　利用椭圆的定义和待定系数法求方程．

【自主解答】　由已知得b＝2，又a，b，c成等差数列，

∴a＋c＝2b＝4，即|AB|＋|BC|＝4，

∴点B到定点A、C的距离之和为定值4，由椭圆的定义知B点的轨迹为椭圆的一部分，其中a′＝2，c′＝1.

∴b′2＝3.

又a>b>c，

∴顶点B的轨迹方程为＋＝1（－2

1.本例中动点B满足|AB|＋|BC|＝4>|AC|，符合椭圆的定义，且a＝2，c＝1.因此可以直接用椭圆的定义求得方程，这种用定义求动点轨迹方程的方法叫作“定义法”．

2.求轨迹方程常用的方法有：

（1）直接法；

（2）定义法；（3）待定系数法；（4）相关点代入法．

　已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．

【解】　以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图．

由|BC|＝8，可知点B（－4，0），C（4，0）．

由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10，但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＋＝1（y≠0）．

若以B、C两点的直线为y轴，线段BC的垂直平分线为x轴，则所得点A的轨迹方程应为＋＝1（x≠0）．

忽视椭圆定义致误

　若方程＋＝1表示椭圆，求k的取值范围．

【错解】　由椭圆方程的特征得

解得－3

【错因分析】　本题主要考查对椭圆标准方程的理解，错解中忽略了椭圆标准方程中的限制条件：

a≠b.因为当a＝b>0时，方程表示圆，而不是椭圆．

【防范措施】　方程＋＝1和Ax2＋By2＝1表示椭圆都是有限制条件的，前者要求a>0，b>0，a≠b，后者要求A>0，B>0，A≠B.不等关系体现了椭圆与圆的区别，否则方程也可表示圆．解题时，要注意上述两个方程表示椭圆的条件．

【正解】　由椭圆标准方程的特征得，解得－3

1.椭圆的定义体现了椭圆的几何属性，即平面内满足|MF1|＋|MF2|＝2a（2a>2c）的动点M的轨迹．在解决有关椭圆上的点与焦点的距离问题或已知一动点到两定点的距离之和为定值的问题时，要想到运用椭圆定义．

2.求椭圆标准方程的方法很多，如定义法，待定系数法等，但无论用哪种方法，都要注意以下几个问题：

一是椭圆焦点所在的位置，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆的标准方程是有所区别的，解题时常常要分两种情况进行讨论．二是参数a，b，c之间的关系，a>b>0，c＝.

3.解决有关椭圆的“焦点三角形”问题，常常与正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式相结合．

1.设P是椭圆＋＝1上的点，F1，F2是椭圆的焦点，则|PF1|＋|PF2|等于（　　）

A．6　　　B．3　　　C．9　　　D．7

【解析】　由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×3＝6.

【答案】　A

2.椭圆＋＝1的焦点坐标是（　　）

A．（±4，0）B．（0，±4）

C．（±3，0）D．（0，±3）

【解析】　∵a2＝25，b2＝16，∴c2＝9.

又∵椭圆的焦点在y轴上，

∴焦点坐标为（0，±3）．

【答案】　D

3.（2012·湛江高二检测）焦点在x轴上的椭圆＋＝1的焦距等于2，则m＝________．

【解析】　由椭圆的焦点在x轴上，可得m－4＝c2＝1，所以m＝5.

【答案】　5

4.已知椭圆的两个焦点坐标分别为（－4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和为10，求其标准方程．

【解】　∵椭圆的焦点在x轴上，故得其标准方程为＋＝1（a>b>0）．

∵2a＝10，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.

∴椭圆的标准方程为：

＋＝1.

一、选择题

1.（2012·绥德高二检测）椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为（　　）

A．（±，0）　　　　　　　B．（±，0）

C．（0，±）D．（0，±）

【解析】　∵＋＝1，

∴椭圆的焦点在y轴上，并且a2＝1，b2＝，

∴c2＝.

即焦点坐标为（0，±）．

【答案】　C

2.椭圆＋＝1上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为（　　）

A．2B．3

C．5D．7

【解析】　P到两焦点的距离和为2a＝10，∴另一距离为7.

【答案】　D

3.已知B、C是两个定点，且BC＝8，则到这两个定点的距离的和是8的点的轨迹是（　　）

A．椭圆B．圆

C．线段D．射线

【解析】　由于动点到这两个定点的距离的和是8，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条线段．

【答案】　C

4.椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k＝（　　）

A．－1B．1

C.D．－

【解析】　化椭圆方程为标准形式x2＋＝1，因为点（0，2）是椭圆的一个焦点，所以－1＝4，∴k＝1.

【答案】　B

5.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　把椭圆方程化成＋＝1.若m>n>0，则>>0，所以焦点在y轴上；反之，亦成立．

【答案】　C

二、填空题

6.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是________．

【解析】　由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于2