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运筹学II练习题
运筹学II练习题
1试判定下述非线性规划是否为凸规划:
Min
22
fXx1x28
2
X20
(1)X1
Xi
X2220
0X20
fX,giX,g2X的海赛矩阵的行列式:
2
Xi
Xi
X2
2fX
2f
X
2
x2xi
X2
2
2
giX
gi
X
2
Xi
X
X2
2
2
giX
gi
X
H
gi
2fX
2fX
20
02
20
00
2
g2
X
x
2
g2
X
X2
X1
g2
2
g2
X
X1
X2
2
g2
X
2
X2
00
02
g1X,为凸函数,
知fX为严格凸函数,
g2X为凹函数,所以不是一个凸规划问题。
MinfX2x12x22x32%^2
'22
giXXiX24giX
2
g2X5%x310
Xi,X2,X30
同上有
X,giX,g2X
的海赛矩阵的行列式
2
g|2,是凹函数,g2
0
10
0是凸函数,不是凸规划问题。
0
(3)min
(f(X))
X1
X2
2
2小
g1(X)
1
X1
X2》0
S.t
g2(X)
X1
>0
g3(X)
X2
>0
0
0
H
f(X)
0
->0,Hg
0
20
02>0,
00
「“)^(X)00>0
说明f(X)是凸函数,
g1(X)、g2(X)、g3(X)是凹函数。
因此,本模型是一个凸规划。
2试用斐波那契法求函数
2
fxx3x2
8%()
在区间[0,10]上的极小点,要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的
Fn1/
12.5,n6;
a00,b010;
t1b0
F5
(b0a0)F6
3.846;
t1'a0
F5
(b0a0)F6
6.154;
f(t1)
5.254;f(t1')21.409;
f(t1)
f(t1'),Qa10;b16.154;t2'3.846;
t2b1
F4
(b1a1)
F5
2.308;
f(t2)
0.403;f(t2)
f(t2')5.254Qa20;b2
3.846;t3'
2.308;
t3b2
F3
(b2a2)
F4
1.538;
f(t3)
0.248f(t3')
0.403Qa30;b32.308;t4'1.538;
t4b3
F2
(b3a3)
F3
0.769;
f(t4)
0.284f(t4')
0.248;Qa40.769;b4
2.308;t5
1.538;
t5'a4
F1
(b4a4)F2
1.538
3用分数法求f(t)
2
tt2在区间[1,3]上的近似极小点,
要求缩短后的区向长度不大于原区间长
的8%()
4试用最速下降法求函数
22
fXXi22X2
最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程。
(2,0)
(1)取初始点X00,0T,取精度0.1
420216
4
4,00
204
4,0040
16
1
32
2
1
00
0
14
2
XX
0gX
0
20
0
T
T
gX1
222,4
0
0,0
1
即X即为极小点。
2
为fX
的极大点。
0
(2)取初始点X0
0,1T,取精度
0.1,同上方法进行两次迭代有
两次步长
1
1
0匚,1
3
3
两次迭代结果
4
16
、,29
X°,
X
丄
1
3
9
比较:
对于目标函数的等值线为椭圆的问题来说,椭圆的圆心即为最小值,负梯度方向指向圆心,但初值点与圆心在同一水平直线上时,收敛很快,即尽量使搜索路径呈现较少的直角锯齿状。
5求
f(x)
32
X1
12
2X2
x1x2
2x1的极小点,取
T
X。
240(1,1)
解
f(X)
X2]
3
1x
[20]
X1
11
X2
X2
f(X)
3x1
X2
2x2
T
X1
T
T
f(X。
)
1
26
p°
f(X。
)12
6
12
T
[12
6]
p。
f(x。
)
6
5
P°T
HP。
3
1
12
17
0[126]
1
1
6
0
XiXoPo
T5
T
26
T
38
2412
6
17
17
17
6
T
12
17
17
f(Xi)
6
12
17
17
17
12
f(Xi)T
f(Xi)
171
0
f(X°)T
f(X。
)
12289
[12
6]
6
6
12
1
Pi
f(Xi)
0P0
—
—
[126]
17
17
289
6
T
90210
289289
PiTf(Xi)
P1THP1
Xi
iP
由于f(X2)
00T,故X2
T
ii即极小点,计算经两步终止。
6试用牛顿法求解
(0,0)
MaxfX
2
Xi
1
x;2
取初始点X0
4,0
解求MaxfX
2
xi
1
X2
的极大点,
2
即求
2
Xi
2
X2
2的极小点。
g(X)
2x-i2x2
g(X0)
80
Hg(X)
i
g(X)
i/20
0i/2
X14
i/2
i
T
i/20
所以极大点为
*T
X0,0
7试用共轭梯度法求二次函数(0,0)
A
fX-xtax
2
的极小点,
此处
A
11
12
解
QA
11
12
1-xtax
2
1
2
x:
2x1x2
2
x2
T
ff
T
J
x-X2,x-
2x2
x-ix2
现从x0
T
1,1,开始
0T
fX02,3
P0
X0
2,3
于是
fx0T
2
2,3
3
1
1
2
2,
3
1
2
3
13
34
P0TAP0
°p
1-32
1343
T
85
34’34
fX1—
34
58
34,34
T
-0
34
3
34,
T
2
34
3
3
2
34
1T
34,
34
2
fX1
fX1
341
0fX0T
fX0
2,3
2342
3
P1
oP0
34
342
342
104,65T
34
Tp1
P1TAP1
8考虑下面的非线性规划:
maxf(X)In(捲1)x2
2x.x2<3
s.t1
x1,x2>0
验证它为凸规划,并用K-T条件求解。
(0,3)
解原问题可写为
minf(X)巾(论1)x2
s.tg1(X)
32X1-X2》0
g2(X)
x-]>0
g3(X)
x2>0
计算目标和约束函数的海赛阵
Hf(X)
(X11)2
0
0
0
>0,Hg1(X)
故此问题是凸规划。
f(X)
T1
J
g")
2
x1
K-T条件表达式为
1
212
x11
1
-
1
3
1(3
2x1
x2)0
2X1
0
3X2
0
1>2、
0
0
0
Hg2(X)H
g3(X)
0
<00
T
T
T
1,g2(x)
10
g3(x)01
令x1
0,
3
0,
则有
1
21
20
1
1
0
3
X2
0
解得X1
0,X2
3,
1
T
21,30,显然03是可行点,从而是极小点。
若i0,则无解,于是
10,有32x1x20
Maxfx
2
x3
1x5
清华版,7章例1
10求解二次规划
minf(X)
122
(2x12x2)8x110x2
9试写出下述非线性规则的
Kuhn-Tucker条件并进行求解:
2
63x12x2>0s.t
x,>0,x,>0
T
433
1313
见天大版例3-16
11试解二次规划
22
2x14x-|X24x26x13x2
由于g和C2小于零,故引入的人工变量Z1和Z2前面取负号,这样得到线性规划问题如下
mingzz1z2
y34y4y14X14x?
乙6
y3y4y24为4x2z?
3
x,x2x330
4x1x2X490
X1,X2,X3,X4,y1,y2,丫3”4忆忆20
解此线性规划问题得
12试用SUMT7卜点法求解(1,2)
MaxfXx1
3
x22x110
3
X11X220
X,X20
解原问题转化为
MinfX
x1x23
4xiX29
Xl,X20
解将上述二次规划改写为
122
MinfX4x18x1x28x26论3x2
2
3x1x20
94xix20
X1,X20
可知目标函数为严格凸函数,此外
6,c23,c114,c222
3
x22Xj10
3
x11x220
x-i0
x20
构造惩罚函数
3
2
Px,M
x1Mmin
0,
x22
X1
1
2
3
22
min0,为
1
x22
min
0,x-imin0,x?
P
3
2
1
2Mmin0,x2
2
X-i1
?
3x-i
1
X1
3
2
2Mmin0,x1
1
x22
?
3x1
12Mmin0,为
P
3
2M
min0,x22
X1
1
X2
3
2Mmin0,x1
1
X22
2M
min0,x2
解得最优解为
*T
X1,2
1/2小时的负指数分布,修理时间
13一工人管2台机器,每台机器发生故障前的运转时间为具有均值为也属负指数分布,均值为1/3小时。
(1)画出转速图。
(2)列出平衡方程式求出状态概率Po,R,P2。
(3)求故障机器数的均值Ls。
(4)一台机器每次停机时间均值W。
解
(1)入1=2台/小时,卩=3台/小时M/M/1/•/2模型
c4cc
2
4
8r
P1=Po,P2=
P0一
P0
3
3
3
9
4
Po+P1+P2=Po+
P0+
8Po-1
3
9
r9厂
12
c8
-P0一P
1
P2=
29
29
29
(3)Ls=0Po+1Pi+2P2=l2+I6=28(台)=
292929
(4)入e=u(1—Fb)=3(1—-9)=60
2929
L28
Ws=——=—=0.47(小时)=28(分钟)
e60
14某风景区有一小客店,每天平均到达4人,顾客平均逗留时间为2天,到达服从泊松分布,逗留时间服
从负指数分布,若该旅馆只有(C=)2个单人房间,客房住满时再到达的顾客会离去(N=2)。
(M/M/2/2
模型)
(1)画出转速图,列出平衡方程式。
(2)求空闲概率Po和满员概率P2。
(3)求每天客房占用数的均值Ls。
解入=4人/天(i=1/2人/天
(1)
2=4P1
2=32Po
(2)
1=Po(1+8+32)
=41Po
Po=1/41P1=8/41P2=32/41
(3)
2
Ls=npn
no
41
2翌
41
72
1.76(间)
41
空闲概率为Po=1/41
满员概率为
P2=32/41
客房占用数均值为(间)
15某加油站有一台加油设备,加油的汽车以平均每5分钟1辆的速度到达,服从泊松分布,加油时间服从
负指数分布,平均每辆车的加油时间为4分钟。
试求:
(1)这个加油站平均有多少辆汽车在等待加油
(2)每辆汽车为在这里加油平均需耗费多长时间
(3)管理部门规定,若加油的平均等待时间超过3分钟或系统内的平均汽车数超过8辆,则需要增加
加油设备,试计算现在的情况是否需要增加加油设备
(4)如果加油的汽车流有所变化,那么当超过多少时需要增加加油设备
0.8
(1)P。
0.2
Lq
Ls
(2)W
120
Wq
16
(3)W
3Ls8
需要增加加油设备;
故当入超过(3/28)时,需要增加加油设备
16设ns表示系统中顾客数,nq表示队列中等候的顾客数,在单服务台系统中,我们有
nsnq1ns,nq0
试说明它们的期望值LsLq1,而是LsLq。
根据这关系式给以直观解释。
Lq
n1
n
1Pn
npn
Pn
n1
n1
Ls
1
P0
Ls
则
Ls
Lq
P)P
LsN/2
解在M/M/1/N/模型中,其状态转移图如下:
则Pn-Pn1
又Q1则PnPn1,依次类推
Pn
P0P1
又QPn1,则
n0
Pn1
PoP
即
N1Po1
Po
Ls
1
N1
N
nPn
n0
ng—
N
1NN1g
N12
N
2
18对于M/M/1/N/模型,试证:
1Pn1F0
并对上式给予直观的解释。
解设一由M/M/1/N/
模型的数字特征有
Pn—Pn1Pn1
1
P0
1N7
1
N1
1
P0
1PN1
1
显然
Po
pN
Pn
Pn
Pn
Po
1Po
pN
PN
Pn
Po
Po
1Po
由于系统的容量为
则有效到达率为:
PoP1
Pn1
Pn
当系统平衡时,有效到达率和有效服务率应当相等,
1Pn
1Po
,并给予直观解释。
19对于M/M/1/m/m模型,试证Lsm
证由于系统的有效服务率为:
1Po
器单位时间内实际发生故障的平均数为:
emLs
当系统达到平衡时
ee
则
mLs
故
1P)
Lsm
1Po
21(订货决策)某商店经营一种易腐食品,出售后一个单位可获利a=5元。
若当天售不出去,则每单位损
失b=3元。
该店经理统计了连续40天的需求情况(不是实际销售量)。
现将所得数据列出如下:
3,3,4,2,2,4,2,3,4,4,4,3,2,4,2,3,3,4,2,2,4,3,4,3,2,3,4,2,3,2,2,3,4,2,4,4,323,3
经理想应用马尔可夫链来预测需求量,确定明天进货量。
(1)已知当天需求量为3个单位,明日应进货多少单位
(2)若不知当天需求量,明日应进货多少单位
23、计算下列判断矩阵的权重
A-C
C1
C2
C3
(1)
C1
1
1/5
1/3
C2
5
1
3
C3
3
1/3
1
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