周培源力学竞赛试题与解答第六界初赛第六届与第七届.docx

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周培源力学竞赛试题与解答第六界初赛第六届与第七届

第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）

时间3小时，满分120分

一、奇怪的独木桥（25分）

　　一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：

禁止独自一人过桥。

他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。

他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥

而1个人却不能。

等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。

　　根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。

独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M]=600N.m。

为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。

请你分析一下：

（1）本问题与力学中的什么内容有关系？

（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？

（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？

图1奇怪的独木桥

二、模特儿与新型舞台（35分）

　　有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。

该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6条等长的桌腿（图2）。

每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。

该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。

如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则

（1）本问题与力学中的什么内容有关系？

（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？

（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的

边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。

图2模特儿的新舞台

三、魔术师的表演（25分）

　　魔术师要表演一个节目。

其中一个道具是边长为a的不透明立方体箱子，质量为M1；另一个道具是长为L的均质刚性板AB，质量为M2，可绕光滑的A铰转动；最后一个道具是半径为R的刚性球，质量为M3，放在刚性的水平面上。

魔术师首先把刚性板AB水平放q置在圆球上，板和圆球都可以保持平衡，且圆心O和接触点B的连线与垂线夹角为?

。

然后魔术师又把箱子固定在AB板的中间位置，系统仍可以保持平衡，如图3所示。

魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球，竟然轻易地就把圆球推开了。

更令人惊讶的是，当圆球离开AB板后，AB板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。

图3魔术师的箱子

（1）为什么在AB板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？

这其中涉及了什么力学内容？

（2）根据上述介绍，你能否求出AB板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？

　　（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。

魔术师让观众来检查，证明这时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。

你认为这可能吗？

　　请指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。

四、出人意料的交线（35分）

　　设Oxy是固定坐标系。

系统由三根不计半径的细杆构成，初始时刻CD杆沿轴；OB杆长为，沿x轴正方向；AB杆长为l，开始时先与轴平行，绕x轴负方向转动β角后，把这三根杆件焊成一个整体，如图4所示。

　　假设在平面内有一张纸存在，为了能让系统持续地绕轴以匀角速度yzzω转动，需要在纸上挖出某种形状的空隙让AB杆通过（这里只考虑AB杆）。

（1）如果a=0，求空隙的函数表达式Γ0，并画出示意图。

（2）如果a>0，求空隙的函数表达式Γa，并画出示意图。

Γ0与Γa有何关系？

　　（3）当a>0时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P点位于AB杆中点且时，如果要求点的速度和加速度，你如何考虑？

取

速度和加速度是多少？

图4初始时刻的系统位置

第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答

一、奇怪的独木桥

（1）本问题与力学中的什么内容有关系？

关键词：

梁的弯曲、弯矩。

（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？

该问题简化为下图，设人从B向A走去，载荷P与B点距离为x，AB间的距离为L。

易求出支座B点的约束力为RB=P（L-x）/L

则AB间最大弯矩为M（x）=P（L-x）/L

根据允许最大弯矩为[M]600Nm，有P（L-x）x/L≤M

代入数据，解出x≤1，x≥3

即一个人最远可以向前走1米（另一解略去）。

（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？

若两人同时上桥，一人在右侧外伸段距右端支座为x1处，另一个人在桥上，行至离左端支座x2处，其弯矩如图所示。

这时支座的反力为

RA=P（L-x1-x2）/L,RB=P（L+x1+x2）/L

弯矩极大值为M1=Px1,M2=P（L-x1-x1）x1/L

欲要安全通过，要求，M1≤[M]M2≤[M]，代如数据得

欲使上式恒成立，则需

解得0.536≤x1≤7.46

考虑到M1≤[M]，得x1≤7.5m

所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为（0.536-0.75）m之间时，另一人可安全通过独木桥。

通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为（0.536-0.75）m之间，另一个人亦可安全通过。

（本题改写自：

周道祥，《力学与实践》小问题第120题，1986，No.3）

二、模特儿与新型舞台

（1）本问题与力学中的什么内容有关系？

关键词：

受力平衡，变形的协调条件。

（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？

利用对称性及反证法。

设坐标系及各灯的标号如下。

由于结构与载荷对称，如果1灯不亮，则根据左右（y轴）对称，3灯也不会亮。

又根据上下（x轴）对称，4灯和6灯不亮。

所以1、3、4、6灯的状态总是相同的，而2与5灯的状态也相同。

灯亮表示对应的桌腿受压，长度变短，而灯不亮表示对应的桌腿不受压，长度不变。

如果假设有部分灯亮，另一部分灯不亮，就会引起矛盾。

因此六盏灯全亮。

（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。

设模特儿重量为P，所在A点的坐标为（x,y）。

由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压，

下面就分析桌腿的受力。

（a）设六条腿的受力分别是Ni（i=1,……,6），有平衡方程

由刚性桌面变形协调条件，可得三个方程，比如可以列出

解上述六个方程，由于桌腿不能提供拉力，令Ni>0（i=1,……,6），得到不等式

|3x±4y|<2a

得到解的区域为菱形BCHI（不含边界），其中B点坐标为

下面设模特儿位于桌面第一象，限讨论其他几种情形。

（b）五腿受力，设腿1不受力，令N1=0，舍去方程（5），求得均自然满足，根据

均自然满足，根据

得

这两个不等式，加上BC，即得五腿受力区为三角形BCD（包含BC，但不包含边界BD和CD），其中D点坐标为

（c）四腿受力有两种情况，第一种情况是2、3、5、6腿受力。

舍去方程（5）、（6），并令N1=N4=0，再令N2>0，得-x-y+a>0

即知三角形BDF为四腿（2，3，5，6）受力区（包含BD，但不包含边界DF），其中F点的坐标为（a,0）。

四腿受力的第二种情况是3、4、5、6受力。

舍去方程（4）、（5），且令N1=N2=0，令N4>0，得

-6x-2y+5a>0

即知三角形CDE为四腿（3,4,5,6）受力区（包含CD，但不包含边界DE），其中E点的坐标为

.

（d）剩下的四边形DEGF为三腿（3,5,6）受力区。

另外对于桌子的边界，CE表示亮三盏灯的区域（不含E点）。

（e）如果要两盏灯亮，则是不稳定平衡。

在第一象限内，两盏灯亮对应的区域是EG和GF边表示亮两盏灯的区域（不含G点）。

（f）一盏灯亮对应的区域是G点。

最后根据x轴和y轴的对称性，即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。

（本题改写自：

陈嘉，《力学与实践》小问题第29题，1982，No.3；秦寿珪，《力学与实践》小问题第100题，1985，No.4）

三、魔术师的表演

（1）为什么在AB板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去，而魔术师用很小的力却可以推开圆球？

这其中涉及了什么力学内容？

关键词：

摩擦，自锁。

当AB板压在圆球上时，圆球在自重，地面反力和B处反力作用下平衡。

这时圆球处于摩擦自锁，再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。

但是魔术师用水平力推圆球时，这时圆球从受三个力变为受四个力。

如果摩擦力已达最大值，水平力虽然很小，仍可破坏圆球的平衡。

（2）根据上述介绍，你能否求出AB杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系？

利用三力平衡条件，圆球受力如图。

　　利用几何法，有

，由于BR要在摩擦角θ内，有

　　由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡，所以BR要在摩擦角的边缘，因此

（3）AB板只在A处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。

魔术师让观众来检查，证明时平板有且只有A点与地面接触，排除了看不见的支撑或悬挂等情况。

你认为这可能吗？

指出其中可能涉及的奥秘，并分析其中可能涉及的参数。

　　系统只有A铰而平衡，这从静力学角度是难以想象的，但是从动力学角度就可以实现。

中一种可能是：

箱子中有一个转子，圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。

　　设飞轮转动惯量为J，可在箱内电机驱动下以角加速度ε顺时针转动。

为说明问题，暂时设B处是铰链。

　　用动静法，飞轮上作用有力矩

　系统对点取矩，有A

　　可以看出，如果

B处的约束反力就为零（由于转子的转动与电流有关，而ε是常数，因此事先设计好电流的大小即可），这时撤去B处的约束不影响板的平衡。

AB在表演魔术时，可以让B点与圆球接触时不通电，而圆球离开时通电。

四、出人意料的交线

（1）如果a，求空隙的函数表达式0=0Γ，并画出示意图。

容易看出，时0a=AB杆在一个圆锥上运动，圆锥与平面的交线为yz

（2）如果a，求空隙的函数表达式0>Γa，并画出示意图。

Γ0与Γa有何关系？

设AB与yz平面的交点是P，BP的长度为ξ。

则根据几何关系，P点的坐标为

消去参变量ξ，有

所以点的轨迹是抛物线（的一部分），这也就是空隙的方程。

而曲线Γ0是Γa的渐进线。

（3）当时，设P点是AB杆与yz平面的交点，当P点位于AB杆中点且时，如果要求P点的速度和加速度，你如何考虑？

如果取

速度和加速度是多少？

思路：

采用点的复合运动关系，以p为动点，AB杆为动系。

相对运动沿AB杆，牵连运动作定轴转动，绝对运动是在

yz平面内的抛物线上运动。

当P为AB杆中点时，设P点的坐标为（xp,yp,zp），B点的坐标为（xB,yB,zB）∠BOC=θ。

其中

其中

由于点在平面内运动，因此有

（ii）加速度分析：

其中

因此

由于p点在yz平面内运动，因此有

代入数据，有

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题

出题学校：

清华大学满分：

120分时间：

3小时

一、声东击西的射击手（30分）

　　射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。

欢迎来到这个与众不同的射击场。

在这里，共有10个小球Pi（号码从0到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。

　　假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。

圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。

均质细杆CD的质量为M，长为L=0.5H，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。

小球Pi质量均为m，不计半径，小球iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ei，且满足

。

（1）为使小球1P击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？

（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？

（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？

冲量有多大？

二、骄傲自满的大力士（35分）

　　有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。

正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：

立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为H=2.4m，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为L=H。

立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为D=0.06m。

夫人经过计算后想出了主意：

和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。

比赛规则是：

通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。

绳索的重量不计，长度不限。

球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力σS=57MPa。

　　大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ=0.5，自己重量为G1=700N，夫人重量为G2=700N。

为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。

于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径R=0.8m的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。

大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。

大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。

而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……

（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？

该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？

（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？

（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？

夫人可能采用什么方式把球门拉倒？

三、顾此失彼的挑战者（30分）

　　魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。

　　魔术师首先介绍道具（如图所示）：

两个透明的水晶圆球O1和O2；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。

在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。

假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。

两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为P=ql。

　　假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。

观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。

　　魔术师的问题如下：

（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？

（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球O1在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。

如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？

定性画出此时AB板挠度的示意图。

　　（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球O1在AD之间某位置平衡，接触点为C1；同时让水晶球O2在DB之间某位置平衡，接触点为C2。

观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。

如果你认为本问题有解，AC1和AC2的水平距离是多少？

如果没有解，如何证明？

四、技高一筹的魔术师（25分）

　　魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。

魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。

但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。

　　魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。

说完在后落下的水晶球O1表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。

只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的O1球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。

　　在观众的掌声中，魔术师撤走了O1球，把O2球拿了起来。

“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。

”魔术师说完把O2球转了转，然后更加小心地把O2球也放在板上（接触点为B点）。

观众发现，O2球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……

（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？

（2）水晶球O1可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。

　　（3）水晶球O2只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。

　　注：

第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

清华大学航天航空学院

高云峰

一、声东击西的射击手（30分）

二、骄傲自满的大力士（35分）

（1）

；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。

（2）危险点坐标

（3）大力士在0θ=时最接近拉坏球门：

σ1-σ2=56.0Mpa；夫人进入圆圈内，θ=90°时可以有σ1-σ3=57.9MPa.

三、顾此失彼的挑战者（30分）

（1）最大挠度处：

（2）滚轴D更靠近B点；挠度示意图如下：

（3）解不存在，证明见解题过程。

四、技高一筹的魔术师（25分）

（1）水晶球O2涂了新型材料。

（2）关键参数：

；纸片重量

（3）关键参数：

；初始角速度

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题

出题学校：

西北工业大学

满分：

120分时间：

3小时

一、小球在高脚玻璃杯中的运动（20分）

　　一半球形高脚玻璃杯，半径r=5cm，其质量m1=0.3kg，杯底座半径R=5cm，厚度不计，杯脚高度h=10cm。

如果有一个质量1.02=mkg的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。

已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数fs=0.5。

试分析小球在运动过程中：

（1）高脚玻璃杯会不会滑动；

（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。

二、杂耍圆环（40分）

1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？

2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。

设圆环与地面接触瞬时圆环中心O点的速度大小为v0，圆环的角速度为ω0，圆环半径为r，质量为m，圆环与地面间的静摩擦因数为sf，不计滚动摩阻，试问：

（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？

（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？

（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v1，圆环平面保持在铅垂平面内。

试分析圆环碰到高为

的无弹性台阶后，能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。

3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。

又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为ft，圆环与地面间的滚动摩阻系数为δ。

试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。

三、趣味单杠（30分）

单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。

单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。

一天，他们准备在单杠上进行大回环比赛。

假设单杠的横杆和立柱均为直径D=28mm的钢杆，弹性模量E=200GPa，许用应力[σ]=160MPa，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m。

立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。

假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为F=1000N，不计人的自重。

1.试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。

2.若两人相差180°旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力有什么影响。

3.为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面0.6m处增加一个直径20mm的拉杆。

试定性分析该杆对上述两种情况的影响。

四、跳板跳水（30分）

举世瞩目的第29届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8枚金牌中的7枚，囊括了3m跳板跳水的4枚金牌。

Duraflex的MaxiflexModelB跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为b=0.5m，h=0.05m，跳板的弹性模量E=70GPa，比重γ=25kN/m3，a=3.2m，l=m1.6。

运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C，再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。

若运动员体重G=700N，最大弹跳高度H=0.6m，取g=9.8m/s2。

1.根据所学知识，建立相应的力学分析模型。

2.为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳板C端最小距离s应大于0.5m。

试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？

3.不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动应力为多少？

4.如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？

5.如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

一、小球在高脚玻璃杯中的运动（20分）

当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角

时，高脚玻璃杯侧倾（一侧翘起）。

二、杂耍圆环（40分）

1.圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。

开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。

2.

（1）圆环自己滚回的条件为：

方向如图所示。

（2）距离：

　（3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为：

3．当接触点A与圆环中心C的连线与铅