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微观经济学计算的题目
第二章需求、供应
计算题
2、假设X商品的需求曲线为直线,QX=40-X,,Y商品的需求曲线也为直线,X与Y的需求线在Px=8的那一点相交,在Px=8的那一点上,X的需求弹性的绝对值只有的Y的需求弹性的绝对值的一半,请根据上述条件求Y的需求函数。
解:
当PX=8时,QX=36,且|EX|=1/9,故|EY|=2/9,设Y商品的需求函数为QY=a-bPY,
由此可得b=1,由于36=a-8,得a=44,故Y商品的需求函数为QY=44-PY.
3、某人每周收入120元,全部花费在X和Y两种商品上,他的效用函数为U=XY,PX=2元,PY=3元。
求〔1〕为获得最大效用,他会购置几单位X和Y?
〔2〕货币的边际效用和总效用各多少?
〔3〕假设X的价格提高44%,Y的价格不变,为使他保持原有的效用水平,收入必须增加多少?
解:
〔1〕由U=XY,得MUX=Y,MUY=X,根据消费者均衡条件得Y/2=X/3
考虑到预算方程为2X+3Y=120
解得X=30,Y=20
〔2〕货币的边际效用λ=MUX/PX=Y/PX=10
总效用TU=XY=600
〔3〕提价后PX=2.88新的消费者均衡条件为Y/2.88=X/3
由题意知XY=600,解得X=25,Y=24
×25+3×24=144元
ΔM=144-120=24元
因此,为保持原有的效用水平,收入必须增加24元。
3、证明需求曲线P=a/Q上的点均为单一弹性
证明:
dQ/dP=-aP-2,Ed=(dQ/dP)(P/Q)=(-aP-2)(P/aP-1)=-1,故|Ed|=1,为单一弹性。
4、1986年7月某外国城市公共汽车票价从32美元提高到40美元,1986年8月的乘客为880万次,与1985年同期相比减少了12%,求需求的弧弹性.
解:
由题设,P1=32,P2=40,Q2=880
Q1=880/(1-12%)=880/88%=1000
于是,Ed=[(Q2-Q1)/(P2-P1)]×[(P1+P2)/(Q1+Q2)]≈
故需求弹性约为-0.57.
5、设汽油的需求价格弹性为-0.5,其价格现为每加仑1.20美元,试问汽油价格上涨多少才能使其消费量减少10%?
解:
因为〔dQ/Q〕·〔P/dP〕=-0.5要使dQ/Q=-10%,如此有dP/P=1/5
×
6、某电脑公司生产的芯片的需求弹性为-2,软盘驱动器的弹性为-1,如果公司将两种产品都提价2%,那么这些产品的销售将会怎样变化?
解:
因为芯片弹性〔dQ/Q〕·〔P/dP〕=-2所以dQ/Q=-2×2%=-4%
因为软盘驱动器弹性〔dQ/Q〕·〔P/dP〕=-1所以dQ/Q=-1×2%=-2%
即提价2%后,芯片销售下降4%,软盘驱动器销售下降2%。
7、消费x,y两种商品的消费的效用函数为:
u=xy,x,y的价格均为4,消费者的收入为144,求x价格上升为9,所带来的替代效应和收入效应。
解:
Mux=yMuy=x因为Mux/Px=Muy/Py得X=y
又因为4X+4y=144得X=y=18
购置18单位x与18单位y,在x价格为9时需要的收入M=234
在实际收入不变时,Mux/Muy=Px/Py=y/x=9/4且9x+4y=234
得x=13,可以看出由于替代效应对X商品的购置减少5单位。
再来看价格总效应,当Px=9,Py=4时,Mux=yMuy=xY/x=9/4且9x+4y=144
得X=8y=18
由此可见价格总效应使X商品的购置减少10单位,收入效应与替代效应各为5单位。
8、某消费者消费X和Y两种商品时,无差异曲线的斜率处处是Y/X,Y是商品Y的消费量,X是商品X的消费量。
〔1〕说明对X的需求不取决于Y的价格,X的需求弹性为1;〔2〕PX=1,PY=3,该消费者均衡时的MRSXY为多少?
〔3〕对X的恩格尔曲线形状如何?
对X的需求收入弹性是多少?
解:
〔1〕消费者均衡时,MRSXY=Y/X=PX/PY,即PXX=PYY,
又因为PXX+PYY=M,故X=M/2PX,可见对X的需求不取决于Y的价格。
由于dX/dPX=-M/2PX2|EX|=-(dX/dPX)(PX/X)=1
(2)PX=1,PY=3,消费者均衡时,MRSXY=PX/PY=1/3。
〔3〕因为X=M/2PX,所以dX/dM=1/2PX,
假设以M为纵轴,X为横轴,如此恩格尔曲线是从原点出发,一条向右上方倾斜的直线,其斜率是dM/dX=2PX。
对X的需求收入弹性EM=〔dX/dM〕〔M/X〕=1
9、销售商品X的总收益〔R=PQ〕方程为:
R=100Q-2Q2,计算当边际收益为20时的点价格弹性。
解:
由R=100Q-2Q2,得MR=dR/Dq=100-4Q
当MR=20时,Q=20,考虑到R=PQ=100-2Q2,得P=100-2Q=60
Ed=(dQ/dP)·(P/Q)=(-1/2)·(60/20)=-3/2
10、X公司和Y公司是机床行业的两个竞争者,这两家公司的主要产品的需求曲线分别为:
PX=1000-5QX,PY=1600-4QY,这两家公司现在的销售量分别为100单位X和250单位Y。
〔1〕求X和Y当前的价格弹性;〔2〕假定Y降价后,使QY增加到300单位,同时导致X的销售量QX下降到75单位,试问X公司产品X的交叉价格弹性是多少?
〔3〕假定Y公司的目标是谋求销售收入最大化,你认为它降价在经济上是否合理?
解:
〔1〕PX=1000-5QX=1000-5×100=500
PY=1000-5QY=1600-4×250=600
EdX=(dQX/dPX)·(PX/QX)=(-1/5)·(500/100)=-1
EdY=(dQY/dPY)·(PY/QY)=(-1/4)·(600/250)=-3/5
〔2〕由题设,QY’=300,QX’=75
如此PY’=1600-4QY’=400ΔQX=-25,ΔQY=-200
于是EXY=(ΔQX/ΔPY)·[(PY+PY’)/2]·[2/(QX+QX’)]=5/7
(3)根据
(1)得知Y公司产品在价格P=600时,需求价格弹性为-3/5,说明缺乏弹性,
这时降价会使销售收入减少,故降价不合理.
第三章消费者行为理论
计算题
1、某人每周花360元买X和Y,Px=3,Py=2,效用函数为:
U=2X2Y,求在均衡状态下,他如何购置效用最大?
解:
max:
U=2X2Y
S.T360=3X+2Y
构造拉格朗日函数得:
W=2X2Y+λ(360-3X-2Y)
dW/Dx=MUx-3λ=4xy-3λ=0
dW/Dy=MUy-2λ=2x2-2λ=0
求得:
4Y=3X,又360=3X+2Y,得X=80,Y=60
2、求最优需求,maxU=X1+(X2-1)3/3
S.T4X1+4X2=8
(1)如果效用函数变为U=3X1+(X2-1)3,而预算约束不变如此最优需求会改变吗?
(2〕如果效用函数不变,而预算约束变为2X1+2X2=4,如此最优需求会改变吗?
.解:
运用拉格朗日函数,L=X1+(X2-1)3/3+λ(8-4X1-4X2)
dL/dX1=1-4λ=0
dL/dX2=(x2_1)2-4λ=0显然,〔X2-1〕2=1,求得:
X2=0,X1=2;或X2=2,X1=0
代入总效用函数,可将X2=2,X1=0舍去,因此最优需求为X2=0,X1=2
当U=3X1+(X2-1)3时,同理求得X1=2,X2=0,即最优需求不变.
当预算约束变为2X1+2X2=4时,同理求得:
X1=2,X2=0,最优需求也不变.
3、某人的收入为10000元,全部用于购置商品X和商品Y〔各自的价格分别为50、20元〕,其效用函数为u=xy2。
假设个人收入税率为10%,商品X的消费税率为20%。
为实现效用极大化,该人对商品x、y的需求量应分别为多少?
解:
M=10000〔1-10%〕=9000
Px=50〔1+20%〕=60
Py=20
预算约束式:
60x+20y=9000由此可得y=450-3x代入u=xy2的得
u=9(x3-300x2+22500x〕
由du/dx=9〔3x2-600x+22500〕=0得
x1=150x2=50由于x1=150时,u=0不合题义,所以该人需求量为x=50,y=300。
4、所有收入用于购置x,y的一个消费者的效用函数为u=xy,收入为100,y的价格为10,当x的价格由2上升至8时,其补偿收入〔为维持效用水平不变所需的最小收入〕是多少?
解:
最初的预算约束式为
2x+10y=100
效用极大化条件MUx/Muy=Px/Py=2/10
由此得y/x=1/5
x=25,y=5,u=125
价格变化后,为维持u=125效用水平,在所有组合(x,y)中所需收入为
m=8x+10y=8x+10·125/x
最小化条件〔在xy=125的约束条件下〕
dm/dx=8-1250x-2=0
解得x=12.5,y=10,m=200
5、假设某消费者的效用函数为U=XY4,他会把收入的多少用于商品Y上?
解:
由U=XY4,得MUX=Y4,MUY=4XY3,根据消费者均衡条件得Y4/PX=4XY3/PY,
变形得:
PXX=〔1/4〕PYY,将其代入预算方程得PYY=〔4/5〕M,
即收入中有4/5用于购置商品Y。
6、设某消费者的效用函数为U〔x,y〕=2lnx+(1-α)lny;消费者的收入为M;x,y两商品的价格分别为PX,PY;求对于X、Y两商品的需求。
解:
构造拉格朗日函数L=2lnX+(1-α)lnY+λ(M-PXX-PYY)
对X、Y分别求一阶偏导得2Y/(1-α)X=PX/PY代入PXX+PYY=M
得:
X=2M/(3-α)PXY=(1-α)M/(3-α)PY
7、某人的效用函数依赖于全年不劳动的闲暇天数X,和对商品Y的消费量,购置Y的支出全部来源于其劳动天数L所得的工资。
假设日工资为100元,商品Y的价格为50元,问该人假设想实现效用最大化〔U=X2Y3〕,如此他每年应安排多少个劳动日?
解:
预算约束式为50Y=100L,即Y=2L=2〔365-X〕
构造拉格朗日函数L=X2Y3-λ(Y+2X-730〕
对X、Y分别求一阶偏导得Y=3X,进而得X=146,Y=438,L=219,
即该人每年应安排219个工作日.
8、消费X,Y两种商品的消费者的效用函数为U=X3Y2,两种商品的价格分别为PX=2,PY=1,消费者收入为M=20,求其对X,Y的需求量。
解:
PXX+PYY=M
2X+Y=20
U=X3〔20-2X〕2=400X3—80X4+4X5
效用极大1200X2-320X3+20X4=0
解得X1=0,X2=6,X3=10
X=0或10时U=0,不合题意
所以X=6,Y=8。
9、令消费者的需求曲线为P=a-bQ,a,b>0,并假定每单位商品征收t单位的销售税,使得他支付的价格提高到P(1+t)。
证明,他的消费者剩余的损失将总是超过政府因征税提高的收益。
解:
设价格为P时,消费者的需求量为Q1,由P=a-bQ1,得Q1=〔a-P〕/b。
又设价格为P(1+t)时,消费者的需求量为Q2,如此Q2=[a-P(1+t)]/b
消费者剩余的损失
=∫0Q1(a-bQ)dQ-PQ1-[∫0Q2(a-bQ)dQ-P(1+t)Q2]
=∫Q1Q2(a-bQ)dQ+P(1+t)Q2-PQ1
=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2+P(1+t)Q2-PQ1
政府征税而提高的收益=P(1+t)Q2-PQ1
消费者剩余损失—政府征税得到的收益
=(aQ-bQ2/2)∣Q1Q2=(aQ1-bQ12/2)-(aQ2-bQ22/2)
=〔2tP+t2P2〕/2b
因为b、t、P>0所以〔2tP+t2P2〕/2b>0
因此,消费者剩余的损失要超过政府征税而提高的收益。
第四章生产者行为理论
计算题
22,现令K=10,求出APL和MPL。
解:
APL=10-0.5L+8/L,MPL=K-L=10-L
2、假定某大型生产企业,有三种主要产品X、Y、Z,它们的生产函数分别为:
QXCM
QY2CM)1/2
QZ=10L+7C+M
试求这三种产品的生产规模报酬性质.
解:
fX(λL,λC,λM)=1.6(λL)(λC)(λM)=λQX
产品X的规模报酬递减
fY(λL,λC,λM)=[0.4(λL)2(λC)(λM)]1/2=λ2QY
产品Y的规模报酬递增
fZ(λL,λC,λM)=10λL+7λC+λM=λQZ
产品Z的规模报酬不变
3、生产函数为Q=f〔K,L〕=10KL/〔K+L〕,求解〔1〕劳动的边际产量与平均产量函数;〔2〕劳动边际产量的增减性。
解:
(a)劳动的边际产量MPL=dQ/dL=10K2/(K+L)2,
劳动的平均产量APL=Q/L=10K/〔K+L〕
〔b〕因为MPL=10K2/(K+L)2,得:
d(MPL)/dL=[-10K2×2(K+L)]/(K+L)4
=-20K2/(K+L)3<0
所以边际产量函数为减函数。
4、某企业使用资本和劳动生产一种小器具,在短期中,资本固定,劳动可变,短期生产函数为X=-L3+24L2+240L,其中,X是小器具的每周生产量,L是雇佣工人的数量,每个工人一周工作40小时,工资率为12元/小时。
〔A〕计算企业在如下情况下L的取值X围:
⑴ 第一阶段;⑵ 第二阶段;⑶ 第三阶段
〔B〕使企业愿意保持短期生产的最低产品价格是多少?
〔C〕产品以一定的价格出售,使得企业每周可能的最大纯利是1096元,为了获得这样多的利润,必须雇佣16个工人,问企业的总固定本钱是多少?
解:
A.区分三个生产阶段,关键在于确定AP最大和MP=0所对应的数值:
AP=-L2+24L+240
所以dAP/dL=-2L+24L令其为0得:
L=12检验当L<12时AP是上升的。
MP=-3L2+48L+240=0
所以 L2-16L-80=0
所以 L=20时 MP=0 当L>20时dMP/dL=-6L+48<0
所以 MP对于所有的L>20均小于零。
因此:
⑴第一阶段 0<L<12
(2)第二阶段 12<L<20
(3)第三阶段 L>20
B.当P=minAVC时应停产。
minAVC与maxAP是一致的。
从A可知:
L=12,而L=12时,由生产函数算出x=4608。
每周工资W=12元×40=480元
AVC=WL/X=1.25元
所以最低价格是1.25元。
C.要使利润最大,应使W=MRP=MP×PX
所以PX=W/MP L=16时,W=480 MP=240 P=2元
由生产函数知L=16时,L=5888
因此 总收益=2元×5888=11776元
TVC=480元×16=7680A元
所以TFC+利润=4096元
假设利润=1096元,如此TFC=3000元
5、某企业仅生产一种产品,唯一可变要素是劳动,也有固定本钱。
短期生产函数为
3+6L2+12L,
其中,x是每周产量,单位为吨,L是雇佣工人数,问:
A.劳动的平均实物产量最大时,需雇佣多少工人?
B.劳动的边际实物产量最大时,需雇佣多少工人?
C.平均可变本钱最小时,生产多少x?
D.每周工资360元,x的价格为30元/吨,利润最大时,生产多少x?
E.如果工资为每周510元,x的价格多大时,企业不扩大或减小生产。
F.x的价格10元/吨,总固定本钱15000元,假设企业发现只值得雇佣36个工人,每周纯利润是多少?
3+6L2+12L得
2+6L+12
所以令d〔X/L〕/dL=-0.2L+6=0如此L=30
2+12L+12
令d2X/dL2=-0.6L+12=0所以L=20
C.由A知:
L=30时,X/L最大,此时WL/X最小。
由该生产函数求得:
L=30时,X=3060
D.利润最大的条件是:
MRP=P×MP=W
2+12L+12=12
所以0.3L=12所以L=40
既然L>30时,AP>MP〔见A局部〕所以进展生产是合算的。
当L=40时,X=3680
E.停止扩大生产点是AP的最大点,因此由〔A〕知,L=30
利润最大的条件是:
MP=W/P
L=30时,MP=102=510/P所以P=5元
F.MP=W/P当L=36时,MP=55.2=W/10
所以W=552当L=36,X=3542.4
总收益=3542.4×10=35424
TVC=552×36=19872
所以TFC+利润=15552
TFC=15000
利润=552元
6、3+6L2+12L,求:
a.劳动的平均产量最大时厂商雇佣的劳动量b.劳动的边际产量最大时厂商雇佣的劳动量。
解:
因为APL2+6L+12,dAPL/dL=-0.2L+6=0,L=30.MPL2+12L+12,dMPL/dL=-0.6L+12=0,如此L=20.
7、厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8,又设PL=4元,PK=5元,求该厂商生产200单位产品时,应使用多少单位的L和K才能使本钱降至最低?
解:
MPL=〔3/8〕L-5/8K5/8,MPK=〔5/8〕L3/8K-3/8
要实现本钱最小化,即要求MPL/MPK=PL/PK=4/5,可得L=〔3/4〕K
于是有〔3K/4〕3/8K5/8=200,因此K=200〔3/4〕-3/8,L=200〔3/4〕5/8
8、证明在柯布—道格拉斯生产函数Q=AKαLβ中,α、β分别为资本和劳动的产出弹性。
证明:
柯布—道格拉斯生产函数记为:
Q=ALαKβ,
EL=(dQ/dL)·(L/Q)=(α/L)·Q·(L/Q)=α
EK=(dQ/dK)·(K/Q)=(β/K)·Q·(K/Q)=β
计算题
1、某企业的平均可变本钱为AVC=X2-30X+310,AVC为平均可变本钱,X为产量,当市场价格为310时,该企业利润为0,问该企业的固定本钱是多少?
解:
因为利润π=TR-TC=〔P-AC〕Q且当P=310时,π=0,得AC=310
AFC=AC-AVC=310-〔X2-30X+310〕=-X2+30X,所以TFC=-X3+30X2
考虑到MC=d〔TVC〕/dX=d〔X3-30X2+310X〕/dX=3X2-60X+310
根据P=MC=AC,得产量X=20,因此TFC=-X3+30X2=4000
该企业的固定本钱是4000单位。
2、某企业短期总本钱函数为STC=1000+240q-4q2+〔1/3〕q3。
〔1〕当SMC达到最小值时的产量是多少?
〔2〕当AVC达到最小值时的产量是多少?
解:
〔1〕SMC=dSTC/dq=240-8q+q2=〔q-4〕2+224所以当q=4时SMC达最小值
〔2〕AVC=〔STC-AFC〕/q=240-4q+〔1/2〕q2=1/3〔q-6〕2+204
所以当q=6时AVC达最小
4、L和PK,求相应的本钱函数.
解:
生产者均衡时,MPL/MPK=PL/PK,即K/L=PL/PK,q=LK,
解得Q=PLL+PKK=2〔qPLPK〕
5、考虑以下生产函数Q=KLM0.25在短期中,令PL=2,PK=1,PM=4,K=8,推导出短期可变本钱函数和平均可变本钱函数。
解:
在短期中,K为固定要素,L、M为可变要素
如此TFC=PKK=8
TVC=PLL+PMM=2L+4M
由MPL/PL=MPM/PMLMLM/4
由此可得L/M=2
代入生产函数Q=8(2M)M=2M1/2
所以M=Q2/4
TVC=2L+4M=Q2+Q2=2Q2
AVC=TVC/Q=2Q
即短期总可变本钱函数为TVC=2Q2,平均可变本钱函数为AVC=2Q。
5、IBM公司是世界上电子计算机的主要制造商,根据该公司的一项资料,公司生产某种型号计算机的产量X围为200到700,在此X围内,总本钱函数为:
C=28303800+460800Q
式中C——总本钱
Q——产量
问题一:
如果该种机型的全部市场为1000台,且所有企业的长期总本钱函数都一样,那么占有50%市场份额的企业比占有20%市场份额的企业有多大的本钱优势?
问题二:
长期边际本钱为多少?
问题三:
是否存在规模经济?
解:
〔1〕假设占有50%的市场份额,Q为500,
平均本钱如此为〔28303800+460800·500〕/500=517408美元。
假设占有20%的市场份额,Q为200,
如此平均本钱为〔28303800+460800·200〕/200=605120美元
所以占有50%市场份额的企业的平均本钱比占有20%市场份额的企业的平均本钱低14%。
〔2〕长期边际本钱为460800美元,在200到700的产量X围内,边际本钱为常数。
〔3〕存在规模经济。
因为长期平均本钱为〔460800+28303800/Q〕,Q越大,平均本钱越小。
6、某厂商的生产函数为Q=L3/8K5/8,又设PL=3元,PK=5元.求总本钱为160元时厂商均衡的Q、L与K的值。
解:
MPPL=〔3/8〕K5/8L-5/8MPPK=〔5/8〕K-3/8L3/8
由均衡条件MPPL/MPPK=PL/PK推出K=L,代入本钱函数3L+5K=160
求得K=L=20
如此Q=L3/8K5/8=20
7、假设某产品生产的边际本钱函数是MC=3Q2-8Q+100,假设生产5单位产品时总本钱是595,求总本钱函数、平均本钱函数、总可变本钱函数与平均可变本钱函数。
解:
由边际本钱函数MC=3Q2-8Q+100积分得
本钱函数C=Q3-4Q2+100Q+A〔A为常数〕
又因为生产5单位产品时总本钱是595
可求总本钱函数C=Q3-4Q2+100Q+70
平均本钱函数AC=Q2-4Q+100+70/Q
总可变本钱函数TVC=Q3-4Q2+100Q
平均可变本钱函数AVC=Q2-4Q+100
8、以重油x和煤炭z为原料得某电力公司,其生产函数为y=(2x1/2+z1/2)2,x,z的市场价格分别30,20,其它生产费用为50。
(1)求电力产量y=484时的x,z投入量与总本钱为多少?
(2)求该电力公司的总本钱函数。
解:
〔1〕将y=484代入生产函数,得484=(2x1/2+z1/2)2
整理后得z=(22-2x1/2)2①
所以,本钱函数为c=30x+20z+50
=30x+20(22-2x1/2)2+50②
本钱最小化条件为dc/dx=30+40(22-2x1/2)(-x-1/2)=0
求解后可得x=64
分别代入①②式可得z1=36c=2690
(2)把生产函数中的y看作一定数值时,生产函数整理后可得z=(y1/2-2x1/2)2
总本钱函数即为c=30x+20z+50
=30x+20(y1/2-2x1/2)2+50④
本钱极小化的条件为dc/dx=30+40(y1/2-2x1/2)(-x-1/2)=0⑤
由此可得x=(16/121)y
代回④式后即得总本钱函数c=(60/11)y+50
9、一厂商用资本〔K〕和劳动〔L〕生产x产品在短期中资本是固定的,
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