高考数学三角函数练习题及答案解析.docx
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高考数学三角函数练习题及答案解析
高考数学三角函数练习题及答案解析
高考数学三角函数练习题及答案解析
(2010xx文数)19.(本题满分12分)
已知,化简:
解析:
原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20.
(2010xx文数)16.(本小题满分12分)
已知函数
(I)求函数的最小正周期。
(II)求函数的最大值及取最大值时x的集合。
解(I)因为/(x)=sin2x-(l-cos2x)
^^2sin(2r+-5-)-1.
4
所以函ft/(x)的最小正周期为『工夸芸仁
(2010xx理数)(18)(本题满分14分)在厶ABCxx角AB、C 所对的边分别为a,b,c,已知 ⑴求sinC的值; 高考数学三角函数练习题及答案解析 (II)当a=2,2sinA=sinC时,求b及c的长. 解析: 本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 (I)解: 因为cos=1-2sin二,及OvCvn 所以sinC=. (I)解: 当a=2,2sinA=sinC时,由正弦定理,得 c=4 由cos=2cos-1=,J及OvCvn得 cosC=± 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,得 b2±b-12=O 解得b=或2 所以b=b= c=4或c=4 (2010全国卷2理数)(17)(本小题满分10分) 中,为边上的一点,,,,求. 高考数学三角函数练习题及答案解析 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由cos/ADC*0,知Bv. 由已知得cosB=,sin/ADC=. 从而sin/BAD=sin(/ADC-B)=sin/ADCcosB-cos/ADCsinB==. 由正弦定理得,所以=. 【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变. 解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化. (2010xx文数)17.(本小题满分12分)在厶ABCxx已知B=45°,D是BC边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6求AB的长. 解在厶ADCxxAD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得 高考数学三角函数练习题及答案解析 cos=, ADC=12°0,ADB=6°0 在厶ABDxxAD=10,B=45°,ADB=60°, 由正弦定理得, AB=. (2010xx文数)(17)(本小题满分12分) 在xx,分别为内角的对边, 且 (I)求的大小; (H)若,试判断的形状. 解: (I)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 (”)由(I)得 又,得因为, 高考数学三角函数练习题及答案解析 故 所以是等腰的钝角三角形。 (2010xx理数)(17)(本小题满分12分) 在厶ABCxxa,b,c分别为内角A,B,C的对边,且 2asinA=(2ac)sinB(2cb)sinC. (I)求A的大小; (H)求的最大值. 解: (I)由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故,A=120°……6分 (H)由(I)得: sirB+siC=sBnsin(~6B0 1cosBsinB2 -sin(60B) (2010全国卷2文数)(17)(本小题满分10分) 中,为边上的一点,,,,求。 【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由与的差求出,根据同角关系及差角公式求出的正弦,在三角形 ABDxx由正弦定理可求得AD (2010xx理数)17.(本小题满分12分) 已知函数。 (1)当m=0时,求在区间上的取值范围; (2)当时,,求m的值。 【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。 依托三角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等题. 解: (1)当m=0时, ,由已知,得 从而得: 的值域为 高考数学三角函数练习题及答案解析 化简得: 当,得: ,, 代入上式,m=-2. (2010xx文数)16、(本小题满分12分) 的面积是30,内角所对边长分别为,。 (I)求; (n)若,求的值。 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系,三角形面积公式,向量的数量积,利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】 (1)根据同角三角函数关系,由得的值,再根据面积公式得;直接求数量积.由余弦定理,代入已知条件,及求a的值. 解: 由,得. 又,二. n), 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知,需求的值,考虑已知的面积是30,,所以先求的值,然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值,根据第一问中的结论可知,直接利用余弦定理即可. (2010xx文数)(18).(本小题满分13分),(I)小问5分,(II)小问8分.) 设的内角AB、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4bc. (I)求sinA的值; (I)求的值. «: (I)由余玆定理冯―』 2sinU (2010xx文数)(18)(本题满分)在厶ABCxx角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设SABC的面积,满足。 (I)求角C的大小; 高考数学三角函数练习题及答案解析 (H)求的最大值。 : 叭車越主豪S磁疋玻上角弗賣馳式、三角变换尊誉嗣识,同时屜三般丽解旌九満分U i* 所以伽C恳" W%U“5 所以寮 fD;;diLitimilI**in/f=科町[-Mfl(tr-C-^)=Mil\+A;h{-4) Q1sitil-A *■*6 2册形珂脱尊号. MUmhI (2010xx理数)(16)(本小题满分13分,(I)小问7分, (II)小问6分) 设函数。 (I)求的值域; (II)记的内角AB、C的对边长分别为a,b,c,若=1,b=1,c=, 求a的值。 =sin(jt++1 D (2010xx文数)(17)(本小题满分12分) 已知函数()的最小正周期为, (I)求的值; (II)将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变, 得到函数的图像,求函数在区间上的最小值 trvz#■■■» A*: CI)ES为/ 所現 /(X)■+匕_£|! ? ££ -£-tn2tfz+-^-CQiZwX+扌■^sinCZfcjE+于}+* 曲: >o•依题伽話■承 阿p<■*«■9t■*««9-K*49«■*>«***»44* “〉触T)知g■yiin(2x+^)4-i* 所臥g(x>-f3■警血g十护+寺・当o吒jt瑶畚昭于%*工+十站T为 故<(J): &扛间®話]上的咼小值为h (2010xx文数)(15)(本小题共13分) 已知函数 (I)求的值; (H)求的最大值和最小值 解: (I)= (n) =3cos2x-1,xR 因为,所以,当时取最大值2;当时,去最小值-1 高考数学三角函数练习题及答案解析 (2010xx理数)(15)(本小题共13分) 已知函数。 (I)求的值; (H)求的最大值和最小值。 解: (I) (II) 一5 因为, 所以,当时,取最大值6;当时,取最小值 (2010xx理数)(19)(本小题满分12分) (I)证明两角和的余弦公式; 由推导两角和的正弦公式. (H)已知△ABC的面积,且,求cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函 数间的关系等基础知识及运算能力 解: (1)①如图,在执教坐标系xOy内做单位圆Q并作出角a、 B与一B,使角a的始边为Qx,交OO于点P1,终边交OO于P2;角B的始边为QP2终边交OO于P3;角一B的始边为QP1终边交OO于P4. 则P1(1,0),P2(cosa,sina) P3(cos(a+B),sin(a+B)),P4(cos(—[3),sin(—p)) 由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得 [cos(a+B)—1]2+sin2(a+B)=[cos(—B)—cosa]2+[sin(—B)—sina]2 展开并整理得: 2—2cos(a+B)=2—2(cosacosB—sinasinB) cos(a+B)=cosacosB—sinasinB4 分 ②由①易得cos(—a)=sina,sin(—a)=cosa sin(a+B)=cos[—(a+B)]=cos[(—a)+(—B)] =cos(—a)cos(—B)—sin(—a)sin(—B) =sinacosB+cosasinB6分 ⑵由题意,设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 高考数学三角函数练习题及答案解析 贝yS=bcsinA= =bccosA=3>0 「•A€(0,),cosA=3sinA 又sin+cos=1,「•sinA=,cosA= 由题意,cosB=,得sinB= cos(A+B)=cosAcosB—sinAsinB= 故cosC=cos[n—(A+B)]=—cos(A+B)= —12分 (2010xx文数)(17)(本小题满分12分) 在ABCxx,。 (I)证明B=C (H)若=-,求sin的值。 【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与xx等基础知识,考查基本运算 能力.满分12分. 高考数学三角函数练习题及答案解析 (I)证明: 在厶ABCxx由正弦定理及已知得=.于是 sinBcosC-cosBsinC=0,即卩sin(B-C)=0.因为,从而B-C=0. 所以B=C. (H)解: 由A+B+C和(I)得A=-2B,故cos2B=-cos(-2B)=-cosA=. 又0<2B<,于是sin2B==. 从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=. 所以 (2010xx理数)(17)(本小题满分12分) 已知函数 (I)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值; (H)若,求的值。 【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与xx、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系、两角差的xx等基础知识,考查基本运算能力,满分12分。 (I)解: 由,得 f(x)二.3(2sinxcosx)(2cos2xT)=3sin2xcos2x二2sin(2x) 所以函数的最小正周期为 因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又 ,所以函数在区间上的最大值为2,最小值为-1 (H)解: 由 (1)可知 又因为,所以 由,得 从而 所以 3-4;3 10 (兀)兀](兀)兀(兀)兀 cos2xo=cos|2xo+—丨一一=cosI2xo+—Icos—+sin2x°+—lsin— 006丿6一I6丿6I06丿6 (2010xx理数)16、(本小题满分14分) 已知函数在时取得最大值4. (1)求的最小正周期; (2)求的解析式; (3)若(a+)=,求sina. ■': l7y is.解;⑴7=—T 3 (2)由_/(工)的叢犬值是4知,A=4, ⑶/◎+令=4刑3("+令+存字即邮(和+評少|, (2010xx文数) 16.(本小題满分M分) 设函=3sm(to+-^).0>Oa"-X/kx)»且以百为最仝忑周期. (1)求㈣; (2)求的誕析式; (3)£>—>=-,求血口的值. 4125 解: (! )/(O)s-3sm(6J-0+—)a: 3x-s- 622 (2)vT—=兰nq二4 曲2 : ./(x)=3sa(4x+^) 6 (3)/(^+—)=3sin(4(-^—)+-]=3sm(o+-) 八41241262 故: sina=±V1-cos'a=±“ (2010全国卷1理数)(17)(本小题满分10分) 已知的内角,及其对边,满足,求内角. co实AcosS 脾: 由已知反£E菠定理,Wsiii^+sin3=sin^*—+sinF•—: =;cosj4+cosB sin^4sinB 真3处jtjr3^7l^r7jT sin.4-008^4-cosB-sinB,.\sin(j4——)=stn(B+—)/;D<——vH——<—<—<—— 4444444 门盲十盼*="*+迟右亏 (2010xx文数)(19)(本小题满分12分) (I)证明两角和的余弦公式; 由推导两角和的正弦公式. (H)已知,求 (2010xx文数)16.(本小题满分12分) 已经函数 (I)函数的图象可由函数的图象经过怎样变化得出? (H)求函数的最小值,并求使用取得最小值的的集合。 16.本小愿主骥番査三角函敷的悄输变換.础妙识和运HIE力*I満井12分) Mi(I)/(x>«^co»2jr*~$in(2x++・ 2-"2Z24 的图象只需耍把叙打的酣發向左屮t埒牛和沐弧的 *1 枸钦向上平样丄个旅擁检疫耨n乩 4 fl2x+--2*ji+x(icZ)rt小们-逻*丄》: 上2返. 4244 敞巧取徇星小 U (2010xx理数) 高考数学三角函数练习题及答案解析 三、解答题〕本大题共E小题’共“分* G+“((kx补基觴过克qgh 门? )(本/卜題満分心分)已知函數/(jt)=-^sin2xsin <i)求事的值* (I】)将函数尸/㈤餉圏靈上各点的橫坐标谿晅到康来的丄纵坐标不变,得到函数尸的图塞 2求函数£仗)在咸扌】上的最大值和最小值. 【解析】(【>因肉已知函馥聽过点(-: ->*所以有 11.JT.2打1.(打) —=—an2x—sm^+cos—cos^p--sin—+^\ 2 26&2^2J 5^7T77""TT H-—所限卩+―=_+解得卩=_・ 26623 gm2? c+—co占'H—=—sun2区+—x 24A2 7FtT賁賓%賞 所以豈(耳)=亠血(4計卫),因^js&[0,->所l^4z+-e[-,—], 264666 所以当4只+£二£时,蛊(弄)取最大值21当=T或字时,畧(刃取最小值;. 6226664 【命题意图】本題考查三肃函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函魏的最庖问题.労析间题耳解决间题的能力. (2010xx理数)16.(本小题满分12分) 已知函数. (I)求函数的最大值; (II)求函数的零点的集合。 【解析】(I)因? a/(x)=-73sin2x-(1-co52x)=2sin(2x+— 6 所以,S2x+-=2^+-,即x=k7r^-(keZ^i,函数才(力取最大值1屮 626 (II)解准1由 (1)Rf(x)=O得血(2尢+三)=二所以事 62 2x+—=»或2x+—=lk7t+—r即厂疋兀或龙=上更+二心 6666^3 故求函数/«的零点的集合为31尸血,或兀二睑+二用已Z》卜 3 由金)=0得2屈in.ycosx=2sin"兀于是吕inx二Q或前cosx=sinx* 即tanx=^/3*J 由sinx=0可知沪Atz;即tanx二希可知,疋=上兀十三* 3 故求函数f(x)的零点的集合沟{x|jc=a\或x二上7+2用E卍 【彷題意图】本题劣查三角妙的恒爭变形,简单三角芳程,二倍角公丸两角和差的正余弦公式,琴察学生三角运算血属中档题亠 (2010xx理数)16.(本小题满分12分) 已知函数f(x)= (I)求函数f(x)的最小正周期; (H)求函数h(x)=f(x)—g(x)的最大值,并求使h(x)取得最 大值的x的集合。 16.本疏鬆主妾龙查三张伍数的基冻公武.册需和最值需義础如识.的时灣杏蔓左运算能力. (滴分12井〉 W: fI)/(X)€0S(^+X)COS(JJ0=(*tosI;3,: ■-ecuX—iin*x 4J (1J}A(r)=/(x>-x(Jr).丄co*2x-丄sin2x=—co$(2jr+— 2224 ^2jt+^-2j^atZJH: 机力駄邯址人债申* 心2 肌巧取时址人ut时.对阵的・Jtczj*g (2010xx理数)19.(本小题满分13分) 。 ,轮船位于港口Oxx偏西且与该港口相距20海里的A处,并以30海里/小时的航行速度沿xx方向匀速行驶。 假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到/小时,试设计航行方案 (即确定航行方向与航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由 (1)得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,故轮船与小艇不可能在AC(包含C)的任意位置相遇,设,0D= 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为和, 高考数学三角函数练习题及答案解析 所以,解得, 从而值,且最小值为,于是 当取得最小值,且最小值为。 此时,在XX,,故可设计航行方案如下: 航行方向为xx偏东,航行速度为/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 (2010XX理数)16、(本小题满分12分) 设是锐角三角形,分别是内角所对边长,并且 。 (I)求角的值; (II)若,求(其中)。 (场)(本小题满分口分)本题考查两角和的正弦公式,同角二角函数的基本关系,特汰角的三毎函数值,向就的数fi积’利用余弦宦理解三角形等有黄知识,考查综合运算求解能九 解: (【)因为sin? A=(ycosfi+y-sin5)(^-cosB亠ysihB) _32,n1.1ry.23 ==-cosB-—-amB+=— 444 所以心二土孕又A为锐角,所以A=-^ (n)由諺・AC=12可得 cbcoaA-12h'① 由(I)知肛牛所以 424.② 由余弦定理ftaI=c1+52-2c6ccs4,将*2刀及(3>(弋人,得 J+b—厶③ ③+②x2,得。 +疔=100,所以" c+i=10, 因此,6占是一元二武方程? -10i+24=0的两个抿+ 解此方程并由20知"6,6=4, (2010xx卷)17、(本小题满分14分) 某兴趣小组测量电视塔ae的高度h(单位: m,如示意图,垂 直放置的标杆BC的高度h=,xx/ABE=/ADE= (1)该小组已经测得一组、的值,tan=1.24,tan=1.20,请据此算出 H的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位: m,使与之差较大,可以提高测量精确度。 若电视塔的实际高度为,试问d为多少时,-最大? [解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式 的应用。 (1),同理: , 高考数学三角函数练习题及答案解析 AD—AB=DB故得,解得: 。 因此,算出的电视塔的高度H是。 (2)由题设知,得, (当且仅当时,取等号) 故当时,最大。 因为,贝几所以当时,-最大。 故所求的是m (2010xx卷)23.(本小题满分10分) 已知△ABC的xx长都是有理数。 1、求证cosA是有理数; (2)求证: 对任意正整数n,cosnA是有理数。 [解析]本题主要考查余弦定理、数学xx等基础知识,考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。 满分10分。 (方法一) (1)证明: 设xx长分别为,,T是有理数, 是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性, 二必为有理数,•••cosA是有理数。 (2)①当时,显然cosA是有理数; 当时,丁,因为cosA是有理数,二也是有理数; ②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。 当时,, 解得: VcosA,,均是有理数,.••是有理数, 是有理数。 即当时,结论成立。 综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。 (方法二)证明: (1)由ABBCAC为有理数及余弦定理知 是有理数。 (2)用数学xx证明cosnA和都是有理数。 1当时,由 (1)知是有理数,从而有也是有理数。 2假设当时,和都是有理数。 当时,由, 及①和归纳假设,知和都是有理数。 即当时,结论成立。 综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。
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