高考数学理一轮复习讲练测专题27对数与对数函数讲答案解析.docx
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高考数学理一轮复习讲练测专题27对数与对数函数讲答案解析
第2章高考数学讲练测【新课标版理】【讲】函数与基本初等函数Ⅰ
第07节对数与对数函数
【课前小测摸底细】
1.【必修一P68T3
(2)改编】的值是()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由,故选B.
2.【2016高考浙江理数】已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,则a=,b=.
【答案】
【解析】设,因为,
因此
3.【2016天津和平区模拟】已知,则的大小关系为()
A.B.
C.D.
【答案】B
4.【基础经典试题】已知上的增函数,那么的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题设,故选C.
5.【2014高考福建卷第4题】若函数的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是()
【答案】B
【解析】由题意可得.所以函数是递减的即A选项不正确.B正确.是递减,所以C不正确.图象与关于y轴对称,所以D不正确.故选B.
【考点深度剖析】
与对数函数有关的试题,大都以其性质及图像为依托,结合推理、运算来解决,往往对数函数与其他函数进行复合,另外底数多含参数、考查分类讨论.
【经典例题精析】
考点1对数的化简、求值
【1-1】求值
【解析】;
【1-2】已知,求的值.
【1-3】【安徽十校联考】已知函数,则.
【答案】
【解析】因为,故答案为.
【课本回眸】
1.logaN=b.
2.在运用性质时,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为且n为偶数).
3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式在解题中的灵活应用.
【方法规律技巧】
1.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此,经常会用到换底公式及其推论;在对含有字母的对数式化简时,必须保证恒等变形.
2.(a>0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中要注意灵活运用.
3.利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.
4.有限制条件的对数化简、求值问题,往往要化简已知和所求,利用“代入法”.
【新题变式探究】
【变式一】【2014陕西高考理第11题】已知则=________.
【答案】
【解析】由得,所以,解得,故答案为.
【变式二】设2a=5b=m,且+=2,则m=__________。
【答案】
考点2对数函数的图象及其应用
【2-1】已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数。
其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
【答案】D
【解析】由图象单调递减的性质可得0<a<1,y=logax过(1,0),故y=loga(x+c)可认为将y=logax向左平移不到一个单位。
0<c<1,故选D。
【2-2】已知lga+lgb=0(a>0且a≠1,b>0,且b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=-logbx的图象可能是( )
ABCD
【答案】B
【解析】因为lga+lgb=0,即lgab=0,所以ab=1,得b=,故g(x)=-logbx=-logx=logax,
则f(x)与g(x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,结合图象知,B正确。
【2-3】当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( )
A. B.
C.(1,)D.(,2)
【答案】B
【2-4】已知函数若关于的方程有两个不等的实根,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】在时,是增函数,值域为,在时,是减函数,值域是,因此方程有两个不等实根,则有.
【课本回眸】
1.的图象有三个关键点,
2.与的图象关于轴对称,与的图象关于轴对称.
3.当时,在为增函数,当时,在是减函数.
【方法规律技巧】
1.的底数变化,其图象具有如下变化规律:
(1)上下比较:
在直线的右侧,时,底大图低(靠近轴);时,底大图高(靠近轴).
(2)左右比较(比较图象与的交点):
交点横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.
2.涉及对数函数的定义域问题,要考虑底数大于零且不为1,真数大于零.
3.涉及对数函数单调性问题,要注意底数的不同取值情况.
【新题变式探究】
【变式一】()已知函数f(x)=|log2x|,0<m<n,且f(m)=f(n),若函数f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则m2=( )
A.B.C.D.
【答案】A
【变式二】【2015高考北京,理7】如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是()
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】如图所示,把函数的图象向左平移一个单位得到的图象时两图象相交,不等式的解为,用集合表示解集选C
考点3对数函数性质及其应用
【3-1】已知函数且满足,则的解为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为函数且在为单调函数,而且,
所以且在单调递减,从而,所以,故选C.
【3-2】【2014重庆高考理第12题】函数的最小值为_________.
【答案】
【课本回眸】
1.比较同底数的对数值的大小,考虑应用函数的单调性;
2.比较同真数对数值的大小,注意借助对数函数的图象;
3.比较大小的常用方法:
直接法;作商法(注意正负);作差法;搭桥法(引入-1,0,1等);图象法.
4.对数的真数恒大于0.
【方法规律技巧】
1.比较两个对数值的大小,若同底数,考虑应用函数的单调性;若底数不同,首先化同底数.
2.对数函数的定义域、值域问题,要考虑底数大于零且不为1,真数大于零.
3.数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想的应用,是本节的一突出特点.
【新题变式探究】
【变式一】设函数f(x)=若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是________.
【答案】)(-1,0)∪(1,+∞)
【解析】由题意可得或解得a>1或-1<a<0.
【变式二】若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a的取值范围为________.
【答案】[1,2)
【解析】令函数g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,则有即解得1≤a<2,即a∈[1,2)..
【变式三】【2015年高考全国1卷数学】已知函数,且,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
三、易错试题常警惕
易错典例:
1.函数的单调递增区间为( )
A.(3,+∞)B.(-∞,1)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(0,+∞)
易错分析:
解答本题,易于因为忽视函数的定义域,而导致错误.
正确解析:
令,原函数可以看作与的复合函数.
令,则或.
∴函数的定义域为.
又的图象的对称轴为,且开口向上,
∴在(-∞,1)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数.
而函数在(0,+∞)上是减函数,
∴的单调递减区间为(3,+∞),单调递增区间为(-∞,1).
温馨提醒:
(1)复合函数的单调性,遵循“同增异减”;
(2)注意遵循“定义域优先”的原则.
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