福建省南平市学年高二上学期期末数学试题.docx
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福建省南平市学年高二上学期期末数学试题
福建省南平市2020-2021学年高二上学期期末数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.设i为虚数单位,复数
,则
()
A.3B.5C.
D.
2.已知命题p:
,
,则
为()
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
3.已知方程
表示双曲线,则m的取值范围是()
A.
B.
C.
或
D.
4.复数
在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5.已知平面
的一个法向量为
,
,则直线AB与平面
的位置关系为()
A.
B.
C.相交但不垂直D.
6.函数
的单调递减区间是()
A.
B.
C.
D.
7.在空间中,已知
,
,则异面直线AB与DC所成角的大小为()
A.30°B.60°C.120°D.150°
8.函数
,则
值为()
A.0B.1C.
D.
9.设
,
分别为椭圆
(
)的左、右焦点。
若椭圆上存在点P使得
,
,则该椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.
10.下列命题中真命题的个数有:
①
,则
;②“
”是“
”的必要不充分条件;③若命题
是真命题,则
是真命题;④函数
的一个对称中心是
.
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.设直线
(
)与双曲线C:
(
,
)的两条渐近线分别交于点A,B.若点
满足
,则该双曲线的渐近线方程为()
A.
B.
C.
D.
12.设函数f(x)在R上存在导数
,有
,在
上,
,若
,则实数m的取值范围为()
A.
B.
C.[-3,3]D.
二、填空题
13.若复数
为纯虚数(
为虚数单位),则实数a的值为______.
14.曲线
在点A(1,1)处的切线方程为__________.
15.在棱长为1的正方体
中,
与平面ABCD所成角的正弦值为______.
16.已知抛物线C:
(
)的焦点为F,M为抛物线的准线上一点,且M的纵坐标为
,N是直线MF与抛物线的一个交点,若
,则
______.
三、解答题
17.命题p:
方程
没有实数根.命题q:
函数
在区间
上是增函数;若
为真命题,命题
为假命题,求实数a的取值范围.
18.已知点
是抛物线C:
上的点,F为抛物线的焦点,且
,直线l:
与抛物线C相交于不同的两点A,B.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若
,求k的值.
19.如图,四棱锥
中,
平面ABCD,
,
,
,
,E为PC的中点.
(1)求证:
平面PDC;
(2)求二面角
的余弦值.
20.已知函数
,若
在
有极值,且
在点
处的切线斜率为
.
(1)求函数
的解析式;
(2)求函数
在
上的最大值和最小值.
21.已知椭圆C:
(
)经过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的上顶点为A,经过点
,且斜率为k的直线与椭圆C交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:
直线AP与AQ的斜率之和为2.
22.已知函数
(
),
.
(1)当
时,
与
在定义域上的单调性相反,求b的取值范围;
(2)设
,
是函数
的两个零点,且
,求证:
.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
复数z=ai+b,则模长公式|z|=
即可得到所求答案
【详解】
|z|=
故选:
C
【点睛】
考查简单的复数模长求法
2.D
【分析】
根据特称命题的否定变法,即可得到所求答案
【详解】
因为:
命题p:
,
所以:
,
故选:
D
【点睛】
考查特称命题的非命题等价与命题的否定
3.C
【分析】
根据双曲线标准方程的性质,列出关于
不等式,求解即可得到答案
【详解】
由双曲线的性质:
,
解的
或
,
故选:
C
【点睛】
本题给出含有参数
的二次曲线方程,在已知方程表示双曲线时求参数
的取值范围,着重考查了双曲线的标准方程和简单性质等知识,属于基础题.
4.A
【详解】
对应的点位于第一象限,选A.
5.D
【分析】
空间向量坐标运算公式,即可判断法向量和向量AB的关系,从而求得:
直线与平面的关系
【详解】
根据已知条件容易得到:
,所以
;故直线AB与平面
垂直
故选:
D
【点睛】
考查:
利用平面法向量与直线方向向量的关系,从而判断直线与平面的关系
6.C
【分析】
先确定函数的定义域,在对函数求导即
,在令
<0,求得函数的单挑减区间
【详解】
由已知条件知:
函数定义域为R,
因为:
令
<0,解的:
x<-1
故选:
C
【点睛】
本题考查利用求导的方法求函数的单调区间
7.B
【分析】
根据空间向量夹角公式,即可求得所要答案
【详解】
cos<
>=
,所以夹角:
60°
故选:
B
【点睛】
考查空间向量的夹角求法公式
8.A
【分析】
先对函数求导,再求函数在
处的导数值即可.
【详解】
由
得
,
则
.
故选:
A
【点睛】
本题考查已知函数求导数值,考查学生对求导公式和运算法则的熟练掌握,是基础题.
9.B
【分析】
由于椭圆的定义
,结合已知条件中
,解的
和
的值,再利用
,得到a,c的关系,即可求得所要答案
【详解】
因为:
,
,解的
;
所以:
,则:
则
所以离心率为:
故选:
B
【点睛】
本题考查椭圆的离心率,主要根据题意得a,c的关系,即可求得椭圆的离心率
10.C
【分析】
①根据指数函数性质判断;
②根据充分性,必要性的定义来判断;
③根据复合命题的真假规律判断;
③将
代入计算即可判断.
【详解】
①由于
,所以
,即
解的
,所以①正确;
②因为
则
,所以“
”是“
”的必要不充分条件,故②正确;
③若命题
是真命题,则
为真,
为假也可以满足已知条件,则
是假命题,所以③不正确;
④当
时,
,故④正确.
故选:
C
【点睛】
本题考查命题的真假判断,涉及指数函数的图象与性质、充要条件、复合命题的真假判断、余弦函数的对称性等知识点,考查学生灵活运用知识的能力和推理能力,属于基础题.
11.B
【分析】
先求出直线与两条渐近线的交点
坐标,再求出
的中点
的坐标,结合已知条件,可知直线
垂直与直线
垂直,可根据垂直直线得斜率关系,求得
的关系,进而可得渐近线方程.
【详解】
根据双曲线标准方程,得渐近线:
y=
分别与直线
联立,
可得
,
则
两点中点坐标为
由于
,所直线
与直线
垂直,
得
,
,
这渐近线方程为
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查双曲线的渐近线,考查直线的位置关系,是基础题.
12.B
【分析】
令g(x)=f(x)﹣
x2,根据已知条件得到g(x)的单调性,从而得到关于m的不等式,解出即可.
【详解】
令g(x)=f(x)﹣
x2,
∵g(x)+g(﹣x)=f(x)﹣
x2+f(﹣x)﹣
x2=0,
∴函数g(x)为奇函数
∵x∈(0,+∞)时,g′(x)=f′(x)﹣x<0,
函数g(x)在x∈(0,+∞)为减函数,
又由题可知,f(0)=0,g(0)=0,
所以函数g(x)在R上为减函数
∴f(6﹣m)﹣f(m)
=f(6﹣m)+
(6﹣m)2﹣f(m)﹣
m2≥0,
即g(6﹣m)﹣g(m)≥0,
∴g(6﹣m)≥g(m),
∴6﹣m≤m,
∴m≥3.
故选B
【点睛】
本题考查了函数的单调性、奇偶性,考查导数的应用,构造函数g(x)=f(x)﹣
x2,判断出g(x)的单调性是解答本题的关键,本题是一道中档题.
13.
【分析】
根据纯虚数的定义,列出关于
的方程,求得实数
值
【详解】
根据纯虚数的定义:
且
,解的
.
故答案为:
.
【点睛】
本题考查复数的概念,是基础题.
14.
【解析】
试题分析:
∵
,∴
,∴k=1,∴点A(1,1)处的切线方程为y-1=x-1即y=x
考点:
本题考查了导数的几何意义
点评:
在某点的切线斜率等于在该点处的导函数值
15.
【解析】
【分析】
作出正方体,易知
即为所求角,容易得解.
【详解】
解:
正方体
中,
底面ABCD,
即为
与底面ABCD所成角,
易知
,
,
故答案为
.
【点睛】
此题考查了斜线与平面所成角,属容易题.
16.3
【分析】
根据抛物线的性质及
关系,将点
的坐标表示出来,再将其带入抛物线中,即可求得
的值
【详解】
解:
抛物线C:
(
)的焦点为
,
为抛物线的准线上一点,且
的纵坐标为
,N是直线MF与抛物线的一个交点,若
,
设
,
,
,
,
,
可得
,代入抛物线方程可得:
,
解得
.
故答案为:
3.
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查,基础题.
17.
【分析】
命题:
p,根据
,求得a的范围;
命题q:
由二次函数的单调性求出a的范围;
再根据
为假命题,分类讨论,即可求得a的范围
【详解】
由方程
没有实数根得
即
函数
对称轴为
,
由函数
在区间
上是增函数,
得
即
,
为真命题,命题
为假命题等价于p真q假或p假q真
若p真q假,则
,所以得
;
若p假q真,则
所以得
.
综上所述:
a的取值范围是
.
【点睛】
本题考核利用复合命题的真假性,求参数取值范围
18.
(1)
;
(2)1或
.
【分析】
(1)根据抛物线的定义
,即可求得p值;
(2)由过抛物线焦点的直线的性质,结合抛物线的定义,即可求出弦长AB
【详解】
(1)抛物线C:
的准线为
,
由
得:
,得
.
所以抛物线的方程为
.
(2)设
,
,由
,
,
∴
,
∵直线l经过抛物线C的焦点F,
∴
解得:
,
所以k的值为1或
.
【点睛】
考核抛物线的定义及过焦点弦的求法
19.
(1)证明见解析;
(2)
.
【分析】
(1)建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再求出线的方向向量以及面的法向量,结合线面垂直的判定方法,即可证明第一问;
(2)结合第一问,分别求出面PBC和面BCD的法向量,然后利用面面夹角公式求得两面夹角的余弦值
【详解】
(1)以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系
如图所示,
,
,
,
,则
∴
,
,
,
∴
,
,
∴
,
且
∴
平面PDC.
(2)平面BDC的法向量
,
设平面PBD的法向量为
,
∵
,
,
∴
∴
取得一个法向量
∴
.
∴二面角
的余弦值为
.
【点睛】
本题考核如何建立合理的空间坐标系,以及利用空间向量的方法证明线面垂直和面面夹角余弦值的求法
20.
(1)
;
(2)最大值为2,最小值为
.
【分析】
(1)利用函数极值点的性质和切线的斜率,列出a,b的方程,从而求得a,b值;
(
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