由模拟滤波器设计IIR数字滤波器.docx
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由模拟滤波器设计IIR数字滤波器
由模拟滤波器设计IIR数字滤波器
为了从模拟滤波器设计IIR数字滤波器,必须先设计一个满足技术指标的模拟滤波器,然后将其数字化,即从s平面映射到z平面,得到所需的数字滤波器。
虽然IIR数字滤波器的设计本质上并不取决于连续时间滤波器的设计,但是因为在许多应用中,数字滤波器就是用来模仿模拟滤波器功能的,所以由模拟滤波器转化为数字滤波器是很自然的是。
另外,模拟滤波器的设计技巧非常成熟,不仅有封闭形式的公式,而且设计系数已经表格化。
因此,有模拟滤波器设计数字滤波器的方法准确、简便,是目前最普遍采用的方法。
在模拟滤波器的设计中,低通滤波器是最基本的。
设计模拟滤波器的方法有多种,如巴特沃兹(Butterworth)型、切比雪夫型(Chebyshev)型、椭圆型(Elliptic)型滤波器。
为了能从模拟滤波器的低通原型设计各种IIRDF,一般需如下四个步骤:
1.把要求的低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、或带阻(BS)的特征频率参数转化为模拟低通滤波器低通原型的设计参数。
2.用模拟逼近的方法获的巴特沃兹、切比雪夫或椭圆模拟低通原型的传递函数Hp(s)。
3.通过s平面到z平面的映射关系,由Hp(s)求出相应的数字低通的系统函数Hp(z)。
4.用数字域的频率变换,从Hp(z)求出所需的数字LP、HP、BP、或BS数字滤波器的系统函数H(z)。
下面将对上述四个步骤分别加以介绍。
5.2.1模拟域的频率变换
在模拟滤波器的设计中,巴特沃兹、切比雪夫以及椭圆滤波器的设计都是低通逼近。
所以,如果设计的滤波器不是低通,就需要将HP、BP、或BS的频率参数变换为低通原型的相应参数。
这个变换是在模拟域进行的,所以叫模拟频域变换。
1.低通原型的设计参数
设计一个低通滤波器需要给出4个参数:
通带临界频率fp(Hz),阻带临界频率fs(Hz),通带最大衰耗αp(dB),阻带最小衰耗αs(dB)。
这4个参数构成的低通样板图如图5.2所示。
图中横坐标代表频率f(Hz),纵坐标是相对域零频的幅值衰耗
dB
从零频到fp称为通带,fs到称为∞阻带,fp到fs称为过渡带。
参数αp是通带中允许的衰耗值波动边界。
当|H(f)|下降到|H(0)|的0.707(半功率点)时,A(f)=3dB,所以,αp最多取3dB。
参数αs是阻带最小衰耗,一般在30dB~80dB之间。
所设计的低通滤波器,只要器相对域零频的幅值衰耗曲线落在图中的空白出,该滤波器的性能就算合格了。
需要指出的是,任何实际的滤波器与图5.1的理想滤波器器都是由距离的。
理想滤波器没有过渡带,相应的冲激响应h(n)为非因果序列,而非因果系统在工程上是不可实现的。
为使设计的过渡带较窄,需要提高滤波器的阶数,这就相应提高了滤波器的成本和价格。
因此,在滤波器的设计中,需要综合考虑滤波器的性能及价格等因素。
2.高通→低通的频率变换
设计一个高通滤波器,也应给出4个参数:
通带临界频率fp,阻带临界频率fs,通带最大衰耗αp,阻带最小衰耗αs(见图5.3)。
其中最主要的参数是fp,它代表滤波器的截止频率。
为了将给定的高通滤波器参数变换为低通原型的参数,需要将高通的阻带和通带的位置互换,并保持截止频率fp不变。
这种变换是变量f的倒量变换,只有将f换成1/f,则零频变为∞,而∞变为零频,原来的高通也就成了低通。
为了保持fp位置不变,可先将f除以fp,把频率点fp归一,然后球倒数,最后再乘以fp反归一,把频率点fp回归原位。
所以整个过程是
(归一)
则变换后低通原型的通带频率为fp(不变),阻带临界频率为fsˊ=fp2/fs,αp和αs不变(见图5.4)。
3.带通→低通频率变换
设计一个带通滤波器,需要给出6个参数:
通带上下临界频率fp1、fp2,上、下阻带临界频率fs1、fs2,通带最大衰耗αp和阻带最小衰耗αs(见图5.5)。
通带上、下临界几何中心称为中心频率f0。
f0=
(5.13)
参照图5.6,可见带通到低通的频率变换目标是:
1.将通带中心频率f0变换到低通零频点:
f0→0。
2.将带通的半频率轴f:
(0,+∞)扩展为低通频率轴fˊ(-∞,∞),宽度扩大一倍。
这样低通fˊ的宽度应是(fp2-fp1)的两倍,就是
即
(5.14)
(3)f轴上的几何对称点变换为fˊ轴上对零点的镜像对称点。
频率f的几何对称点是f02/f(f02/f与f的乘积为f02),而fˊ镜像对称点是-fˊ。
就是说,如果f→fˊ,则必有f02/f→-fˊ。
(4)相对位置不变,也就是指f轴上两几何对称点距离与总带宽之比应等于-fˊ轴上两像对称点的距离与总带宽之比,即
(5.15)
将式(5.14)代入式(5.15),可得
(5.16)
将f=fs2代入上式,得
设fp1fp2≈fs1fs2,则
因此可以得出结论,为了将给定得带通滤波器的参数变换为低通原型的参数,只要用fˊ=(f2-f02)/f代替f即可。
则变换后的低通原型的通带频率为fpˊ=(fp22-fp1fp2)/fp2=fp2-fp1,阻带临界频率为fsˊ=(fs22-fs1fs2)/fs2=fs2-fs1,αp和αs不变。
1.带阻→低通的变换
设计一个带阻滤波器,应当由6个参数:
上、下通带临界频率fp1、fp2,阻带上、下临界频率fs1、fs2,通带最大衰耗αp,阻带最小衰耗αs(见图5.7)。
带通到带阻的频率变换分两倍完成:
第一步与带通到低通的频率变换一样,用(f2-f02)/f代替f,将带阻变为高通,然后再进行倒量变换,将高通变为低通。
则变换后的低通原型的通带临界频率为fpˊ=fs2-fs1,阻带临界频率为fsˊ=fp2-fp1,αp和αs不变。
5.2.2模拟低通滤波器的设计
下面讨论从已知低通原型的4个参数fp、fs、αp、αs来求取模拟低通滤波普的传递函数H(s)。
1.巴特沃兹逼近(最平响应逼近)
巴特沃兹(Butterworth)逼近又叫最平响应逼近,因为用这种方法设计出来的滤波器(巴特沃兹滤波器)再通带和阻带内都具有最平坦的振幅特性,其振幅平方函数是
(5.18)
其中,Ωc是3dB截止频率,N为滤波器阶数。
N越大,则过渡带越陡(见图5.8a)。
将jΩ看成是中的特例,可以将H(jΩ)解析延拓成H(s),则式(5.18)可以写成;
即
(5.19)
令1+(s/jΩc)=0,且利用-1=ej(2kπ-π),j=ej(2kπ+π/2),可得式(5.19)的2N个极点(图5.8b)如下:
k=1,2,……,2N(5.20)
结合式(5.19)和式(5.20),可以看出:
(1)极点全部分布在s平面半径为Ωc的圆上,相邻极点见的夹角为π/N。
(2)极点必然成对出现。
因为如果sp是H(s)的根,则-sp必然是H(-s)的根。
为了构造一个稳定的系统,需要系统的极点全部位于s平面的左半平面。
所以,我们选取左半s平面上的极点作为H(s)的极点,而选取右半s平面上的极点作为H(-s)的极点,于是可以得到稳定的巴特沃兹滤波器的传递函数
(5.21)
其中
为归一化常数,可由归一化条件
H(s)|s=0=1
求得。
对于一定阶数的巴特沃兹滤波器的传递函数都有表格可查。
通常表格中给出的传递函数的归一化形式,即将式(5.2.1)变形为
(5.22)
常用的低阶巴特沃兹传递函数间表5.1。
表中的s相当与式(5.2.2)中归一化的sˋ,所以使用该表式要注意用代替表中的s/Ωc实现反归一。
比如一直N=3,截止频率为Ωc,则传递函数为
因此只要知道N和Ωc就可求得巴特沃兹的传递函数H(s)。
但是,怎样从设计参数fp、fs、αp、αs中得出N和Ωc呢?
令Ωp=2πfp,Ωs=2πfs,由式(5.12)、(5.18)可得传输衰耗
A(jΩ)=-20lg[|H(jΩ)|/|H(j·0)|]=-10lg|H(jΩ)|2=10lg[1+(Ω/Ωc)2N]
式中,巴氏滤波器的零频响应H(j·0)=1。
根据设计要求,Ωp出的衰耗小于等于αp,以Ω=Ωp,A(jΩ)=αs代入式(5.23),得
αs=10lg[1+(Ωs/Ωc)2N]
解方程,得
Ωc=Ωp/(100.1)
两方程相除
解出
将N代回式(5.24),可得。
实用上,取N为大于式(5.26)得整数。
2)切比雪夫逼近
切比雪夫(Chebyshev)滤波器在通带和阻带一边具有等波动得特性,另一边式单调逼近。
通带内具有等波动特性得称为切比雪夫型(见图5.9),阻带内具有等波动振幅特性得称为切比雪夫型。
以下以切比雪夫型为例进行讨论。
切比雪夫型得振幅平方函数为
|H(jΩ)|2=1/[1+ε2C2N(Ω/Ωp)]
这里,ε是纹波系数,用来描述波动得大小。
ε一般在0~1之间,ε=0表示没有波动,ε=1表示波动达到半功率点。
一般情况下,波动范围在1/(1+ε2)~1之间(图5.9)。
CN表示N阶切比雪夫多项式,其定义是
CN(x)的值可由是()直接算出,或者查图表,也可用下列递推公式
C0(x)=1
C1(x)=x
C2(x)=2x2-1
C3(x)=4x3-3x
·
·
·
CN(x)=2xCN(x)-CN-1(x)
根据切比雪夫多项式的定义式(5.28)及振幅平方函数式(5.27)可知:
1.切比雪夫型滤波器通带式等幅波动,阻带式单调的。
因为通带范围是Ω:
0~Ωp对应的Ω/Ωp的范围是0~1,根据式(5.28a),此时CN(Ω/Ωp)的变化式服从cos(·),即式(5.27)式表示的式等幅波动。
在过渡带和阻带,由Ω>Ωp,根据式(5.28b),此时CN(Ω/Ωp)的变化服从双曲余弦函数ch(·),是单调的。
2.在区间(0,Ωp)上,C2N(Ω/Ωp)有(N+1)个极值点,|H(jΩ)2上下波动N次。
3.在零域(Ω=0)处,
这就是说,切比雪夫型的振幅平方函数有
以及
令式(5.27)中的分母为零,可以证明切比雪夫型幅度平方函数的极点为
spk=σk+jΩk,k=1,2,···,2N
其中σk=-ΩpshξsinΦk
Ωk=ΩpchξcosΦk
其中这些极点必定满足方程
这是一个椭圆方程。
由于双曲余弦总是大于双曲正弦,所以切比雪夫模拟滤波器的极点位于s平面长轴Ωpchξ(在虚轴上)、短轴为Ωpshξ(在实轴上)的椭圆上,见图5.9。
取所有左半平面的极点构成切比雪夫滤波器的传递函数
其中常数,以使滤波器的零频响应为1。
有了上面的公式,就可以由给定的低通参数Ωp、Ωs、αp、αs来设计切比雪夫滤波器了。
完整的设计步骤如下:
1.传输衰耗A(jΩ)=-10lg|H(jΩ)|2
以Ω=Ωp,A(jΩ)=αp及Ω=Ωs,A(jΩ)=αs两组数据代入,得
2.式(5.27)代入式(5.33)
这里用到C2N
(1)=1。
从上式解出
3.式(5.27)代入式(5.34)
解得
上式中,由于Ωs>Ωp,Ωs/Ωp>1,用式(5.28b)可直接从C2N(Ωs/Ωp)得出连等式得最后一项。
解连等式最后二项所组成得方程,得
至此,ε,N,Ωp已知。
4.由式(5.30)算出切比雪夫滤波器得极点,将全部左半平面点代入式(5.32),可得切比雪夫滤波器得传递函数H(s)。
3)椭圆滤波器
椭圆(Elliptic)滤波器又叫考尔(Cauer)滤波器,其特点是在通带和阻带内都具有等波动振幅特性。
它的振幅平方函数为
|H(jΩ)|2=1/[1+ε2J2N(Ω)]
ε是纹波函数,JN(Ω)是雅可比椭圆函数(JacobinEllipticFunction)这真是这种滤波器称为椭圆滤波器得原因。
椭圆滤波器的零极点分析比较复杂,这里不加讨论。
从应用角度,在已知滤波器参数Ωp、Ωs、αp、αs以及ε后如何计算H(s),可参见[5]。
以上滤波器,就同种滤波器而言,总是阶数越高过渡带越窄,曲线越陡。
三种滤波器之间相比较,如果过渡带指标给定,一般说来椭圆滤波器的阶数可以最低,切比雪夫滤波器次之,巴特沃兹滤波器最高。
而对参数的灵敏都恰恰相反,巴特沃兹最佳(不灵敏),切比雪夫居中,椭圆滤波器最差。
从设计的工作量看,椭圆滤波器最大但现在运算由计算机来完成,计算工作量的问题已经无须多考虑。
总的说来,应该按照技术指标来选用滤波器类型。
5.2.3冲激响应不变法
为了由模拟滤波器的低通原型函数的Hp(s)求出相应的数字滤波器低通原型的系统函数Hp(z),必须找出s平面域z平面的映射变换,这种映射变换应遵循两个基本的目标:
1.Hp(z)的频响必须要模仿Hp(s)的频响,也即s平面的虚轴jΩ应该映射到z平面的单位圆上。
2.Hp(s)的因果稳定性,通过映射后仍应在得到的Hp(z)中保持,也即s平面的左半平面(Re[s]<0)应该映射到z平面的单位圆内(|z|<1)。
目前常用的变换方法由两种:
冲激相应不变法和双线性变换法。
这一部分线介绍冲激响应不变法。
冲激响应不变法又叫标准Z变换法。
它从滤波器的冲激响应出发,使数字滤波器的冲激响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t),让h(n)正好等于ha(t)的采样值,整个处理过程是
第一步是求H(s)的拉氏反变换。
H(s)是模拟滤波器的传递函数,一定可以写成有理分式的形式,设H(s)只有单阶极点,分母多项式和分子多项式分别式N、M阶(N>M),则H(s)可以分解为N个部分分式之和。
H(s)的拉氏反变换等于个部分分式拉氏反变换之和
上二式中,spk是H(s)的极点,k=1,……,N。
第二步是对H(s)的冲激响应ha(t)抽样,得到H(z)的冲激响应
第三步是求h(n)的Z变换,得
比较式(5.38)与式(5.41)可以看出,为了由H(s)求H(z),只要求出H(s)得极点spk(spk为单极点时)和部分分式得系数Ak,然后直接代入式(5.41)即可。
另外,s平面伤得每一个极点s=spk变换到z平面上的极点z=e,也就是说z=esT,这正是第二章提到过的标准Z变换(式6.28)。
根据第二章的有关内容我们知道,在标准Z变换中,s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上,s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内(见2.3.1节)。
也就是说,当采样冲激响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时,它所完成的s平面到z平面的映射变换,符合我们前面提出的两个基本目标。
从而保证了模拟滤波器的稳定性能够在变换得到的数字滤波器中得到保持。
另外,从频率看,标准Z变换的模拟频率Ω与数字频率ω时线性关系(式2.31)。
ω=ΩT(5.42)
这样具有线性相位特性的模拟滤波器,经冲激响应不变法变换为数字滤波器后,该数字滤波器一样具有线性相位特性。
频率的线性关系是冲激响应不变法的一个优点。
冲激响应的另一优点是时域模仿性好。
当要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时,采用这种方法很合适。
但是,这种发放也有它的缺点,其最大的缺点时频谱周期延拓效应,这是由于s平面与z平面之间的非一一对应引起的。
标准Z变换下,s平面上每一个宽度为2π/T的横带都映射到整个z平面(见2.3.1节),这可以想象为s平面虚轴上-π/T~π/T,π/T~3π/T,3π/T~5π/T段分别映射到z平面单位圆-π~π段。
结果数字频谱(-π,π)段是模拟频谱各段的叠加,相当与模拟频谱周期延拓后叠加的效果。
它们的数学关系见式(2.105)。
在这里,ha(t)的频响H(jΩ)对应与式(2.105)中的X(jΩ),而ha(t)的采样序列h(n)的频响H(ejω)对应于式(2.105)中的X(jΩ),而ha(t)的采样序列h(n)的频响H(ejω)对应于式(2.105)中的,于是有
式中Ω=ω/T,如果H(jΩ)的频率分量限于(-π/T,π/T)的范围内,也就是采样频率不超过最高频率的一半,即
H(jΩ)=0|Ω|≥π/T
则周期延拓后无频谱混叠,变换得到的数字滤波器的频响才能不失真的重现模拟滤波器的频响
所以,冲激响应不变法适用于滤波器非零带宽小于采样频率一半的场合。
显然高通和带阻不能用此法,另外,截止特性不好拖为太长的低通、带通也不宜用此法。
在实际应用冲激响应不变法式往往作一点修正。
从式(5.43)可以看出,数字滤波器的频响H(ejω)与T成反比,因此,如果采样频率很高,即T很小时,数字滤波器可能有太高的增益,这是不希望的,为了时数字滤波器的增益不随采样频率变化,可以作以下的简单修正。
零h(n)=Tha(nt)
相应的式(5.41)成为
因此,“冲激响应不变”的确切含义应是响应的相对形状不变,而绝对的幅度是可调的。
下面,我们举例说明冲激响应不变法的应用。
1.已知模拟滤波器的传递函数是
用冲激响应不变法求对应的H(z)。
解本题中H(s)的极点s1=-(a-jb),s2=-(a+jb)均为一阶极点,所以可将H(s)展开成式(5.38)表示的部分分式之和。
为了利用式(5.44)求H(z),需要求出部分分式系数Ak。
这可以用一阶极点的留数定理求得。
A1=(s-s1)H(s)|s=s1=(s+a-jb)
A2=(s-s2)H(s)|s=s2=(s+a-jb)
由式(5.38)得
由式(5.44)得
例5.2用冲激响应不变法设计一个巴特沃兹数字滤波器,其技术指标是:
通带频率0~20kHz,阻带频率4kKz~∞,通带衰耗≤3dB,阻带衰耗≥15dB,滤波器得时钟频率为20kHz。
解根据题意可知低通滤波器得设计参数为
fp=2000,fs1=4000,αp=3,αs=15,fs2=20000
由式(5.26)得滤波器阶数
取N=3
本题由于αp正好是3dB,故低通滤波器的3dB截止频率Ωc=Ωp=2πfp=2π·2000=4000π。
一般情况下,要用公式(5.24),即
计算得到。
3阶巴特沃兹滤模拟低通滤波器的传递函数H(s)可由表5.1获得,或者直接从式(5.20)求极点后代入式(5.21),得
利用一阶极点得留数定理求部分分式系数:
将3各极点sp1=Ωcejπ,sp1=Ωcej2/3π,sp1=Ωce-j2/3π及A1,A2,A3代入式(5.44),由Ωc=4000π,T=1/20000,得
5.2.4双线性变换法BLT(BilinearTransformation)
双线性变换法的基本思路是用表征数字滤波器H(z)的差分方程作为模拟滤波器H(s)所对应的微分方程的近似解,其变换过程是
采用上述流程的还可以是其它变换法,而双线性变换法的特点是在微分方程变为差分方程的过程中采用梯形近似积分。
如果模拟传递函数H(s)的极点均为一阶极点,则H(s)可展开成部分分式之和:
由于各项具有相同的形式,研究其中的一项就足以说明整体的规律。
我们看
其对应的微分方程为
yˊ(t)+λy(t)=Ax(t)
在一个抽样间隔(n-1)T~nT中对上式积分:
式(5.47)中
用梯形面积代替曲线积分
代入式(5.47),得差分方程
两边取Z变换:
整理,得
上式与式(5.46)加以比较,发现
我们定义
或
为双线性变换。
从数学角度看式(5.49)是复变函数得保角变换,它是将整个s平面一一映射到z平面。
式中2/T是常系数,工程上长采用更一般得符号C表示,改变C并不改变频谱形状。
下面我们从稳定性、频率关系和频响逼近度三个方面来评价这种变换哦质量。
首先看稳定性。
以s=σ+jΩ,z=rejω代入式(5.50),得
1.当σ=0时,r=1,就是说s平面虚轴映射到z平面单位圆。
2.当σ<0时,分母>分子,r<1,就是说s左半平面映射到z平面单位圆内。
3.同理,s右半平面映射到z平面单位圆为。
也就是说,当采用双线性变换法将模拟滤波器变换为数字滤波器时,模拟滤波器得稳定性在数字滤波器中仍然保持。
再来看看这种变换下模拟频率Ω与数字频率ω之间得关系
以z=ejω,s=jΩ代入式(5.50),得
由式(5.51)可看出,ω和Ω的关系不是线性的,模拟频率的∞点对应数字频率π,模拟角频率2fs弧度/秒对应数字频率π/2(图5.10)。
由于模拟频率∞点被压缩到ω=π点,所以双线性变换法不会出现周期延拓造成的频谱混叠现象,但是频率变换的非线性必然导致频响曲线各频率成分相对关系的变化,使曲线畸变而劣化逼近程度。
比如图(5.10)中模拟幅频曲线的直线段AB、CD,再双线性变换后的幅频特性中成了曲线段。
但是,对于模拟幅频特性曲线的常数段BC,双线性变换后仍然保持为常数段。
正是这个原因,使双线性变换法仍然为目前使用最普遍、最有效的方法。
因为通常的高低通和带通带阻滤波器都具有分段常数的频率特性,它们的关键指标通带最大衰耗和阻带最小衰耗再通带和阻带内都可以看成使常数,双线性变换后仍然为常数,不受频率非线性的影响。
而一般对过渡带的要求仅是过渡带宽,至于幅频特性再过渡带使直线还是曲线关系并不大。
比如一个椭圆模拟滤波器,经双线性变换后的H(z)在通带和阻带内仍然保持与原模拟滤波器相同的等起伏特性,只是峰点谷点的相对位置关系发生畸变,这一般并不影响滤波器的指标。
值得重视的主要问题是通带临界频率、阻带临界频率等比较关键的特征频率点的畸变。
这些特征频率点的畸变可以用预畸方法加以解决。
如图5.11,模拟滤波器的特征频率Ωp,如按理想的线性变换关系ω=ΩT应该变到预畸的数字频率ωp处。
但双线性变换发的频率变换是按式(5.51)的曲线进行的,所以实际Ωp变到ωpˊ处,这就是畸变。
由于从Ωp变不到ωp,我们可以以开始就把目标修正Ωˊ为而不是Ωp,这样双线性变换后Ωˊ正好摶鋽到ωp,歪打正着。
把目标Ωp修正为Ωˊ就叫撛せ麛,已知Ωp求预畸Ωˊ的计算方法是:
先由Ωp按线性关系求出ωp(ωp=ΩpT),再代入式(5.52)求出
这样,双线性变换后特征频率能够正好映射到我们设想的预定的位置上。
显然,预畸不能再整个频率段消除非线性畸变,而只是消除模拟和数字滤波器再特征频率点上的畸变。
综上所述,可以将双线性变换法设计数字低通的步骤归纳如下(已知设计参数Ωp、Ωs、αp、αs和采样频率1/T):
步骤一:
对通带临界频率Ωp和阻带临界频率Ωs进行预畸:
步骤二:
以预畸后的参数Ωp、Ωs、αp、αs为目标参数,求出模拟滤波器转移函数H(s)。
步骤三:
通过变量代换求H(z)。
例5.3已知3dBd截止频率Ωc=1000·2π,采样频率fs=4000Hz,用双线性变换法设计一个三阶巴特沃兹低通数字滤波器。
解预畸:
三阶巴特沃兹模拟滤波器的传递函数(表5.1)
例5.4用双线性法设计一个巴特沃兹数字滤波器,其技术指标与例5.2相同,即fp=2000,fs1=4000,αp=3,αs=15,fs2=20000
解如果不预畸,设计H(s)的步骤、数据与例5.2完全相同。
如果考虑预畸,设计步骤如下:
预畸:
确定滤波器阶数:
取N=3
本题αp=3,所以取Ωc=Ωpˋ=2/T·0.3249
由表5.1
双线性变换
从上题可以看出,预畸和不预畸的结果不同。
一般说来,当ωp/2很小,以至可以认为tg(ωp/2)=ωp/2时,Ωpˋ=2/Ttg(ωp/2)≈2/T·ωp/2=ωp/T=Ωp,预畸不预
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