新人教版八年级数学第11章全等三角形教案全章.docx

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新人教版八年级数学第11章全等三角形教案全章

第1课时全等三角形

教学

目标

1、理解全等三角形及相关概念，能够从图形中寻找全等三角形，探索并掌握全等三角形的性质，能够利用性质解决简单的问题．

2、在探索全等三角形性质的过程中，体会研究问题的方法，感受图形变化途径．

3、培养学生的识图能力、归纳总结能力和应用意识．

教学重点

1、全等三角形以及相关概念．

2、探索全等三角形的性质．

教学难点

不同情况下的三角形全等的图形归纳．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题】观察思考：

每组的两个图形有什么特点?

1、每组的两个图形形状大小都一样。

2、每组的两个图形都可以重合。

请列举出现实生活中能够完全重合的图形的例子?

（如同底相片等）

全等形：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．

全等三角形：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

把每组的两个图形沿同一水平方向平移使每组中的两个图片叠放在一起。

得到两个图形的特点。

二、合作交流解读探究

E

D

D

A

A

如图，将△ABC沿直线BC平移得△DEF；将△ABC沿BC翻折180°得到△DBC；将△ABC旋转180°得△AED．

C

B

E

C

C

B

B

⑶

⑵

⑴

F

D

一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等．

在图

中，点A与点D重合．点B与点E重合．我们把这样互相重合的一对顶点叫做对应顶点；AB边与DE边重合，这样互相重合的边就叫做对应边；∠A与∠D重合，它们就是对应角．△ABC与△DEF全等，我们把它记作：

“△ABC≌△DEF”．读作“△ABC全等于△DEF”．

注意：

记两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．

【问题】你能找出图

中其他的对应顶点、对应边和对应角吗？

怎样表示图⑵⑶中的两个全等三角形，并找出对应顶点、对应边和对应角．

点C与点F是对应点，BC边与EF边是对应边，CA边与FD边也是对应边．∠B与∠E是对应角，∠C与∠F也是对应角．

【问题】图中的三角形为全等三解形。

全等三角形的对应边有什么关系呢？

对应角呢？

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等．

全等三角形的对应角相等．

利用几何语言来描述其性质（板书）

∵△ABC≌△DEF（已知）

∴AB=DE，BC=EF，AC=DF（全等三角形的对应边相等）

∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）

加深学生对全等三角形概念的理解，以及动手操作能力的培养．

组织学生观察、归纳，引导学生归纳全等三角形的性质．

三、应用迁移巩固提高

【例1】如图，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°．求出△AEC各内角的度数．

解：

∵∠ACB=85°，∠B=30°（已知）

∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=65°

（三角形的内角和等于180°）

∵

△ABC≌△AEC（已知）

∴∠EAC=∠BAC=65°，∠E=∠B=30°，∠ACE=∠ACB=85°（全等三角形对应角相等）

答：

△AEC的内角的度数分别为65°、30°、85°．

【例2】如图，已知△ABC≌△ADE,∠C=∠E,BC=DE,想一想:

∠BAD=∠CAE吗?

为什么?

答:

相等.理由如下:

∵△ABC≌△ADE（已知）

∴∠BAC=∠DAE（全等三角形对应角相等）

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC（等式性质）

∴∠BAD=∠CAE

【例3】如图是一个等边三角形，你能利用折纸的方法把它分成两个全等的三角形吗？

你能把它分成三个，四个全等的三角形吗？

【练习】课本Р4练习

四、总结反思拓展升华

通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素．这也是这节课大家要重点掌握的．

找对应元素的常用方法有两种：

（一）从运动角度看

1．翻转法：

找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素．

2．旋转法：

三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素．

3．平移法：

沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素．

（二）根据位置元素来推理

1．全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边．

2．全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．

五、课堂作业

P4123

教学理念/反思

第2课时三角形全等的判定

（1）

教学

目标

1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

教学重点

通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．

教学难点

寻求三角形全等的条件．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是：

．

相等的角是：

．

【问题2】你能画一个三角形与它全等吗？

怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？

条件能否尽可能少呢？

现在我们就来探究这个问题．

使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等．

二、合作交流解读探究

【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

教师引导学生探究：

通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．

【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等．

我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合．

【思考】你如何验证你的结论呢?

（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）

提醒学生注意：

已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．

通过观察和实验，我们得到一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

我们在前面学习三角形的时候知道：

用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据．

提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．

学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．

使学生明确：

判定两个三角形全等至少需要三个条件．

三、应用迁移巩固提高

【例1】如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：

△ABD≌△ACD．

[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：

【例2】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

四、总结反思拓展升华

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、课堂作业

P1512

教学理念/反思

第3课时三角形全等的判定

（2）

教学

目标

1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。

2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。

教学重点

用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。

教学难点

规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？

由具体的问题引入，激发学生的学生兴趣

二、合作交流解读探究

【问题1】作一个角等于已知角。

已知如图，∠AOB

求作：

∠A’O’B’，使∠A’O’B’＝∠AOB

教师在黑板上作图，同时写出作法：

1作射线O’A’。

2以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。

3以O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C。

4以C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’。

5过点D’作射线O’B’，∠A’O’B’就是所求作的角。

只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。

问：

你能验证你所作的角与已知角相等吗？

【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。

分析：

假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：

如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：

如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？

不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？

再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？

而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：

∠AOB，如图

求作：

射线OE，使∠AOE=∠BOE．

作法：

（1）在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．

（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．

（3）作射线OE．

OE就是所求的射线．

学生探索作图方法

通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。

三、应用迁移巩固提高

【例1】已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB

【例2】如图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？

请写出证明过程。

【练习】课本Р8练习

学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。

利用全等证明角相等的应用。

四、总结反思拓展升华

本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。

五、课堂作业

教学理念/反思

第4课时三角形全等的判定（3）

教学

目标

1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点

会用“边角边”证明两个三角形全等。

教学难点

会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？

我们来看下面的问题：

如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB＝∠COD，OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

从上面的例子可以引起我们猜想：

如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

二、合作交流解读探究

上述猜想是否正确呢？

不妨按上述条件画图并作如下的实验：

活动1：

画△ABC，∠B=60°，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。

引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系

由活动1：

让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。

边角边判定定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）

活动2：

在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇AC=A＇C＇∠B=∠B＇,观察△ABC与△A＇B＇C＇是否全等。

（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。

所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。

三、应用迁移巩固提高

【例1】填空：

（1）如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB（已知），二是___________；还需要一个条件_____________（这个条件可以证得吗？

）．

（2）如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：

_________________________（这个条件可以证得吗？

）．

【例2】已知：

如图5，AD∥BC，AD＝CB．

求证：

△ADC≌△CBA．

问题：

如果把图5中的△ADC沿着CA方向平移到△ADF的位置（如图5），那么要证明△ADF≌△CEB，除了AD∥BC、AD＝CB的条件外，还需要一个什么条件（AF＝CE或AE＝CF）？

怎样证明呢？

【例3】已知：

AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2（图4）．求证：

△ABD≌△ACE．

【探究】

　　学生讨论，教师归纳

　　可通过画图来回答这个问题，如图，图中ΔABD与ΔABC满足两边及其中一边的对角对应相等，但显然这两个三角形不全等。

这说明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

【练习】课本Р10练习

四、总结反思拓展升华

1．根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．

2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．

五、课堂作业

P1534

教学理念/反思

第5课时三角形全等的判定（4）

教学

目标

1．三角形全等的条件：

角边角、角角边．

2．三角形全等条件小结．

3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．

4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．

教学重点

已知两角一边的三角形全等探究．

教学难点

灵活运用三角形全等条件证明．

教学互动设计

设计意图

一、创设情境导入新课

1．复习：

（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？

　　三个角、三个边、两边一角、两角一边．

（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？

各是什么？

　　三种：

①定义；②SSS；③SAS．

2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？

二、合作交流解读探究

【问题1】三角形中已知两角一边有几种可能？

1．两角和它们的夹边．

2．两角和其中一角的对边．

【问题2】三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？

将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？

将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．

提炼规律：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

【问题3】我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A=∠A′、∠B=∠B′、AB=A′B′呢？

①先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出AB的边长．

②画线段A′B′，使A′B′=AB．

③分别以A′、B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′、∠EB′A，使∠D′AB=∠CAB，∠EB′A′=∠CBA．

④射线A′D与B′E交于一点，记为C′

即可得到△A′B′C′．

将△A′B′C′与△ABC重叠，发现两三角形全等．

两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．

思考：

在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？

【问题4】

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

能利用角边角条件证明你的结论吗？

证明：

∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°

∠A=∠D，∠B=∠E

∴∠A+∠B=∠D+∠E

∴∠C=∠F

在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．

三、应用迁移巩固提高

【例1】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．

求证：

AD=AE．

[分析]AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD=AE，只需证明△ADC≌△AEB即可．

证明：

在△ADC和△AEB中

所以△ADC≌△AEB（ASA）

所以AD=AE．

【例2】如图，海岸上有A、B两个观测点，点B在点A的正东方，海岛C在观测点A的正北方，海岛D在观测点B的正北方，从观测点A看C，D的视角∠CAD与从观测点B看海岛C，D的视角∠CBD相等，那么点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等，为什么？

证明：

∵∠CAD=∠CBD，∠1=∠2∴∠C=∠D。

在△ABC与△BAD∠CAB=∠ABD（已知）∠C=∠D（已证）AB=BA（公共边）∴△ABC≌△BAD（AAS）∴AC=BD即点A到海岛C的距离与点B到海岛D的距离相等

【练习】课本Р13练习

培养学生的逻辑推理能力、独立思考能力，会用“ASA或AAS“判断三角形全等，规范地书写证明过程.培养学生合情合理的逻辑推理能力，语言表达能力，规范地书写证明过程.培养学生的符号感，体会数学知识的严谨性.

四、总结反思拓展升华

五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、课堂作业

P1556

教学理念/反思

第6课时三角形全等的判定（5）综合探究

教学

目标

1、理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．

2、经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．

教学重点

运用四个判定三角形全等的方法．

教学难点

正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达．

教学互动设计

设计意图

一、分层练习回顾反思

1．已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C′的度数与AB的长．

【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．

2．已知：

如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．

求证：

∠B=∠C．

【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有：

（1）两直线平行，同位角或内错角相等；

（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）．

根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE，∠1=∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，则可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∠BEO=∠CDO（等角的补角相等），则可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到∠AEO=∠AOD之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．

【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．

组织学生练习，请一位学生上台演示．

先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．

巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点．

小组合作交流，共同探讨，然后解答．

分组合作，互相交流．

二、应用迁移能力提升

【例1】如图2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：

AD=AE．

【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中，由于BD=CE，∠ABD=∠ACE，因此要证明△ABD≌△ACE，则需证明∠BAD=∠CAE，这由已知条件∠BAC=∠DAE容易得到．

证明：

∵∠BAC=∠DAE

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中，

∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（AAS），

∴AD=AE．

【例2】如图4，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线，你能说明其中道理吗？

小明的思考过程如下：

→△ABC≌△ADC→∠QRE=∠PRE

你能说出每一步的理由吗？

引导学生思考问题．

分析、寻找证题思路，独立完成例题

四、总结反思拓展升华

五种判定三角形全等的方法：

1．全等三角形的定义

2．判定定理：

边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS）

推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．

五、课堂作业

P16910

教学理念/反思

第7课时三角形全等的判定（6）

教学

目标

1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数