二重积分的概念和性质.ppt
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第九章,一元函数积分学,多元函数积分学,重积分,重,积,分,在一元函数积分学中,定积分是定义在某,一区间上的一元函数的某种特定形式的,和式的,极限,,由于科学技术和生产实践的发展,需要,计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体,的质量,等,定积分已经不能解决这类问题,另,一方面,从数学逻辑思维的规律出发,必然会,考虑定积分概念的推广,从而提出了多元函数,的积分学问题。
当人们把定积分解决问题的基本思想,“,分割、近似代替、求和、取极限”用于解决,这类问题时发现是完全可行的。
把解决的基,本方法抽象概括出来,就得到多元函数积分,学。
本章将讨论二重积分的概念、性质、计算和应,用。
重点,:
重积分的计算方法,交换累次积分次序。
难点,:
选择坐标系,确定积分次序,定积分限。
基本要求,理解重积分概念,了解其基本性质,熟练掌握重积分的计算方法,掌握累次积分的换序法,掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元,三、二重积分的性质,第一节,一、引例,二、二重积分的定义,二重积分的概念与性质,一、问题的提出,(,引例),曲顶柱体的体积,柱体体积,=,底面积,高,特点,:
平顶,.,),(,y,x,f,z,?
D,柱体体积,=,?
特点,:
曲顶,.,解法,:
类似定积分解决问题的思想,分析:
曲顶柱体,:
0,),(,?
?
y,x,f,z,底:
xoy,面上的闭区域,D,顶,:
连续曲面,侧面:
以,D,的边界为准线,母线平行于,z,轴的柱面,求曲顶柱体的体积采用,“,分割、,近似,代替、,求和、取极限,”的方法,如下动,画演示,步骤如下:
用若干个小平,顶柱体体积之,和近似表示曲,顶柱体的体积,,x,z,y,o,D,),(,y,x,f,z,?
i,?
?
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),(,i,i,?
?
先分割曲顶柱体的底,,并取典型小区域,,.,),(,lim,1,0,i,i,n,i,i,f,V,?
?
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曲顶柱体的体积,求平面薄片的质量,设,有,一,平,面,薄,片,,,占,有,xoy,面,上,的,闭,区,域,D,,,在,点,),(,y,x,处,的,面,密,度,为,),(,y,x,?
,,假,定,),(,y,x,?
在,D,上,连,续,,,平,面,薄,片,的,质,量,为,多,少,?
将薄片分割成若干小块,,取典型小块,将其近似,看作均匀薄片,,所有小块质量之和,近似等于薄片总质量,x,y,o,),(,i,i,?
?
i,?
?
.,),(,lim,1,0,i,i,n,i,i,M,?
?
?
?
?
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?
两个问题的共性,:
(1),解决问题的步骤相同,
(2),所求量的结构式相同,“,分割、近似代替、求和、取极限,”,?
?
?
?
?
n,k,k,k,k,f,V,1,0,),(,lim,?
?
?
?
?
?
?
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n,k,k,k,k,M,1,0,),(,lim,?
?
?
?
?
曲顶柱体体积,:
平面薄片的质量,:
二、二重积分的概念,1,、定义,设,),(,y,x,f,是有界闭区域,D,上的有界函,数,将闭区域,D,任意分成,n,个小闭区域,1,?
?
,,?
2,?
?
,,n,?
?
,其中,i,?
?
表示第,i,个小闭区域,,也表示它的面积,,在每个,i,?
?
上任取一点,),(,i,i,?
?
,,作乘积,),(,i,i,f,?
?
i,?
?
,,),2,1,(,n,i,?
?
,,并作和,i,i,n,i,i,f,?
?
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),(,1,,,如果当各小闭区域的直径中的最大值,?
趋近于零,时,这和式的极限存在,则称此极限为函数,),(,y,x,f,在,闭,区,域,D,上,的,二,重,积,分,,,记,为,?
D,d,y,x,f,?
),(,,,即,?
D,d,y,x,f,?
),(,i,i,n,i,i,f,?
?
?
?
?
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),(,lim,1,0,.,积,分,区,域,被,积,函,数,积,分,变,量,被,积,表,达,式,面,积,元,素,积,分,和,对二重积分定义的说明:
(1),在,二重积分的定义中,对闭区域,的划分是,任意,的,.,
(2),当,),(,y,x,f,在闭区域上,连续,时,定义,中和式的极限必存在,即,二重积分必,存在,.,(3),如果,在,D,上可积,),(,y,x,f,也常,?
d,d,d,y,x,二重积分记作,k,k,k,y,x,?
?
?
?
?
这时,分区域,D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,?
?
?
?
D,D,dxdy,y,x,f,d,y,x,f,),(,),(,?
?
D,y,x,f,V,?
d,),(,引例,1,中曲顶柱体体积,:
?
?
D,y,x,M,?
?
d,),(,引例,2,中平面薄板的质量,:
?
?
D,y,x,y,x,f,d,d,),(,?
?
D,y,x,y,x,d,d,),(,?
(,4,)、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是柱体,的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱,体的体积的,负值,?
?
D,y,x,f,V,?
d,),(,?
?
D,y,x,y,x,f,d,d,),(,三、二重积分的性质,(,二重积分与定积分有类似的性质,),性质,.,),(,),(,?
?
?
D,D,d,y,x,f,k,d,y,x,kf,?
?
性质,?
?
D,d,y,x,g,y,x,f,?
),(,),(,.,),(,),(,?
?
?
?
D,D,d,y,x,g,d,y,x,f,?
?
性质,.,),(,),(,),(,2,1,?
?
?
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D,D,D,d,y,x,f,d,y,x,f,d,y,x,f,?
?
?
对区域具有可加性,),(,2,1,D,D,D,?
?
性质,?
若,为,D,的面积,,.,1,?
?
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D,D,d,d,?
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?
性质,若在,D,上,),(,),(,y,x,g,y,x,f,?
则有,.,),(,),(,?
?
?
D,D,d,y,x,g,d,y,x,f,?
?
特殊地,.,),(,),(,?
?
?
D,D,d,y,x,f,d,y,x,f,?
?
性质,设,M,、,m,分,别,是,),(,y,x,f,在,闭,区,域,D,上,的,最,大,值,和,最,小,值,,,?
为,D,的,面,积,,,则,?
?
?
?
?
?
D,M,d,y,x,f,m,),(,(二重积分估值不等式),设函数,),(,y,x,f,在闭区域,D,上连续,,?
为,D,的面积,则在,D,上至少存在一点,),(,?
?
使得,性质,?
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),(,),(,f,d,y,x,f,D,(二重积分中值定理),P78,平均值公式,例,1.,比较下列积分的大小,:
?
?
d,),(,d,),(,3,2,?
?
?
?
D,D,y,x,y,x,其中,2,),1,(,),2,(,:
2,2,?
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?
?
y,x,D,解,:
积分域,D,的边界为圆周,1,?
?
y,x,3,3,2,),(,),(,y,x,y,x,?
?
?
2,),1,(,),2,(,2,2,?
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y,x,它与,x,轴交于点,(1,0),.,1,相切,与直线,?
?
y,x,而域,D,位,?
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d,),(,d,),(,3,2,?
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D,D,y,x,y,x,于直线的上方,故在,D,上有,1,y,2,x,o,1,D,例,2,估,计,?
?
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?
?
D,xy,y,x,d,I,16,2,2,2,?
的,值,,,其,中,D,:
2,0,1,0,?
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y,x,.,解,16,),(,1,),(,2,?
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?
y,x,y,x,f,?
区,域,面,积,2,?
?
在,D,上,),(,y,x,f,的,最,大,值,),0,(,4,1,?
?
?
y,x,M,),(,y,x,f,的,最,小,值,5,1,4,3,1,2,2,?
?
?
m,),2,1,(,?
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y,x,故,4,2,5,2,?
?
I,.,5,.,0,4,.,0,?
?
?
I,例,3,判,断,?
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?
1,2,2,),ln(,y,x,r,dxdy,y,x,的,符,号,.,解,当,1,?
?
?
y,x,r,时,故,0,),ln(,2,2,?
?
y,x,;,1,),(,0,2,2,2,?
?
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y,x,y,x,又,当,1,?
?
y,x,时,0,),ln(,2,2,?
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y,x,于,是,0,),ln(,1,2,2,?
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y,x,r,dxdy,y,x,.,例,3,判,断,?
?
?
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?
1,2,2,),ln(,y,x,r,dxdy,y,x,的,符,号,.,练习,1,、,比较积分,?
?
D,d,y,x,?
),ln(,与,?
?
D,d,y,x,?
2,),ln(,的大小,其中,D,是三角形闭区域,三顶点各为,(1,0),(1,1),(2,0).,解:
三角形斜边方程,2,?
?
y,x,在,D,内,有,e,y,x,?
?
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?
2,1,故,1,),ln(,?
?
y,x,o,x,y,1,2,1,D,于,是,?
?
2,),ln(,),ln(,y,x,y,x,?
?
?
因,此,?
?
?
D,d,y,x,?
),ln(,?
?
D,d,y,x,?
2,),ln(,.,练习,2,、,估计下列积分之值,10,:
cos,cos,100,d,d,I,2,2,?
?
?
?
?
?
y,x,D,y,x,y,x,D,解,:
D,的面积为,200,),2,10,(,2,?
?
?
由于,?
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?
?
y,x,2,2,cos,cos,100,1,积分性质,5,100,200,I,102,200,?
?
即,:
1.96,?
I,?
2,10,?
10,10,10,?
D,100,1,102,1,x,y,o,求曲顶柱体的体积采用,“,分割、求和,、取极限,”的方法,如下动画演示,四、小结,二重积分的定义,(和式的极限),二重积分的几何意义,(曲顶柱体的体积),二重积分的性质,(与定积分类似),思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较,,找出它们的相同之处与不同之处,.,思考题解答,定积分与二重积分都表示某个和式的极限,值,且此值只与被积函数及积分区域有关不,同的是定积分的积分区域为区间,被积函数为,定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分,区域为平面区域,被积函数为定义在平面区域,上的二元函数,练,习,题,一、,填空题,:
1,、,当函数,),(,y,x,f,在闭区域,D,上,_,时,则其在,D,上的二重积分必定存在,.,2,、,二,重,积,分,?
D,d,y,x,f,?
),(,的,几,何,意,义,是,_.,3,、,若,),(,y,x,f,在,有,界,闭,区,域,D,上,可,积,且,2,1,D,D,D,?
?
当,0,),(,?
y,x,f,时,则,?
1,),(,D,d,y,x,f,?
_,?
2,),(,D,d,y,x,f,?
;,当,0,),(,?
y,x,f,时,则,?
1,),(,D,d,y,x,f,?
_,?
2,),(,D,d,y,x,f,?
.,4,、,?
?
D,d,y,x,?
),sin(,2,2,_,_,_,_,_,_,_,_,_,_,?
其,中,?
是,圆,域,2,2,2,4,?
?
y,x,的,面,积,?
?
?
16,.,二、,比较下列积分的大小,:
?
?
?
?
?
?
d,y,x,d,y,x,D,2,),ln(,),ln(,与,其中,D,是矩形;,闭区域,:
1,0,5,3,?
?
?
?
y,x,.,三、估计积分,?
?
?
?
D,d,y,x,I,?
),9,4,(,2,2,的值,其中,D,是圆,形区域,:
4,2,2,?
?
y,x,.,练习题答案,一、,1,、连续;,2,、,以,),(,y,x,f,z,?
为曲顶,以,D,为底的曲顶柱体体,积的代数和;,3,、,;,4,、,?
.,二、,?
?
?
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d,y,x,d,y,x,D,
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