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平面直角坐标系与函数
启辰教育初三数学学科寒假讲义
学习课题:
函数上课时间:
学习内容:
1、平面直角坐标系与函数2、一次函数
学习重点:
一次函数图象和性质
学习难点:
一次函数的图象和性质
课时1.平面直角坐标系与函数
一、平面直角坐标系
1、定义:
具有的两条的数轴组成平面直角坐标系,两条数轴分别称轴轴或轴轴,这两个数轴把一个坐标平面分成的四个部分,我们称作是四个
2、有序数对:
在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对来表示,如A(a.b),(a.b)即为点A的其中a是该点的坐标,b是该点的坐标平面内的点和有序数对具有的关系。
3、各象限内点的特点:
平面内点的坐标特征
①P(a.b):
第一象限第二象限第三象限第四象限
X轴上Y轴上
②对称点:
P关于横轴、纵轴的对称点分别是
③特殊位置点的特点:
P(a.b)若在一、三象限角的平分线上,则
若在二、四象限角的平分线上,则
④与坐标轴的距离:
P(a.b)到x轴的距离到y轴的距离到原点的距离
⑤坐标平面内点的平移:
将点P(a.b)向左右平移h个点位,对应点坐标为或
向上(下)平移K个点位,对应点坐标为或
例1(扬州)在平面直角坐标系中,点P(m,m-2)在第一象限内,则m的取值范围是.
例2(莆田)如图,在平面直角坐标系中,A(1,1),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(1,﹣2).把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是( )
A.(1,﹣1)B.(﹣1,1)C.(﹣1,﹣2)D.(1,﹣2)
故选B.
二、函数的有关概念:
1、常量与变量:
在某一变化过程中,始终保持的量叫做常量,数值发生的量叫做变量
【名师提醒:
常量与变量是相对的,在一个变化过程中,用一个量在不同情况下可以是常量,也可以是变量,要根据问题的条件来确定】
2、函数:
⑴、函数的概念:
一般的在某个过程中如果有两个变量x、y对于x的每一个确定的值,y都有的值与之对应,我们就称x是y是x的
⑵、自变量的取值范围:
主要有两种情况:
①、解析或有意义的条件,常见分式和二次根式两种情况
②、实际问题有意义的条件:
必须符合实际问题的背景
⑶、函数的表示方法:
通常有三种表示函数的方法:
①、法②、法③、法
⑷、函数的图象:
对于一个函数,把自变象x和函数y的每对对应值作为点的与
在平面内描出相应的点,组成这些点的图形叫做这个函数的图象
例3(凉山州)在函数
中,自变量x的取值范围是.
例4(2012•鸡西)一天晚饭后,小明陪妈妈从家里出去散步,如图描述了他们散步过程中离家的距离S(米)与散步时间t(分)之间的函数关系,下面的描述符合他们散步情景的是( )
A.从家出发,到了一家书店,看了一会儿书就回家了B.从家出发,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,然后回家了
C.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了
D.从家出发,散了一会儿步,到了一家书店,看了一会儿书,继续向前走了一段,18分钟后开始返回
例5(厦门)已知两个变量x和y,它们之间的3组对应值如下表所示
x
﹣1
0
1
y
﹣1
1
3
则y与x之间的函数关系式可能是( )
A.y=xB.y=2x+1C.y=x2+x+1D.
课时2.一次函数
一、正比例函数与一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地,如果
(k,b是常数,k
0),那么y叫做x的一次函数。
特别地,当一次函数
中的b为0时,
(k为常数,k
0)。
这时,y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征:
一次函数
的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数
的图像是经过原点(0,0)的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
0x
图像经过一、二、三象限,y随x的增大而增大。
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限,y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y
0x
图像经过一、二、四象限,y随x的增大而减小
b<0
y
0x
图像经过二、三、四象限,y随x的增大而减小。
4、正比例函数的性质
一般地,正比例函数
有下列性质:
(1)当k>0时,图像必定经过第一、三象限,y随x的增大而增大;
(2)当k<0时,图像必定经过第二、四象限,y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地,一次函数
有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大
(2)当k<0时,y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式
(k
0)中的常数k。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式
(k
0)中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
二、【中考典型精析】
例1.(徐州)下列函数中,y随x的增大而减少的函数是( )
A.
y=2x+8
B.
y=﹣2+4x
C.
y=﹣2x+8
D.
y=4x
考点:
一次函数的性质.
例2.(娄底)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图所示,当y>0时,x的取值范围是( )
A.
x<0
B.
x>0
C.
x<2
D.
x>2
考点:
一次函数的图象.
例3.(湖州)若正比例函数y=kx的图象经过点(1,2),则k的值为( )
A.
B.-2C.
D.2
考点:
一次函数图象上点的坐标特征.
例4.(贵州省黔东南州,9,4分)直线y=﹣2x+m与直线y=2x﹣1的交点在第四象限,则m的取值范围是( )
A.
m>﹣1
B.
m<1
C.
﹣1<m<1
D.
﹣1≤m≤1
考点:
两条直线相交或平行问题.
例5.(山东临沂)某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元.当该机器生产数量至少为10台,但不超过70台时,每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系,函数y与自变量x的部分对应值如下表:
x(单位:
台)
10
20
30
y(单位:
万元/台)
60
55
50
(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求该机器的生产数量;
(3)市场调查发现,这种机器每月销售量z(台)与售价a(万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台,请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润.(注:
利润=售价-成本)
例6.(遵义)2013年4月20日,四川雅安发生7.0级地震,给雅安人民的生命财产带来巨大损失.某市民政部门将租用甲、乙两种货车共16辆,把粮食266吨、副食品169吨全部运到灾区.已知一辆甲种货车同时可装粮食18吨、副食品10吨;一辆乙种货车同时可装粮食16吨、副食11吨.
(1)若将这批货物一次性运到灾区,有哪几种租车方案?
(2)若甲种货车每辆需付燃油费1500元;乙种货车每辆需付燃油费1200元,应选
(1)中的哪种方案,才能使所付的费用最少?
最少费用是多少元?
考点:
一次函数的应用;一元一次不等式组的应用.3718684
三【课后练习】
1、(益阳)已知一次函数y=x﹣2,当函数值y>0时,自变量x的取值范围在数轴上表示正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2、(2008年福州中考)一次函数
的图象大致是()
3、(福州质检)若一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k、b的取值范围是().
A.k>0,b>0B.k>0,b<0
C.k<0,b>0D.k<0,b<0
4、(福州质检)已知函数y=2x+b,当b取不同的数值时,可以得到许多不同的直线,这些直线必定()
A.交于同一个点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直
5、(福州质检)如图,直线y=-
x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO'B',则点B'的坐标是()
A.(4,2
)B.(2
,4)C.(
,3)D.(2
+2,2
)
6、(2013福州中考)A,B两点在一次函数图象上的位置如图所示,两点的坐标分别为A(x+a,y+b),B(x,y),下列结论正确的是( )
A.a>0B.a<0C.b=0D.ab<0
7、(2013•钦州)请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式
8、(2013福州质检)在一次函数y=kx+2中,若y随x的增大而增大,则它的图象不经过第象限.
9、(2013年广州市)一次函数
若
随
的增大而增大,则
的取值范围是___________.
10、(2013湖南永州)已知一次函数
的图象经过点A(1,-1),B(-1,3)两点,则k 0(填“>”或“<”).
11、(2013年潍坊市)一次函数
中,当
时,
<1;当
时,
>0则
的取值范围是____.
12、(2010年福州中考)如图,直线
,点
坐标为(1,0),过点
作
的垂线交直线于点
,以原点O为圆心,
长为半径画弧交
轴于点
;再过点
的垂线交直线于点
,以原点O为圆心,
长为半径画弧交
轴于点
,…,按此做法进行下去,点
的坐标为(,)。
13、(福州中考)如图8,在平面直角坐标系中,
、
均在边长为1的正方形网格格点上.
(1)求线段
所在直线的函数解析式,并写出当
时,自变量
的取值范围;
(2)将线段
绕点
逆时针旋转
得到线段
请在答题卡
指定位置画出线段
.若直线
的函数解析式为
则
随
的增大而(填“增大”或“减小”).
14、(2013四川成都)某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒,其运动速度v(米/秒)关于时间t(秒)的函数关系如图所示.某学习小组经过探究发现:
该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积.由物理学知识还可知:
该物体前n(3<n≤7)秒运动的路程在数值上等于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面积之和.
根据以上信息,完成下列问题:
(1)当3<t≤7时,用含t的代数式表示v;
(2)分别求该物体在0≤t≤3和3<t≤7时,运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关系式;并求该物体从P点运动到Q点总路程的
时所用的时间.
15、(2013四川遂宁)四川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕,根据大会组委会安排,某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此,学校需要采购一批演出服装,A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解:
两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,即男装每套120元,女装每套100元.经洽谈协商:
A公司给出的优惠条件是,全部服装按单价打七折,但校方需承担2200元的运费;B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人,如果设参加演出的男生有x人.
(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式;
(2)问:
该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算?
请说明理由.
16、(2013•十堰)某商场计划购进A,B两种新型节能台灯共100盏,这两种台灯的进价、售价如表所示:
类型价格
进价(元/盏)
售价(元/盏)
A型
30
45
B型
50
70
(1)若商场预计进货款为3500元,则这两种台灯各购进多少盏?
(2)若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍,应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多?
此时利润为多少元?
11、(2013•包头)某产品生产车间有工人10名.已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个,且每生产一个甲种产品可获得利润100元,每生产一个乙种产品可获得利润180元.在这10名工人中,车间每天安排x名工人生产甲种产品,其余工人生产乙种产品.
(1)请写出此车间每天获取利润y(元)与x(人)之间的函数关系式;
(2)若要使此车间每天获取利润为14400元,要派多少名工人去生产甲种产品?
(3)若要使此车间每天获取利润不低于15600元,你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适?
12、(2013•牡丹江)某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召,准备用不超过105700元购进40台电脑,其中A型电脑每台进价2500元,B型电脑每台进价2800元,A型每台售价3000元,B型每台售价3200元,预计销售额不低于123200元.设A型电脑购进x台、商场的总利润为y(元).
(1)请你设计出进货方案;
(2)求出总利润y(元)与购进A型电脑x(台)的函数关系式,并利用关系式说明哪种方案的利润最大,最大利润是多少元?
(3)商场准备拿出
(2)中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台,另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶.在钱用尽三样都购买
的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案.
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- 平面 直角 坐标系 函数