中考数学圆的切线证明综合试题.docx
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中考数学圆的切线证明综合试题
专题-------圆的切线证明
我们学习了直线和圆的位置关系,就出现了新的一类习题,就是证明一直线是圆的切线.在我们所
学的知识范围内,证明圆的切线常用的方法有:
一、若直线l过⊙O上某一点A,证明l是⊙O的切线,只需连OA,证明OA⊥l就行了,简称“连
半径,证垂直”,难点在于如何证明两线垂直.
例1如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交OD
延长线于F.
求证:
EF与⊙O相切.
证明:
连结OE,AD.
∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.
又∵AB=BC,
∴∠3=∠4.
⌒⌒
∴BD=DE,∠1=∠2.
又∵OB=OE,OF=OF,
∴△BOF≌△EOF(SAS).
∴∠OBF=∠OEF.
∵BF与⊙O相切,
∴OB⊥BF.
0
∴∠OEF=90.
∴EF与⊙O相切.
说明:
此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2如图,AD是∠BAC的平分线,P为BC延长线上一点,且PA=PD.
求证:
PA与⊙O相切.
证明一:
作直径AE,连结EC.
∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAC.
1
∵PA=PD,
∴∠2=∠1+∠DAC.
∵∠2=∠B+∠DAB,
∴∠1=∠B.
又∵∠B=∠E,
∴∠1=∠E
∵AE是⊙O的直径,
0
∴AC⊥EC,∠E+∠EAC=90.
0
∴∠1+∠EAC=90.
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切.
证明二:
延长AD交⊙O于E,连结OA,OE.
∵AD是∠BAC的平分线,
⌒⌒
∴BE=CE,
∴OE⊥BC.
0
∴∠E+∠BDE=90.
∵OA=OE,∴∠E=∠1.
∵PA=PD,
∴∠PAD=∠PDA.
又∵∠PDA=∠BDE,
0
∴∠1+∠PAD=90
即OA⊥PA.
∴PA与⊙O相切
说明:
此题是通过证明两角互余,证明垂直的,解题中要注意知识的综合运用.
例3如图,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于D,DM⊥AC于M
求证:
DM与⊙O相切.
证明一:
连结OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
2
∵OB=OD,∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
∵DM⊥AC,
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二:
连结OD,AD.
∵AB是⊙O的直径,∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC,
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD,∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明:
证明一是通过证平行来证明垂直的
利用已知及图上已知.
D
C
.证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分
0
例4如图,已知:
AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=30,BD=OB,D在AB的延长线上.
求证:
DC是⊙O的切线
证明:
连结OC、BC.
∵OA=OC,
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB,
∴△OBC是等边三角形.
∴OB=BC.D
3
∵OB=BD,∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
说明:
此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的,此题解法颇多,但这种方法较好.
例5如图,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,且OA2=OD·OP.
求证:
PC是⊙O的切线.
证明:
连结OC
2
∵OA=OD·OP,OA=OC,
2
∴OC=OD·OP,
OCOP
.
ODOC
又∵∠1=∠1,
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB,
0
∴∠OCP=90.
∴PC是⊙O的切线.
说明:
此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6如图,ABCD是正方形,G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于F.
求证:
CE与△CFG的外接圆相切.
分析:
此题图上没有画出△CFG的外接圆,但△CFG是直角三角形,圆心在斜边FG的中点,为此我们取FG的中点O,连结OC,证明CE⊥OC即可得解.
证明:
取FG中点O,连结OC.
∵ABCD是正方形,
∴BC⊥CD,△CFG是Rt△
∵O是FG的中点,
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG,
∴∠3=∠G,
∵AD∥BC,
4
∴∠G=∠4.
∵AD=CD,DE=DE,
0
∠ADE=∠CDE=45,
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴∠4=∠1,∠1=∠3.
∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、若直线l与⊙O没有已知的公共点,又要证明l是⊙O的切线,只需作OA⊥l,A为垂足,证
明OA是⊙O的半径就行了,简称:
“作垂直;证半径”
例7如图,AB=AC,D为BC中点,⊙D与AB切于E点.
求证:
AC与⊙D相切.
证明一:
连结DE,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB是⊙D的切线,
∴DE⊥AB.
∵DF⊥AC,
0
∴∠DEB=∠DFC=90.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵BD=CD,
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DF=DE.
∴F在⊙D上.
∴AC是⊙D的切线
证明二:
连结DE,AD,作DF⊥AC,F是垂足.
∵AB与⊙D相切,∴DE⊥AB.
∵AB=AC,BD=CD,∴∠1=∠2.
5
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∴F在⊙D上.
∴AC与⊙D相切.
说明:
证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的,证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的,
这类习题多数与角平分线有关.
例8已知:
如图,AC,BD与⊙O切于A、B,且求证:
CD是⊙O的切线.
证明一:
连结OA,OB,作OE⊥CD,E为垂足.
∵AC,BD与⊙O相切,
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.
0
∵∠COD=90,
∴∠2+∠3=900,∠1+∠4=900.
0
∵∠4+∠5=90.
∴∠1=∠5.
∴Rt△AOC∽Rt△BDO.
0
AC∥BD,若∠COD=90.
O
∴ACOC.
OBOD
∵OA=OB,
∴ACOC.
OAOD
0
又∵∠CAO=∠COD=90,
∴△AOC∽△ODC,
∴∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明二:
连结OA,OB,作OE⊥CD于E,延长DO交CA延长线于F.
∵AC,BD与⊙O相切,
6
∴AC⊥OA,BD⊥OB.
∵AC∥BD,∴∠F=∠BDO.
又∵OA=OB,
∴△AOF≌△BOD(AAS)
∴OF=OD.
0
∵∠COD=90,
∴CF=CD,∠1=∠2.
又∵OA⊥AC,OE⊥CD,
∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
∴CD是⊙O的切线.
证明三:
连结AO并延长,作OE⊥CD于E,取CD中点F,连结OF.
∵AC与⊙O相切,∴AC⊥AO.
∵AC∥BD,
∴AO⊥BD.
∵BD与⊙O相切于B,
∴AO的延长线必经过点B.
∴AB是⊙O的直径.
∵AC∥BD,OA=OB,CF=DF,∴OF∥AC,
∴∠1=∠COF.
0
∵∠COD=90,CF=DF,
∴OF1CDCF.
2
∴∠2=∠COF.
∴∠1=∠2.
∵OA⊥AC,OE⊥CD,∴OE=OA.
∴E点在⊙O上.
7
∴CD是⊙O的切线
说明:
证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.证
明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2,这种方法必需先证明A、O、B三点共线.
此题较难,需要同学们利用所学过的知识综合求解.
以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考.
以下是武汉市
2007----2010中考题汇编:
(2007中考)
22
.(本题
8
分)如图,等腰三角形
中,
=
=,
=
。
以
为直径作⊙
O
交
ABC
AC
BC10
AB
12
BC
AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E。
(1)求证:
直线EF是⊙O的切线;
(2)求CF:
CE的值。
A
F
D
G
EBO
C
(第22题图)
(2008中考)22.(本题
8分)如图,AB是⊙O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线
AD交⊙O于点D,DE
⊥AC,交AC的延长线于点
E,OE交AD于点F.⑴求证:
DE是⊙O的切线;⑵若AC
3
,求AF的值。
AB
5
DF
E
C
D
F
A
O
B
(2009中考)22.(本题满分8分)
如图,Rt△ABC中,ABC90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连
接DE.
C
(1)求证:
直线
DE是⊙O的切线;
(2)连接OC交DE于点F,若OF
CF,求tan
ACO的值.
DF
E
AB
O
(2010中考)22.如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C.
(1)求证:
直线PB与⊙O相切;
(2)PO的延长线与⊙O交于点E.若⊙O的半径为3,PC=4.求弦CE的长.
8
9
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