二项堆和Fibonacci堆的分析与实现毕业设计论文 精品.docx

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二项堆和Fibonacci堆的分析与实现毕业设计论文精品

本科生毕业设计（论文）

题目：

二项堆和Fibonacci堆的分析与实现

姓名：

陈伟

学号：

110901004

学院：

数学与计算机科学学院

专业：

计算机科学与技术

年级：

2009级

指导教师：

（签名）

年月日

二项堆和Fibonacci堆的分析与实现

摘要

堆是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。

堆通常被视为部分有序的树形对象。

堆总是满足堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值这个特殊性质。

通常将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

常见的堆的实现包括二叉堆、二项堆，斐波那契堆。

堆也是计算机程序设计中经常用到的数据结构，在最短路算法的快速实现和最优编码的哈夫曼树实现中都需要用到堆.同时堆也经常作为优先级队列来使用，在程序调度算法中发挥重要作用。

斐波那契堆有着非常好的均摊运行时间，可是其数据结构和算法实现相对比较复杂，因此人们一直在寻找一种既能实现较好的均摊运行时间，同时数据结构相对比较简洁的实现算法。

本课题的目的是学习连续空间上二叉堆的性质特点和离散空间上二项堆以及斐波那契堆的性质特点同时实现二项堆和斐波那契堆的具体算法。

通过具体代码实现来对比二项堆和斐波那契堆实现的时间空间上消耗，对比起各自的优劣，同时探讨堆在具体应用中发挥的作用。

关键字：

二叉堆，二项堆，斐波纳契堆，实现算法。

PerformanceanalysisandImplementationforbinomialheapandfibonacciheap

Abstract

Heapisaspecialkindofdatastructureincomputerscience.Heapisoftenviewedaspartialorderedtreeobject.Heapisalwaysmeetaspecialqualitythatthevalueofanodeisalwaysgreaterthanorlessthanthevalueofitsparent.Usuallytheheapiscalledthemaximumheaporbigrootheapifthevalueofrootisthebiggest,theminimumheaporsmallrootheapifthevalueofrootisthesmallest.Theimplementationofheapincludingbinaryheap,binomialheapandfibonacciheap.Heapisakindofdatastructurewhichisoftenusedinthedesignofcomputerprogram,itisusedinthefastimplementationofshortestpathalgorithmandoptimalcodingalgorithmofhuffmantree.Simultaneously,heapisoftenusedasapriorityqueue,playinganimportantroleinprocessschedulingalgorithm.Fibonacciheaphasaverygoodcapitationrunningtime,butitsdatastructureandalgorithmimplementationisrelativelycomplicated,sopeoplehavebeenlookingforakindofdatastructurewhichhasbothgoodcapitationrunningtimeandrelativelysimpleimplementationalgorithm.Thepurposeofthissubjectislearningthepropertyofthebinaryheaponcontinuousspace.Atthesametime,learningthepropertyandspecificimplementationalgorithmofbinomialheapandfibonacciheapondiscretespace.Throughspecificcode,wecomparethetimeconsumptionandspaceconsumptionbetweenbinomialheapandfibonacciheap,andcontrasttheirrespectiveadvantagesanddisadvantages.Atthesametime,westudytheeffectofheapinpracticalapplication.

Keywords:

binaryheap,binomialheap,fibonacciheap,implementationalgorithm

目录

第1章绪论5

1.1数据结构5

1.2堆的定义和性质5

1.3堆的类别6

1.4本文主要内容6

第2章二叉堆7

2.1二叉堆的定义7

2.2二叉堆的存储7

2.3二叉堆的基本操作7

2.4二叉堆的应用局限性7

第3章二项堆8

3.1二项树8

3.2二项堆9

3.3二项堆的基本操作10

3.3.1合并11

3.3.2插入11

3.3.3查找最小关键字12

3.3.4删除最小关键字12

3.3.5减小关键字值12

3.3.6删除节点12

第4章斐波那契堆13

4.1斐波纳契堆的定义13

4.2斐波纳契堆的特点13

4.3斐波那契堆操作14

4.3.1创建14

4.3.2插入15

4.3.3删除最小关键字15

4.3.4减小关键字值16

4.3.5删除节点18

第5章实现细节18

5.1二项堆代码结构19

5.2斐波纳契堆代码结构20

5.3其他函数20

第6章性能分析20

总结与展望22

参考文献23

第1章绪论

在信息化时代，电子计算机在我们日常生活中扮演利益重要的作用。

从电子邮件到网上视频，从网络游戏到三色定理证明，程序无处不在。

随着处理数据规模的日益增加，如何让程序高效稳定运行成为人们思考的问题。

此时良好的数据结构和精心设计的算法便成为解决问题的重点。

1.1数据结构

数据结构是计算机科学中一个普遍而又重要的概念。

数据结构是指计算机内部存储和组织数据的方式。

通常包括链式数据结构比如数组，单链表，双链表，还有循环链表，树式数据结构比如二叉树，2-3树等等。

通过精心设计数据结构和建立在对应数据结构上的各种操作，通常情况下能够使得程序运行的更加高效和稳定。

常见的数据结构包括红黑树，AVL树，B树，二叉堆，栈等等。

在面对现实世界中的具体问题时，我们通过抽象来建立对应的数学描述，选择合理的数据结构能够对问题的高效解决起到事半功倍的作用。

1.2堆的定义

堆是计算机科学中最常用的数据结构之一。

从抽象的角度来讲，堆是部分有序的树形结构。

它满足任意节点的关键字值总是比起父节点的关键字值来的小（最小堆）或者任意节点的关键字值总是比起父节点的关键来的大（最大堆）。

在本文的正文部份，如果没有特殊说明，我们总是假定在讨论最小堆。

它高效支持插入，弹出，删除和改变关键字值的操作。

由于这些特殊性质，使得它在许多具体算法中得到普遍应用，例如最短路算法的快速实现，最优编码的哈夫曼树实现，优先级调度算法等等。

1.3堆的分类

从物理的角度来讲，堆的节点在内存中可以连续分布也可以分散分布，前者是二叉堆，后者是二项堆和斐波纳契堆。

二叉堆的实现相对简单，运行时间的常数因子也小，但是同时也存在一些不足之处。

由于二叉堆要求连续的存储空间，因此对于增量数据即我们无法事先预知数据总的规模的情况下，我们无法确定应该分配的内存大小。

通常这种情况下我们倾向于分配一个较大的内存，但是极有可能造成内存的浪费，同时当数据规模超过分配的内存时还要重新分配内存，其中就要涉及较大的数据复制操作，这对运行效率是极其不利的。

另外一种情况下及时我们事先知道数据规模的大小，但是由于内存有限无法分配出足够大连续的内存空间。

由于这两个原因使得二叉堆的应用得到限制，许多人开始探索离散空间上实现堆的方法。

二项堆和斐波纳契堆是离散空间上堆的实现，克服了二叉堆要求分配连续内存的缺点同时维持了相关操作的高效性。

在渐近时间复杂度上二项堆和二叉堆的时间复杂度是相同的。

斐波纳契堆由于采用了循环双向链表的数据结构使得在不涉及删除操作的情况下时间复杂度为O

（1），从而大大提高时间效率。

不过由于数据结构相对复杂，斐波那契堆的常数因子较大，在较小规模的数据上的时间优势并不明显。

本文通过学习两种数据结构的数学性质和实现算法给出具体的代码实现，同时比较了两种数据结构的时间效率。

1.4本文主要内容

本文结构内容安排如下：

第一章介绍数据结构的重要性同时引出堆这一重要数据结构。

同时给出堆的一下基本认识。

同时在本章中给出本文的结构安排。

第二章介绍二叉堆的结构，数学性质和具体的操作。

第三章介绍二项堆的结构，数学额性质和基本操作的相关算法。

对二项堆的效率分析有个比较清楚的认识。

第四章介绍斐波纳契堆的数据结构和基本操作的算法实现。

第五章介绍具体的代码实现和性能分析。

第六章总结与展望

第2章二叉堆

2.1二叉堆定义

二叉堆是一种应用广泛的堆结构。

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足堆特性：

父节点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值，且每个节点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父节点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。

当父节点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

2.2二叉堆存储

二叉堆在内存中连续存储使用数组表示。

例如，假设根节点在数组中的位置是1，则第n个位置的左右子节点分别在2n和2n+1的位置，其父节点处于n/2的位置。

因此，第1个位置的左右子节点分别在2和3，第2个位置的左右子节点分别在4和5，以此类推。

二叉堆的连续存储性质使得我们能够在O

（1）时间内迅速定位父节点和子节点的位置。

上图反应了二叉堆的逻辑结构和在内存中的物理结构。

2.3二叉树基本操作

二叉堆可以在

时间内进行插入节点，删除节，改变节点的值等基本操作，同时能够在O

（1）时间内获得最小值。

第3章二项堆

3.1二项树定义

二项树是一种通过递归定义的有序树，可以由以下定义得到：

（1）度数为0的二项树只包含一个结点。

（2）度数为k的二项树由两棵度数为k-1的二叉树构成，其中的一棵二叉树的根节点成为另一棵二叉树的最左孩子节点。

上图（a）反应了怎样由两棵度数为k-1的二叉树构造度数为k的二叉树。

上图（b）中的二叉树从左至右度数分别为0至4。

.上图（c）反应了对于度数为k的二叉树其直接的对应的二叉树的度数从左到右依次是k-1,k-2…0。

因此我们得出度数为k的二项树共有

个结点，高度为k，在深度d处有

个结点。

3.2二项堆定义

二项堆是指满足以下性质的二项树的集合：

（1）每棵二项树都满足堆性质，即任意结点关键字大于等于其父结点的关键字。

（2）集合中不能有两棵或者两棵以上的二项树有相同度数。

上图是含13个结点的二项堆示意图。

由于我们并不需要对二项树的根结点进行随机存取的操作，我们将这些根节点按照度数从小到大的次序链接成一条单链，形成的链表我们称为主链。

因此以上第一个性质保证了二项树的主链包含了最小的关键字。

以上第二个性质则说明结点数为n的二项堆的根链上至多有

棵二项树。

对于二叉堆中的每个节点x包括以下属性：

子女个数x.degree，最左孩子x.lchild，右兄弟x.rsibling，父节点x.par，关键字x.key。

对于一个抽象的二项堆H，H.head表示主链首部，H.size表示堆中节点的个数。

3.3二项堆的操作

3.3.1合并

上图是两棵二项树合并的示意图。

上图是两个二叉堆合并的示意图。

最基本的为二个度数相同的二项树的合并。

由于二项树根结点包含最小的关键字，因此在二颗树合并时，只需比较二个根结点关键字的大小，其中含小关键字的结点成为结果树的根结点，另一棵树则变成结果树的最左孩子。

伪代码如下：

Bin_Link（y,z）

1y.par←z

2y.rsibling←z.lchild

3z.lchild←y

4z.degree←z.degree+1

上图是如何遍历主链的示意图。

两个二项堆的合并可按如下步骤进行：

因为主链上的根节点的度数i从小到大排列且不存在两个相同度数的根节点在同一主链上，因此可以对两个主链按照根节点的度数从小到大进行遍历合并得到一条主链。

在得到的这条主链上度数为i的根节点至多有两个且相邻。

因此我们对主链进行一次遍历，在遍历过程中度数为i的根节点只可能有1个，2个或者3个。

我们利用三个指针prev_x，x，next_x来遍历主链。

来如果当前度数为i的根结只有一个或者三个则指针指向下一个节点，如果只有两个则合并两棵二叉树并且将新的根节点加入主链。

由于含有n个节点的二叉堆的主链长度不超过logn+1，并且我们只遍历了两遍主链，因此合并操作的时间复杂度为

。

伪代码如下:

Bin_Union（H）

1H=Bin_Make（）

2H.head=Bin_Merge（H1,H2）

3freeobjectsH1andH2butnottheliststheypointto

4ifH.head==NIL

5returnH

6prev_x=NIL

7x=H.head

8next_x=x.rsibling

9whilenext_x!

=NIL

10if（x.degree!

=next_x.degree）or（next_x.rsibling!

=NILandnext_x.rsibling.degree==x.degree）

11prev_x=x,x=next

12elseifx.key<=next_x.key

13x.rsibling=next_x.rsibling

14Bin_Link（next_x,x）

15elseifprev_x==NIL

16H.head=next_x

17else

18prev_x.rsibling=next_x

19Bin_Link（x,next_x）

20x=next_x

21next_x=x.rsibling

22returnH

3.3.2插入

创建一个只包含要插入关键字的堆，再将此堆与原先的二项堆进行合并，即可得到插入后的堆。

由于需要合并操作的时间复杂度为

，因此插入操作的时间复杂度为

。

伪代码如下：

Bin_Insert（H，x）

1subH=Bin_Make（）

2x.par=x.lchild=x.rsibling=x.degree=subH.head=NIL

3H=Bin_Union（H,subH）

3.3.3查找最小关键字

由于满足最小堆性质，只需对二项堆的主链进行一遍遍历即可，因为n个节点的二项堆的主链长度不超过logn+1，所以查找最小关键字操作的时间复杂度为

。

伪代码如下：

Bin_Top（H）

1y=NIL

2x=H.head

3min=infinite

4whilex!

=NIL

5ifx.key

6min=x.key

7y=x

8x=x.rsibling

9returny

3.3.4删除最小关键字

首先先找到最小关键字所在结点，将该节点的子树看作一个独立的二项堆，再将此堆合并到原先的堆中，然后删除最小关键节点即可。

由于每棵树最多有logn+1棵子树，创建新堆的时间为

。

同时合并堆的时间也为

，故整个操作的时间复杂度为

。

伪代码如下：

Bin_Pop（H）

1findthenodewithsmallestkeyvalueonmainchainandremoveitfrommainchain.

2subH=Bin_Make（）

3reversetheorderofthelinkedlistofx’schildren,setthepfieldofeachchildtoNILandsethead[H]tothetheheadoftheresultinglist.

4H=Bin_Union（H,subH）

5returnx

3.3.5减小关键字的值

由于在减小关键字的值后，可能不再满足最小堆性质。

此时，将其所在结点与父结点交换关键字同时将指针指向父节点。

重复上述操作直到该节点为根节点或者该节点的关键值小于其父节点的关键字及最小堆性质得到满足。

操作的时间复杂度为

。

伪代码如下：

Bin_Decrease（H，x,k）

1x.key=k,y=x,z=x.par

2whilez!

=NILandy.key

3swampx.keyandy.key

4y=z,z=x.par

3.3.6删除

将需要删除的结点的关键字的值减小到负无穷大（比二项堆中的其他所有关键字的值都小即可），再删除最小关键字的结点即可。

伪代码如下：

Bin_Delete（H,x）

1Bin_Decrease（H,x,-infinite）

2Bin_Pop（H）

第4章斐波那契堆

4.1斐波纳契堆定义

斐波那契堆是计算计科学中中最小堆有序树的集合，它和二项堆有类似的性质。

斐波那契堆不涉及删除元素的操作有O

（1）的平摊时间，因此如果程序中Decrease和Delete操作较少则能够获得极高效率。

斐波那契堆中每个节点x包含指向父节点的指针x.par，指向任意一个子结点的x.child，表示x的节点个数x.degree，指向它的左兄弟的y.left和右兄弟的y.right。

同时x的所有子节点都用双向循环链表链接起来。

4.2斐波纳契堆的特点

与二项堆相似,斐波那契堆也是一种可合并堆，是由一组堆有序树Decrease和构成的集合。

如果不对斐波纳契堆进行Decrease和Delete操作那么集合中的树都是二叉树。

可是如果存在Decrease和Delete操作时必然会破坏二项图的结构。

在这种情况下会出现树高为k，结点个数少于2k的情况。

与二项堆不同的是主链上的堆有序树不必按照度数大小从小到大排列。

上图是斐波那契堆的示意图。

斐波那契堆中每个节点的属性包括：

父节点x.par，指向任一子女的指针x.child，左兄弟x.left，右兄弟x.right，子女的个数x.degree，布尔值域x.mark。

其中任意节点的所有子女被组织成循环双向链表，x.mark表示节点x成为另一个节点的子节点以来是否失去了一个孩子。

对于一个特定的斐波那契堆，我们构造一个数据结构H，其中H.size表示堆的大小，H.min指向堆中最小节点。

在斐波那契堆中，所有树的根节点都链接成一个环形的双链表，称为堆的根表。

4.3斐波纳契堆操作

斐波那契堆支持所有的堆操作，对于不涉及Delete的操作有O

（1）的均摊运行时间，其关键思想是将主链上的根节点的合并操作尽可能退后，来达到提高时间效率的目的。

4.3.1创建一个新的斐波那契堆

过程Fib_Make（）分配并初始化一个斐波那契堆对象H。

4.3.2插入一个结点

    首先分配并且初始化一个节点x然后加入H的根表中。

伪代码如下：

Fib_Insert（H,x）

1 x.degree=0,x.par=NIL,x.child=NIL,x.left=x,x.right=x,x.mark←=FALSE

2 mergetherootlistwhichcontainsxtorootlistH

3 ifH.min==NILorx.key

4 H.min=x

5 H.n=H.n+1

    下图将关键字为21的结点插入斐波那契堆的示意图。

4.3.3合并两个斐波那契堆

由于双向链表的数据结构同时根表上的节点度数无序的性质，因此只需把两个根表连接同时比较最小关键节点取其中较小的即可。

伪代码如下：

Fib_Union（H1,H2）

1 H=Fib_Make（）

2 H.min=H1.min

3 mergetherootlistofH2withtherootlistofH

4 if（H1.min==NIL）or（H2.min!

=NILandH2.min

5   H.min=H2.min

6 H.n=H1.n+H2.n

7 freeH1andH2returnH

4.3.4抽取最小结点

    抽取最小节点是比较复杂的操作。

首先将最小节点的所有子节点与根表合并，然后删除最小节点。

最后调用辅助过程CONSOLIDATE对根表上度数相同的根节点进行合并。

伪代码如下：

Fib_Pop（H）

1 z=H.min

2 ifz!

=NIL

3    foreachchildxofz

4             addxtotherootlistofH

5                x.par=NIL

6  removezfromtherootlistofH

7  ifz=z.right

8            H.min=NIL

9    elseH.min=z.right

10  Consolidate（H）

11   H.n=H.n–1

12 returnz

    Fib_Pop中，3~5行把z的子节点合并到根表上去，第6行将z节点从根表中去掉。

7-9行处理边界情况，同时确定H.min的值，如果删除z后根表为空则H.min为NIL，否则H.min=z.right。

注意这里H.mi并不是真正的最小结点还需要调用