线性代数习题册.docx
- 文档编号:11367940
- 上传时间:2023-02-28
- 格式:DOCX
- 页数:45
- 大小:33.31KB
线性代数习题册.docx
《线性代数习题册.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数习题册.docx(45页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
线性代数习题册
线性代数习题册答案
第一章
队列式
一
班
学号
姓名
1.按自然数从小到大准序次,求以下各摆列的逆序数:
(1)τ(3421)=
5
;
(2)τ(135642)=
6
;
(3)τ(13⋯(2n-1)(2n)
⋯42)=2+4+6+⋯+(2n-2
)=n(n-1).
2.由数字1到9成的摆列1274i56j9偶摆列,
i=8、j=3.
3.在四队列式中,
a12a23a34a41的符号
.
0
0
3
4.0
4
2=
-24.
2
1
5
5.算以下队列式:
1
2
2
(1)2
1
2=-1+(-8)+(-8)-(-4)-(-4)―(-4)=-5
2
2
1
或
1
1
(2)1
1
1
1
=-3+1+1-(-)-(-)―(-)
=-
3+3+2=
(2)
(1)2
二
班
学号
姓名
1.已知3队列式det(aij
)=1,队列式det(
aij)=-1.
(1)311
1
1
1
2.2
3
4=2.
4
9
16
1
0
1
2
1
1
0
3
3.已知D=
1
1
则A41A42A43A44=—1.
1
0
1
2
5
4
用1,1,1,1替代第4行
4.计算以下队列式:
1
a
b
c
(1)
a
1b
c
a
b
1
c
1
0
1
1
0
0
1
=r1
r3,r2
r301
1
c3
c10
1
1
1
1abc
a
b
1c
a
b
b
1c
1c
xyxy
(2)yxyx
xyxy
2
1
5
1
1
3
0
6
(3)
2
1
2
0
1
4
7
6
1
2
1
4
0
1
2
1
(4)
0
1
3
1
0
1
3
1
5.计算以下n阶队列式:
x
a
L
a
(1)Dn
a
x
L
a
MM
M
(每行都加到第一行,并提公因式。
)
M
a
a
L
x
2
1
L
1
1
3
L
1
(2)
M
M
MM
1
1
L
n1
a1b
a2
a3
L
an
a1
a2b
a3
L
an
(3)
M
M
M
M
M
a1
a2
a3
L
anb
练习三
班级学号姓名
x1x2x31
1.设线性方程组x1x2x31有唯一解,则知足的条件是什么?
x1x2x31
1,0,1
x1
x2
x3
x45
x1
2x2
x3
4x4
2
2.求解线性方程组
2x1
3x2
x3
5x4
2
3x1
x2
2x3
11x4
0
x1x2x30
3.已知齐次线性方程组x1x2x30有非零解,求的值。
x1x2x30
1,0,1
4.求三次多项式f(x)
a3x3
a2x2
a1x
a0,使得:
f
(2)3,f
(1)
4,f
(1)6,f
(2)
19。
自测题
1.n阶队列式D=det(a),则睁开式中项
a
aa
La
a
的符号为
n1
34
(1).
ij
12
23
n1,nn1
2.已知3阶队列式det(aij)=
1
,则队列式det(2aij)=
(2)3
1
4.
2
2
1
1
1
1
1
2
2
x
0的根为
1,2,-2.
3.方程
4
4
x2
1
1
8
8
x3
x
y
z
0
4.已知齐次线性方程组
x
3y
z
0仅有零解,则
的值应为0,1.
y
z
0
1
1
3
12(
1)
0,
0
1
2x
x
1
2
5.设D
1
x
1
1
,则D的睁开式中x3的系数为-1.
3
2
x
1
1
1
1
x
6.计算以下队列式:
1322
3409
(1)
2262
3383
122L2
222L2
(2)Dn223L2
MMMMM
222Ln
第二章
矩阵及其运算
练习一
班级
学号
姓名
1
1
1
1
2
3
1.设A1
1
1,B
1
2
4
求3AB
2A及ATB。
1
1
1
0
5
1
2.设A、B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充足必需条件是AB=BA。
由题意,得:
ATA,BTB.
3.矩阵A和B知足什么条件时,(AB)2A22ABB2恒建立?
恒建立的条件是:
AB=BA.
1
4.设A123,B1,求AB,BA及(BA)100。
0
123
100
(BA)BA123
000
5.设A10,求A2,A3,L,Ak。
21
练习二
班级学号姓名
1.求以下矩阵的逆矩阵:
12
(1)
25
123
(2)012
001
2.设方阵A知足A2A2E0,证明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1。
100
3.已知A020,ABA2BA8E,求B。
001
4.设n阶矩阵A的陪伴矩阵为
A,证明:
(1)若A0,则A
0;
n1
(2)AA。
5.设P1AP
1
4
1
0
此中P
0
求A11。
1
1
2
练习
三
班级
学号
姓名
3
4
0
0
1.设A
4
3
0
0
,求A8及A4。
0
0
2
0
0
0
2
2
2.求以下逆矩阵:
1
1200
(1)0300
0020
0034
1
OA
(2),此中n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆。
BO
自测题
一.填空题:
1
2
0
1
那么P2007AP2008
3
4
1.若A
4
P
0
=
.
3
1
1
2
2.
A
、
B
为三阶矩阵,
A1,B
则
T-12
=8.
2,(2AB)
()=
2
a
0
a2
3a5
0
3.已知
则f(A)=
.
fxx
3x5,A
b
b2
0
0
3b5
4.若A、B、C均为
5.是三维列向量,
n阶矩阵,且AB
1
1
1
T
1
1
1
1
1
1
BCCAE,则A2B2C2=3E.
T
,则=3.
T
a2
b2
c2
3
1
5
2
二.用初等变换法求
A2
11
3的逆矩阵.
1
5
1
457
1
A111
101
1
0
0
三.设矩阵A1
1
0
,求An.
0
1
1
四.证明:
n阶矩阵A对称的充足必需条件是AAT对称。
五.A、B为三阶可逆矩阵,2A1B
1
2
0
B4E,若B1
2
0
,求A.
1
0
2
第三章
矩阵的初等变换与线性方程组
练习
一
班级
学号
姓名
1.判断题(正确打√,错误打×)
:
1)某矩阵的行(列)阶梯形矩阵是独一的
(
×)
2)某矩阵的行(列)最简形矩阵不是独一的
(
×)
3)某矩阵的标准形矩阵不是独一的
(
×)
4)矩阵的初等变换都有逆变换,且逆变换与原变换同属一类
(
√)
5)任何一个矩阵总能经过初等变换化为标准形
(
√)
x12x2x3x41
2.已知线性方程组2x22x36x42,写出其增广矩阵,并将增广矩阵经过初等行变
2x13x22x49
换化为阶梯形、行最简形。
210
3.已知A,将A化成标准形。
并写出P、Q,使A的标准形等于PAQ。
132
0
2
1
4.已知A2
1
3
,利用矩阵的初等变换,求A1。
3
3
4
5
11
7
A1
1
3
2
3
6
4
1
1
0
5.已知A0
1
1,AX
2XA,求X。
1
0
1
练习二
班级学号姓名
1.选择题:
1)Amn的行阶梯形中只有前r(r<m且r<n)行为非零行,则R(A)为(C)
(A)0;
(B)m;
(C)r;
(D)n.
2)非零矩阵
Amn(m<n)中的全部的
2阶子式全为
0,则
A的标准形为
(
D
)
(A)
Em
0
;(B)
0
0
;(C)
00
10
0Em
;(D)
00mn
mn
00mn
00mn
3)方阵An的秩R(A)=n,则An必然不知足
(D
)
(A)An可逆;
(B)An与E等价;(C)R(A)
n;(D)存在B
O,使AB
O
4)An为奇怪矩阵,以下的错误的选项是
(C)
(A)
()
(
T)
;(B)R(A)
n;(C)A
0;(D)An不与单位阵E等价
RA
RA
3
1
0
2
2.已知矩阵A
1
1
2
1
,求R(A)。
1
3
4
4
R(A)=2
1
2
3k
3.设A1
2k
3,问k为什么值时,可分别使
(1)R(A)=1;
(2)R(A)=2(;3)R(A)=3?
k
2
3
4.已知n阶方阵A,使A2E为不行逆矩阵,求证:
A不为零矩阵。
练习
三
班级
学号
姓名
1.选择题:
1)当(
D
)时,齐次线性方程组
Amnx
0必定有非零解。
(A)m≠n;
(B)m=n;
(C)m>n;
(D)m<n.
2)设
A为
n(≥2)阶方阵,且
R(A)=n-1,
1,
2是
Ax
0的两个不一样的解向量,
k为
随意常数,则
Ax
O的通解为(
C
)
(A)k1;(B)k2;(C)k(12);(D)k(12).
2.填空题:
1)设4阶方阵A(1234),且1234,则方程组Ax的一个解
向量为(1
1
1
1)。
2
)设方程组A(n1)
nx
b有解,则其增广矩阵的队列式Ab=
0
。
x1
x2
a1
x2
x3
a2
4
3
有解,则常数a1,a2,a3,a4应知足条件
ai
0。
)若
x4
a3
x3
i
1
x4
x1
a4
1
2
1
x1
1
4)已知方程组2
3
a2
x2
3
无解,则a=-1
。
1
a
2
x3
0
1
2
1
1
1
2
1
1
2
3
a
23:
0
1
a
1
1
a
20
0
0
(a3)(a
1)a3
x1
x2
x5
0
3.求齐次线性方程组x1
x2
x3
0的解。
x3
x4
x5
0
12310
4.解矩阵方程:
X
23101
x1x2x31
5.取何值时,非齐次线性方程组x1x2x3
(1)有独一解;
(2)无解;(3)有
2
x1x2x3
无量多解?
并在有解时,求解。
解:
1
1
1
A1
1
r1r3
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
r2
r1
0
1
1
2
r3
r1
2
3
0
1
1
1
1
1
2
r3
r2
0
1
1
2
0
0
2
2
1
3
2
1
1
2
0
1
1
(1
)
0
0
(2
)
(1)
(1)(1
)2
1
1
2
(1)当
2,
1时,有独一解;
A
0
1
1
0
0
(1
)2
1
2
1
1
0
(1
)2
2
1
0
0
(1
)3
2
x1
1
2
2
2
0
1
0
(1
)2
0
1
0
(1
)2
x2
1
2
2
2
0
0
1
(1
)2
0
0
1
(1
)2
x3
(1)2
2
2
2
(2)当
2时,无解;
1
1
1
1
(3)当
1时,有无量多解。
A
0
0
0
0
,
0
0
0
0
x1
1
1
1
x2
c1
1
c2
0
0
,(此中c1,c2是随意实数)
x3
0
1
0
自测题
1.选择题:
1)设A为n(≥2)阶奇怪方阵,A中有一元素aij
的代数余子式
Aij0,则方程组AxO
的基础解系所含向量个数为(
B
)
(A)i;
(B)1;
(C)j;
(D)n.
x1
x2
2x3
0
2)方程
x1
x2
x3
0的系数矩A,若存在三方
BO,
x1
x2
x3
0
使得AB
O,(A
)
(A)
1,B
0;(B)
1,B
0;(C)
1,B
0;(D)
1,B0.
3)
A
与
B
是n方,次性方程
AxOBxO
有同样的基解系
1,
2,3,
,
以下方程以
1,
2,3基解系的是(D
)
(A)(A
B)x
O;(B)ABx
O;(C)BAx
O;(D)
A
O.
x
B
2.判断:
1)初等矩与初等是一一的
(√
)
2)任一秩r的矩A必与
Er
O
(
√
)
O
等价
O
3)Ax
O与ATAx
O同解方程
(
√
)
4)方程Ax
b有无多个解的充足必需条件是
Ax
b有两个不一样的解(
√)
3.n方A
的列向量
i(i=1,2,3,⋯,n),n方B的列向量
1
2,
2
3,L,
n1
n,n
1,:
当R(A)
n,Bx
O能否有非零解?
明你的。
4.若次性方程AmnxO的解均次性方程BlnxO的解,
明R(A)R(B)。
x1
x2
0
x1
x2
x3
0
5.求方程
与
的非零公共解。
x2
x4
0
x2
x3
x4
0
解:
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
r3r1
0
1
0
1
A
1
1
0
0
2
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 习题