数值计算方法练习题.docx
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数值计算方法练习题.docx
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数值计算方法练习题
数值计算方法练习题
习题一
1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限、相对误差限。
(1)—1;
(3)[J:
八
(4)——「;
(5)[-■:
,;
(6);-「'■';
2.
''丨|「,问各近似值分别应取几位有
为使下列各数的近似值的相对误差限不超过效数字?
101
3.设均为第1题所给数据,估计下列各近似数的误差限。
£
(1)〔〔叮;
(2);;;;(3):
4•计算,取■■■.I,利用下列等价表达式计算,哪一个的结果最好?
为什么?
(1):
;
(2)][二’;(3)I;二
(4):
5.序列阳满足递推关系式
儿T叽iT("L2…)
若「一’“代匚(三位有效数字),计算'「时误差有多大?
这个计算过程稳定吗?
6.求方程-■-;+'II的两个根,使其至少具有四位有效数字(要求利用
7.利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确。
1-cosx
«1
;
11-x
|x|«1;
(1)
sinx
(2)
1+2x1+x
(3)
Fl-
X»1
;
(4)
严d/K“a
X|
8.设
具仏求证:
(1)
a
«匕⑺二0」2…)
(2)利用
(1)中的公式正向递推计算时误差增大;反向递推时误差函数减小。
9.设x>O,x*的相对误差为S,求f(x)=lnx的误差限。
10.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。
z;=l1021fx>0.03U>560?
40
11.下列公式如何才比较准确?
(1)
⑵T
12.近似数x*=0.0310,是
位有数数字。
13.计算r_-『取、,禾I」用
式计算误差最小。
四个选项:
1
(-72+1)6
习题二
1.已知-■■-.,求.IJ的二次值多项式。
2.令■'-'-■■i--求:
‘一’的一次插值多项式,并估计插值误差。
3.给出函数「-丄“的数表,分别用线性插值与二次插值求门I■/的近似值,并
估计截断误差。
0.4
0.5
0.6
0.7
sitlA
0.38942
0.47943
0.56464
0.64422
110.71736
5.已知血=*』+齢i,求皿及九2°.2U]的值。
6•根据如下函数值表求四次牛顿插值多项式,并用其计算」“「和;〔Ijic的近似值。
X
1.615
1.634
1.702
1.828|
L.921—
F(x)
2.41450
2.46459
2.65271
3.03035|
L.34066—
7.已知函数y=/W的如下函数值表,解答下列问题
(1)试列出相应的差分表;
(2)分别写出牛顿向前插值公式和牛顿向后插值公式。
X
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
f(x)
1.00
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
p=lf\^dx
8.下表为概率积分龙」。
的数据表,试问:
(1)|L■「一时,积分*-
(2):
为何值时,积分;…?
X
0.46
0.47
0.48
0.49
P
0.484655
0.4937452
0.5027498
0.5116683
9.利用「匸匸nl在,-'.=1I.IiI4J各点的数据(取五位有效数字),求方程."J〔在0.3和0.4之间的根的近似值。
10.依据表10中数据,求三次埃尔米特插值多项式。
表10
x
0
1
y
0
1
yC
-3
9
11.依据数表11中数据,利用基函数方法,构造四次埃尔米特插值多项式。
表11
X
0
1
Y
0
-2
3
yC
0
1
12.在-:
'-■上给出的等距节点函数表,用分段线性插值求r的近似值,要使截断误差不超过二’,问函数表的步长h应怎样选取?
13.将区间[盒切分成n等分,求在上的分段三次埃尔米特插值多项式,
并估计截断误差。
14、给定■:
'i.•.的数值表
盘
0.4
0.5
0.6
0.7
Lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.35(675
用线性插值与二次插值计算In0.54的近似值并估计误差限
15、在-4 的近似值,要使误差不超过「’,函数表的步长h应取多少? 16、若/(©=*+*+弘+1,求⑵妙…0]和/[霞就…公] 17、若y図⑵=(旷暗)(「可)…(kfj码(“°丄…卫)互异,求 “「二,二—的值,这里pwn+1. 工旳=3厂 18、求证■■- 19、已知’「一的函数表 爲 0 0.20 0.30 0.50 工Xj) 0 0.20134 0.30452 0.52110 求出三次Newton均差插值多项式,计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差 20、给定f(x)=cosx的函数表 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 O.d 100000 0.99500 0.981007 0,95534 0.3210fi 0.87758 0.82534 用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差. 21.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足: 11_-■11-1t3_}1-1■-7--1 Sjt(A)=—^―卫>0,SM 22.令…称为第二类Chebyshev多项式,试求的表达式,并证 明匸是[-1,1]上带权--的正交多项式序列. Xi 19 25 31 38 44 19.0 32,3 49』 73.3 57.8 24、填空题 ⑴满足条件■■1■'1■: '■-的插值多项式p(x)=(). (2)心厂…;6则f: 1,2,3,4]=(),f: 1,2,3,4,5]=(). 丈讥(0) (3)设为互异节点,「: 为对应的四次插值基函数,则匸=(), 4工(兀: +2北(x)■-1=(). (4) p(x)=x的最高项系数为 d() i的正交多项式 设〔」是区间[0,1]上权函数为 f(x)dx 序列,其中■1,则=(), 习题三 1.给出数据如下表所示,试用最小二乘法求一次和二次拟合多项式。 X -1.00 -0.75 -0.50 -0.25 y -0.2209 0.3295 0.8826 1.4392 0 0.25 0.50 0.75 1.00 2.0003 2.5645 3.1334 3.7061 4.2836 2.用最小二乘法求下列不相容方程组的近似解。 3.用最小二乘法求一个形如"-■■■的经验公式,使它与下表中的数据相拟合,并计 算均方误差。 X1 19 卜 31| 卜1 IL4I Y| 19.0| 〔32.3 49.0| 73.3 97.8| 4.在某次实验中,需要观察水份的渗透速度,测得时间t与水的重量W的数据见下表。 设已知t与W之间的关系为匸-用',试用最小二乘法确定参数a、s。 t(秒) 1 2 4 8 p~1 32 64 W(克) 4.22 4.02 3.85 4.59 13.44 3.02 2.59 5.试构造点集: ■''11■•TI.=丨上的离散正交多项式系 i.--';.--I-■■■..-.I■■■'o并利用所求的离散正交多项式系,对第二题中的数据求二次拟合多项 式。 6.现测量长度'1和心八鳥米、I一」米,为了提高测量的可靠性,又测量到 并指明所构造出的求积公式具 -您)] 习题四 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,有的代数精度。 ([)J: 血必心丿(#)+4/(0)+A㈣; (2)I: 金站扎JZ)+妬他+A㈣; : /("如扣(T)+2伦)+3怒)] (3)M3; 字y⑷+爪)]+盹乜円广仞 (4)几2 2.用辛甫生公式求积分 ■1 p=Jf(4r [: 的值,并估计误差 3.分别用复化梯形法和复化辛甫生法计算下列积分: ■rrfir (3)Rm点,8等分积分区间;(4)]严6等分积分区间。 4.用复化梯形公式求积分,问将积分区间[a,b]分成多少等分,才能保证误 差不超过e(不计舍入误差)? 5.导出下列三种矩形公式的项 (“Jbd)改宙0-住)『依) (2)血洱 (1)」圧; (2)」任; (3)兀I2丿 11。 提示: 利用泰勒公式。 6.用龙贝格公式计算下列积分,要求相邻两次龙贝格值的差不超过 (1) 7.根据等式 .K 用sin—=圧一 .K /jsin- 以及: -当n=3,6,12时的三个值,利用外推算法求'的近似值。 -dz 8.分别用下列方法计算积分hx,并比较结果精度(积分准确值 (1)复化梯形法,n=16; (2) (3)龙贝格算法,求至R2; (4) (5)五点咼斯一勒让德公式。 三点高斯一勒让德公式; 复化辛甫生法,n=8; 9•试确定下面求积分式的待定参数,使其代数精度尽可能高。 ■1 /w= 1 丄厂在x=1.0,1.1,1.2处的一 u 10.已知f(x)的值见表6-13。 用三点公式求函数阶导数值,并估计误差。 f(x)= 11.用二阶三点公式求函数'-;'在x=1.2处的二阶导数值(利用数表6-13)。 X 1.0 1.1 1.2 f(X) 0.25000 0.22676 0.20661 12.用中点公式的外推算法求「匸-匸在x=2处的一阶导数值,取h=0.8开始,加速 二次。 13、分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分 14、用Simpson公式求积分 ,并估计误差 15、确定下列求积公式中的待定参数,数精确度• 使其代数精确度尽量高, 并指明求积公式所具有的代 问区间", 应分为多少等分 ⑶\\'二—匸°丨「.「 16、计算积分: '",若用复合Simpson公式要使误差不超过要分为多少等分? 若改用复合梯形公式达到同样精确度,区间 17、用Romberg求积算法求积分一,取 18、用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分 I=j;「严 19、用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分'''■' 习题五 1.用列主元素法解下列方程组 <2可-5x2+2a3=-1 ⑴xL+2巧+6x^=9 对 (1) (2)两题观察每步消元结果的系数矩阵有何特点,右下方矩阵是否对称,列主元在何处,消元过程是否符合上题结论。 2.用追赶法解下列方程组 -1 (1) (2) -1 2 -1 2 -1 2 3.求第1题及第2题中系数矩阵A的LU分解,并用此分解法解对应的线性方程组。 -400 z=(l,(H-WT^=0 4.给定L0 4-4 02,求枕及||观9・12对。 5、用Gauss消去法求解下列方程组 9 8 卩2兀一3也+3x3=15 4-18巧+3x2十3x3=-15 6用列主元消去法求解方程组〔兀1+乜+堀=6并求出系数矩阵A的行 列式detA的值. 7、用Doolittle分解法求习题5 (1)方程组的解. 8、下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解,分解式是否唯 1 2 3 1 1 ■ 1 卩 2 ■ 6 A= 2 4 1 tB= 2 2 1 A 2 5 15 4 6 7 3 3 1 15 46 ■ 9、用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中 ■' 2 -1 -1 2 A= 0 -1 0 0 0 ■' 0 「16 4 10、用平方根法解方程组 3 ■ 0 0 ■ 0 P■ 1 -1 0 0 0 2 -1 0 = 0 -1 2 -1 0 0 -1 2 ■ 0 4 二4 5 -4 = 3 -4 22 10 ■ ■ A= 12、设 060.5' °-1计算A的行范数,列范数及F-范数和2范数. 13、 设M为「上任一种范数,皿是非奇异的,定义 14、求下面两个方程组的解,并利用矩阵的条件数估计M ^240 -179 切0 -179.5 壽][: ;H;]即g 爲mi即■■1■「'■ 15、是非题( 若"是"在末尾()填+,"不是"填-): 题目中 X=(JCp—XB)rE疋僅二(嗚)ER和 则II■■-■■■-': 是「上的一种向量范数 1-rri^是一种范数矩阵 (1)若A对称正定,-丁 (2) 定义 (3) 定义 F2s1^3 』是一种范数矩阵 (4) 上三角阵 只要 ,则a总可分解为a=LU其中 L为单位下三角阵, U为非奇 (5) 只要 血白工°,贝U总可用列主元消去法求得方程组Ax=h的解 (7) 对任何U-都有.■: ■: 'll() (8) 若A为正交矩阵,贝U…•厂』」() 若A对称正定,则A可分解为」,其中L为对角元素为正的下三角阵 习题六 1.对下列方程组考察用雅可比迭代法与高斯一塞德尔迭代法是否收敛? 若收敛,写出其 迭代格式;若下收敛,能否将方程变形,使之用雅可比迭代法或高斯一塞德尔迭代法时收敛? X】+0.4x3+0.4x3=1 *0.4码+可+0.8x3=2 (3) (4)』.4码+0&2+码三3• 5次求线性方程组的解(取初值 2•试分析用雅可比迭代法和塞德尔迭代法连续迭代 ) =-4 -Xj+10x2--x4=12 -Xj-+10x4=34 3.用雅可比迭代法解下列方程组。 20^+2^2十3x3=24 [可+8xa+心=12 (1) 2首-3j2+15x3=30 L 気-+2x3=5 取牌=(o帅F,并判别此迭代是否收敛? 4.用塞德尔迭代法解方程组。 20^十2z2十3x3=24 4孔+女2+也=12 2筍-3xa+15x3=30 L 取/(°>=(0帅)『,并判别此迭代是否收敛? TA—A2丄才... 5.证明对于任意的矩阵A,序列‘I-'■: 收敛于零矩阵. 6.方程组 比+2x2+x3=-12-z1++2巧=20 2^1-3x3+10^3=3 (1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性. ⑵写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到—%估为止. 7.设方程组 I切內+旳2可・切 证明: 解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散 8.下列两个方程组Ax=b,若分别用J法及GS法求解,是否收敛? '12-2 A=111 221 [10 A=b10b 9.设1°”打,detA工0,用住,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收 敛的充分必要条件. 10.用SOF方法解方程组(分别取3=1.03,3=1,3=1.1) 4才]-Xj=1 i+Ax2-=4 -帀+4花=-3 L== 精确解八「I',要求当/7;1L时迭代终止,并对每一个3值 确定迭代次数• 11.对上题求出SOF迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度,并求J法与GS法的渐近收敛速度•若要使卩r纠L'那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次? 12.填空题 A= (1)L 101 12 ■■ 已知方程组 0.321 n■ ■1■ ,则解此方程组的Jacobi迭代法是否收 0 可要使黑才应满足() ⑵ 敛().它的渐近收敛速度R(B)=() A= 设方程组Ax=b,其中 '2 1 -1 1•习其J法的迭代矩阵是().GS法的迭 代矩阵是(). +吒■4 (4)用GS法解方程组_J,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足(). '1門卜]■卜] (5)给定方程组卜①lA]a为实数.当a满足(),且0V3V2 时SOR迭代法收敛. 习题七 1.判断下列方程有几个实根,并求出其隔根区间。 X1. sm兀一一+—=QAv (1): -; (2) (3)「二J-J;(4)I]丄丨1 2.方程■■1-: ■'11■"在区间(3,4)中有一实根,若用二分法求此根,使 其误差不超过丨丨',问应将区间对分几次? 并请用二分法求此根。 3.下列方程各有一实根,判别能否直接将其写成迭代格式而后求解? 如不能,将方程变 形,给出一个收敛的迭代格式。 (2)..+T x=-(cosj+suix) (1)•: ; 4.求方程I=■■的隔根区间,对方程的下列四种等价变形,判断各迭代格式的 收敛性,选一种收敛最快的迭代格式,求出具有四位有效数字的近似根。 ⑵■■ 6.用牛顿法求出的方程I根的迭代结果见表2-6,试估计所求根的重数。 表2-6 k Xk XLXl1 0 0.75 1 0.752701 0.00270 2 0.754795 0.00208 3 0.756368 0.00157 4 0.757552 0.00118 5 0.7584441 0.000889 7.用二分法求方程'■-I-'的正根,使误差小于0.05. 8.求方程厂-「-〔在'=1.5附近的一个根,将方程改写成下列等价形式,并建立相应迭代公式. X-1+-V伽十吉 ⑴■■,迭代公式. i ⑵宀1+戸,迭代公式血+ 11 —Xk+1_i亍’ ⑶"1,迭代公式 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根. 9.设方程亠m上": -『的迭代法 2夠=4+ (1)证明对■■-'',均有「其中」为方程的根. (2)取=4,求此迭代法的近似根,使误差不超过.: 并列出各次迭代值. (3)此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论. 10.给定函数AX),设对一切x,n存在,而且0 的任意常数」,迭代法■■-f-均收敛于方程-|的根. 11.用Steffensen方法计算第12题中⑵、⑶的近似根,精确到一」 12用Newton法求下列方程的根,计算准确到4位有效数字. ⑴"---•: 在’=2附近的根. ⑵1;: '■";;-''在’=1附近的根. 13.应用Newton法于方程―—,求立方根•■的迭代公式,并讨论其收敛性. _4 1 A的特征值的界。 习题八 32 人=23 10 1•已知矩阵— 试用格希哥林圆盘确定 2.设xFx^x? ...,X3)T是矩阵A属于特征值X的特征向量,若1,珀=Xi, n 丸—aii兰送aij j=i 试证明特征值的估计式 j式 232] A=1034 3.用幕法求矩阵361- 的强特征值和特征向量,迭代初值取y("二(1,1,1^。 6 A=2 4•用反幕法求矩阵J (0)T y=(1,1,1)。 2们 31 11一最接近6的特征值和特征向量,迭代初值取 5•设A^Rn>n非奇异,A的正交分解为A=QR,作逆序相乘Ai=RQ,试证明 (1)若A对称则Ai也对称; (2) 6•设矩阵 A」一1 若A是上Hessenberg阵,贝UAi也是上Hessenberg阵。 (1)任取一非零向量作初始向量用幕法作迭代,求A的强特征值和特征向量; (2)用QR算法作一次迭代,求A的特征值; (3)用代数方法求出A的特征值和特征向量,将结果与 (1)和 (2)的结果比较。 201〕 A=02-1 7•设矩阵」一11J (1)用Householder变换化A为对称三对角阵A1。 (2)用平面旋转阵对A1进行一步QR迭代计算出A2。 8.用带位移的QR方法计算下列矩阵的全部特征值。 421310 (1)A=010, (2)A=121 023卫11一 9.设ARnn,且已知其强特征值‘1和对应的特征向量x (1), (1)证明: 若构造Householder阵H使Hx⑴二ke1(常数k=0心=(1,0,...,0)丁■R), 1x HAH=|1 则必有「°A_ (n-J)(n4)1(nd) 其中A^R,x•R,且a的其余n-1个特征值就是A1的特征值。 以 \17 M1T 一2为例,已知’i=4,x (1)=(2,1)t,用以上方法构造H阵,并求出A 的第二个特征值’2。 10.对以下的实对称阵用QR方法求其全部特征值。 ■ 3 1 0〕 [ 4-1 1〕 (1)A= 1 4 2 (2)A= -1 3
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