三角网数字地面模型及程序实现.docx
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三角网数字地面模型及程序实现
三角网数字地面模型及程序实现
袁功青
(华南理工大学土木与交通学院,广东广州510640)
第一章三角网数字地面模型基本原理及特点
1.1数字地面模型的含义
数字地形模型(DigitalTerrainModel,简称DTM或“数模”)是一个表示地形特征的、空间分布的、有规则的数字阵列,也就是地表单元平面位置及其地形属性的数字化信息的有序集合。
它是地表2维地理空间位置和其相关的地表属性信息的数字化表现,可表示为:
Ai=F(xi,yi) i=1,…,N(式1-1)
式中Ai是任一平面位置(xi,yi)的地表特有信息值,一般有:
1)基本地貌信息如高程、坡度、坡向等地貌因子;2)自然地理环境信息如土壤、植被、气候、地质分布等;3)自然构筑物如河流、水系等和人工构筑物如公路、铁路、居民地等;4)社会人文经济信息如人口分布、工农业产值等。
根据不同的Ai值,其名称也稍有不同,如Ai为高程时,称为数字高程模型(DigitalHeight(Elevation)Model,DHM(DEM));当Ai为土壤分布时,称为数字土壤模型。
然而,不管怎样,都是对叠加在2维地理位置上的地表属性信息的数字描述,统称为数字地面模型,考虑到它的多样性,一般用DTMs表示。
F表达了平面位置(xi,yi)和Ai的空间相关关系,从这一意义上讲,DTMs是2.5维的而非3维。
本质上讲,DTMs是对地形表面在地形采样数据基础上的表面重构。
因此,对于一个通用的DTMs系统,一般要经过数据采集、DTM建立和应用模型建立3个步骤,图1.1详细表达了DTMs系统的任务与建立步骤。
图1.1DTMs系统的建立步骤与任务
地表的采样数据是一个无序的数据集合,为便于计算机的管理及应用,需对该数据建立结构化的表达式,即隐式或显式的表达数据之间的拓扑关系,可用散点的形式和网格结构的形式来表达,目前主要是以网格结构的形式来表达。
根据网格结构的不同,有规则网格(矩形、正三角形、正六边形网格等)和非规则网格(三角形、四边形网格等)。
在规则网格中,矩形网格平面位置隐含于行列号中,称为网格DTM或Grid,因网格结构简单而被普遍采用。
三角形是平面图形中最简单的几何图形,因而在不规则的网格中经常使用,一般称为不规则三角网DTM或TIN。
在应用中,数字地形模型一般又分为散点数模、规则格网数模(RegularGrid简称RG)、不规则三角网数模(TriangulationIrregularNetwork,简称TIN),它们具有各自的特点、内插方法不适用范围。
1.2数字地面模型的种类及特点
由于数模原始数据点的分布形式不同,数据采集的方式不同,以及数据处理、内插的方法不同和最后的输出格式不同等原因,数字地面模型的种类较多。
根据数模中已知数据点的分布形式并考虑到数据输出格式及数据处理方式,可将数字地面模型大致地分为规则数模、半规则数模和不规则数模三大类。
各类数模的主要特点如下:
1.2.1规则数模
规则数模是指原始地形点之间均有固定的联系,如方格网数模、矩形格网数模和正三角形格网数模等。
在格网之间待定点的高程,常采用局部多项式进行内插。
由于每个已知点相对于周围已知点的位置是固定的,所以若按规则格网方式采集数据建立数模,量测地形点简单、客观,不需判读地形,易于实现数据采集的自动化、半自动化。
由于格网是规则等距的,在计算机中只需储存各个格网节点的高程值,而平面坐标只需记录第一个格网节点即可,其余节点的平面坐标根据其格网管理信息很容易在计算机中确定和恢复,这可大为节省计算机内存。
这种只记录节点高程的数模,也称为数字高程模型(DigitalElevationModel或DigitalHeightModel,简称DEM或DHM)。
该类数模的另一优点是输出形式简单、数据结构良好、便于应用,内插待定点高程时,检索与内插简单快速。
这种数模的最大缺点是原始数据不能适应地形的变化,除十分均匀的地形外,已知点没有与地形特征点联系起来,易遗漏地形变化点。
由于数据采集按规则格网方式进行,一旦间距给定,所有已知点平面位置就是固定的,从而导致地形变化大的地方地面信息不足,而地形均匀、平缓的区域冗余数据点太多这种精度不一的现象,此外,由于规则格网节点不能兼顾地形变化线和地形特征点,格网中也就难于确定地面坡度的变化,从而导致高程内插精度降低。
若要使规则格网数模更好地表示地形,则只有将格网间距缩小,这将导致原始数据的采集工作成倍增加。
规则格网数模一般适用于地形较平缓和变化均匀的区域,以及用于搜索地形等高线、绘制地形全景透视和对内插速度要求极高的路线平面优化中内插地面线等方面。
1.2.2半规则数模
半规则数模是指各原始数据点之间均有一定联系,如用地形断面或等高线串表示的数模。
当以断面线高程表示地形时,任一串原始地形点均表示某一个特定的地形剖面。
各断面之间的距离及断面上点与点之间的距离可以是固定的,也可随地形变化而定。
这种数模相当于用一批密集的、相互关联的地形剖面叠合在一起模拟地形,待定点的高程由相邻断面的已知点高程内插得到。
如一种称为鱼骨式数模的数字地面模型就属于此类,这是在路线设计方案确定以后,沿路线纵、横断面采集地面点数据,用一批相互关联的横断面地形剖面叠合在一起而形成的数字地面模型。
沿等高线采集的一系列同一高程的X、Y坐标的地形高程信息(二维串线),以及沿地形特征线、断裂线、地物、水系等各种信息采集的一系列X、Y、Z三维坐标信息(三维串线)所组成的数模,称串状数模。
由于等高线具有在地形坡度大的地方密,在地形平缓处稀的特征,故地形点的分布与密度能很好地适应地形的变化。
此外,由于各种断裂线、地物和水系信息可用三维串线在数模中表示,方便地进行处理,使程序功能大为加强,这是串状数模最为突出的优点。
英国的MOSS系统所采用的就是串状数字地面模型。
半规则数模能较好地适应地形变化,内插精度较高,但数据采集不能实现自动化,原始数据的分布与密度易受操作人的主观影响,建立数模过程中的程序处理较规则数模复杂。
1.2.3不规则数模
不规则数模其原始地形数据点之间无任何联系,点的分布是随机的,一般常采集地形特征点、变坡点、反坡点、山脊线、山谷线等处,常见的有散点数模、三角网数模等。
散点数模是将原始地形点看作一些随机分布的“离散点”,可认为点与点之间无任何联系。
在这种已知点中直接进行内插其精度是不可靠的,因为不能确定由哪些点构成实际的地表面。
所以内插时先得利用已知点拟合一个局部的或区域的内插表面,然后再由该内插表面确定待定点的高程,这是这一类散点数模的共同特点。
这种高程内插也称为移动曲面拟合法,在坡度变化均匀的地形条件下,这种拟合较符合地形的实际情况,可达到较高的内插精度。
在坡度变化大,地形起伏急剧改变的区域,特别是地物、地形断裂线附近,这种曲面拟合则明显地难于很好地描述出地形局部形状,而造成内插点的高程误差偏大。
所以,为提高散点数模的内插精度,使之满足工程设计需要,除原始数据点的分布必须符合地形变化,保持足够的密度外,程序中必须具备对地物、地形断裂线处理的功能。
从数模的精度和计算速度两方面来考察,散点数模不失为一种简单而有较的方法,具有很大的实用价值,在国内外许多实用程序中广泛地得到应用。
不规则数模总的特点是:
数据采集是随机的,一般都是取地形特征点,所以能较好地适应地形变化,内插精度较高。
其缺点是采样需要人工判读地形,从而增加了数据采集的难度,此外构造数模较复杂,计算时间较长。
由于该类数模优点较为明显,所以应用最为广泛。
1.3三角网数字地面模型基本原理
三角网数字地面模型(TriangulatedIrregularNetwork)TIN是用一系列的互不交又、互不重复的三角形逼近地形表面,与Grid相比,TIN在拟合地表上更灵活、更精确。
但由于结构的不同,Grid许多成熟的技术并不能完全移植到TIN中。
从结构上讲,TIN是一典型的矢量数据结构。
它主要通过节点(地表采样点)、三角形
边和三角形面之间的关系来显式或隐式的表达底细功能散点的拓扑关系,因此设计一个高效
的、结构紧凑的、维护方便的TIN的存储与组织结构对TIN的应用与维护是至关重要的。
Tin的基本单元三角形的几何形状直接决定着TIN的应用质量。
由于地形的自相关性,相
互越接近的地形采样点,其之间的关联程度越大;同时,理论与实践均证明,狭长的三角形
其插值精度比规则的三角形插值精度可信度要低。
因此,在Tin中对三角形的几何形状有着严格的要求。
一般有三条原则:
l)尽量接近正三角形;2)保证最近的点形成三角形;3)三角形网络唯一。
一个良好的数据结构和三角划分准则,必须由一个高效的算法和程序实现。
算法在具体应用中发挥的作用由算法本身的性能和实现它的程序质量共同决定,而程序的好坏在很大程度上依赖于算法的原理。
对算法本身在理论上进行分析论证,寻求一种高效率、高精度、适用面广的算法是TIN建立中的重要一环。
由上述的分析知,TIN的数据组织+三角划分准则+算法和程序构成了TIN的基本理论体系框架。
图2表示了这一结构。
图2TIN模型的理论体系结构
第二章三角网生成算法
目前国内外建立不规则三角形网的主要方法有三类:
自动联结三角网法;径向扫描法(RadialSweepingAlgorithm简称RSA);泰森三角形法(Thiessen)。
下面分别对这几种方法作一些介绍和评价。
1自动联结三角网法
自动联结三角形网,要求建立在可能获得最佳三角形的条件下。
这个条件就是在使用周围邻近的离散点组成三角形网时,应尽可能地确保每个三角形都是锐角三角形或三边的长度尽量相等,避免出现过大的钝角和过小的的锐角。
其判别法则是:
最小距离和法则与最短外接圆半径法则。
最小距离和法则是指待插入点到基边两端点的距离和为最小,在用程序具体实现时,是用“该点对基边两端点张角а最大或其余弦值最小”原则来实现的。
最短外接圆半径法则是指三角形外接圆半径最小。
从余弦定理公式:
c2=r2+r2-2r2cos(γ)(式2-1)
可以看出:
cos(γ)∝-1/r2。
其中:
c代表基边的固定长度,r代表外接圆半径。
由于圆心角γ=2а,即有cos(2а)∝-1/r2,所以两种判别法则是保持一致的。
自动联接三角形网法的具体思路是:
1)确定第一个三角形
在散点域中任取一离散点A作为第一个三角形的第一顶点,找出距离该点最近的点B作为第一个三角形的第二顶点且构成基边AB,应用余弦定理找出和该基边对角为最大的点作为第一个三角形的第三顶点。
值得注意的是:
为了顾及地形特征,找第三点时还必须遵守两条规则:
①不跨越地形特征线条件;②不进入禁区(封闭区域)条件。
2)三角形的扩展
自动联结三角形网法中的三角形扩展是从第一个三角形的三条边依次开始的,应用余弦定理来找到第三点。
为了防止三角形被遗漏、重复或发生交叉,每形成一个新的三角形,都要与己形成的三角形作一些比较判别,如果重复或交叉,则该三角形不记录。
自动联结三角形网法的优点是:
原理明了,不考虑地形特征时编程简单。
但其最大的缺点是:
仅仅从最佳图形结构考虑,从而忽视了构网时的连续反复多次的三角形比较,使构网速度相当慢,导致数模的效率低下。
而且一旦考虑地性线的介入,程序就变得复杂了。
2径向扫描法(RadialSweepingAlgorithm简称RSA)
径向扫描法(RSA)是Miratl和Weingartan首次发表于一九八二年,其基本思想是分成以下两个阶段来完成不规则三角形网的建立。
1)建立稀疏的辐射三角网
首先是选择离区域形心最近的点作为辐射中心,由这一点向其它地形点作射线并计算其相对于辐射中心的距离和方位,对这些离散点以方位作为关键词进行排序,若方位相同则按距离,再把这些排序好的点与它的后继点连一线段,形成一系列细而长的三角形。
如果该点同前一点居于同一方位,则前一点、该点、后继点三点组成新的三角形。
在处理过程中,用一个链表或动态数组将每一个点的信息存储起来,形成一个外边界。
然后依次从链表或动态数组中连续取出三点,判别是否能形成内部三角形,若能,则记录该三角形,且把第二点从边界表中去掉。
每当优点删去时,必须从头开始去进行点检验,最后得到一个凸形的闭合边界。
2)优化初始三角网
径向扫描法(RSA)法在优化三角网过程中考虑了两个因素,一是图形结构;二是地形起伏状况。
显然,就图形结构而言,等边三角形是最佳图形;就地形起伏情况而言,为使三角形网能很好地覆盖于地表,三角形边不应有“悬空”和“切割”现象。
具体到该法中,在考虑图形结构时,若相邻两个三角形组成凸四边形,应检查四边形两对角线之比,如果超过约定值,则以短边作为三角边;在考虑地形起伏清况时,则检查两对角线高差之比,一般选取高差大的两对角点连线作为三角形边。
当二者出现矛盾时,视其影响而定。
经过优化处理后,所得的三角网就比较合理了。
径向扫描法(RSA)法思路简明,容易实现。
但是,约定值若没有一个客观的衡量标准,导致网形不唯一,特别是引入地性结构线后,难免会出现三角网的“悬空”或“切割”边,致使歪曲地形;同时三角网的优化工作也是一个相当复杂的过程,故该法在建立高精度的DTM时是不可取的。
3泰森(Thiessen)三角形法
泰森多边形的概念是:
将分布在平面区域上的一组离散点用直线分隔,使每个离散点都包含在一个多边形之内。
进行分隔的规则是,每个多边形内只包含一个离散点,而且包含离散点Pi的多边形中,任意一点Q到Pi的距离都小于Q点到任一其他离散点Pj的距离。
把每两个相邻的泰森多边形中的离散点用直线连结,生成三角形网,这样数模便完成。
泰森模型的显著特点是:
每个三角形的外接圆内不包含其他离散点,而且三角形的最小内角达到最大值,又称Delaunay三角形和Delaunay三角形格网。
泰森三角形法是基于图论学的表面三角剖分方法。
该法数学理论体系严密且从图论角度出发,因而具有良好的图形结构和网形唯一性。
但是有两个限制条件:
散点域必须为凸域;散点域中无四点共圆。
由于其优点明显,国内外对其研究也多,发明了许多算法。
本文将在下一章就改进的Thiessen三角形法,即:
Delaunay三角形法构网建立数模进行详细介绍。
第三章三角网数字地面模型程序实现
在地学领域,经常需要处理大量分布于地域内的离散数据。
为了合理利用一定地域内不均匀分布的离散地形点,1908年,G.Voronoi首先在数学上限定了每个离散点数据的有效作用范围,即其有效反映区域信息的范围,并定义了二维平面上的Voronoi图(简称为V-图,也称为Thiessen图,Dirichlet图,Vigner-Seithz图)。
1911年,荷兰的A.H.Thiessen应用V-图进行了大区域内的平均降水量研究。
1934年,B.Delaunay由V-图演化出了更易于分析应用的Delaunay三角网。
从此,V-图和Delaunay三角网就成了被普遍接受和广泛采用的分析研究区域离散数据的有力工具。
当然,它的应用不仅适用于地学,而且活跃于所有与2.5维分析有关的领域。
3.1Delaunay三角网的定义
1)Delaunay三角化的理论基础一Voronoi图
1908年,M.G.Voronoi首先在数学上限定了每个离散点数据的有效作用范围,即其有效反映区域信息的范围,并定义了二维平面上的Voronoi图(以下称为v-图)。
1934年Boly由v图演化出了更易于分析应用的Delaunay三角网(以下称为D一三角网)。
从此,V一图和D一三角网就成了被普遍接受和广泛采用的分析离散数据的有力工具。
在TIN的生成中,V一图和D一三角网有着广泛的应用。
Voronoi图是由不规则网格定义的最基础和有用的结构之一。
作为一个有着广泛用途的几何结构,V一图可以应用于许多领域,并且经常以首先将它应用与某一特定领域的人的名字来命名它。
V一图在地理方面的应用是从气象学家A.H.Thiessen开始的。
他用V一图去解释那些有着不均匀天气状况分布的地区,因此在此领域V一图又称为Thiessen多边形。
在图3.1中可以看到,V一图是通过切分一个中心点和它周围点之间的连线来定义的。
切分线和连线之间的关系是互相垂直的。
当我们对整个区域中的每一个点应用这种方法时,整个区域会被相邻的多边形所覆盖。
图3.2是由一组自由分布的点组成的V一图。
图3.1Voronoi多边形的构建图3.2由一组自由分布的点
组成的V一图
Voronoi多边形有如下五点性质:
●对于平面区域V上给定的K个离散点,将S分成K个Voronoi多边形的分法是唯一的。
相应地,作为伴生图形的Delaunay三角网唯一。
●任意两个Voronoi多边形不存在公共区域。
相应地,作为伴生图形的Delaunay三角网中没有三角形重复、交叉。
●Voronoi多边形是一凸多边形。
●点集V中任意三点vi、vj、vk构成Delaunay三角形的充要条件是:
过vi、vj、vk三点的圆内不含有V中的其余任何点。
●由点集V中N个散点构成的Delaunav三角形数是:
Nt=2(N-1)-Nb,三角形的边数是:
Ne=3(N-1)-Nb,其中Nb是V-图外围边界顶点个数。
2)Delaunay三角网的定义
作为Voronoi图的对偶,Delaunay三角网与Voronoi图紧密相关,它以第一位发现这一对称关系的科学家B.Delaunay的名字命名。
Delaunay三角网的定义是:
连接所有相邻的Voronoi多边形的生长中心所形成的三角网称为Delannay三角网。
图3.3一个点集的Voronoi图(虚线)和它的Delaunay三角剖分(实线)。
3.2Delaunay三角网的特性
Delaunay三角网有几个非常重要的性质,如下所示:
(l)空外接圆性质:
设T是平面有限点集V的一个三角剖分。
T中的一个三角形的外接圆如果不包含V中的其它点,我们就称它满足空外接圆性质。
V的一个三角剖分:
,当且仅当它的每一个三角形都满足空外接圆性质时,它才被称为一个Delaunay三角剖分(见图3.4)。
图3.4(a)不是Delaunay三角剖分(b)是Delaunay三角剖分
(2)最大一最小角性质:
设T是V的一个三角剖分,e是T的一条边,Q是T中和e相邻的两个三角形组成的四边形。
当交换Q中的对角线不增加6个内角中的最小角时,我们称边e满足最大一最小角性质。
满足最大一最小角性质的边也被称为局部优化的边(见图3.5)。
V的三角剖分T,当且仅当T的每一条边都局部优化时,才是Delaunay三角剖分。
图3.5加深的边在(a)中没有局部优化,在(b)中被局部优化
(3)Delaunay三角网网形唯一性:
Delaunay三角网是建立在控制点周围最紧密相连的双重格网,这种网形只与离散点的分布有关,而与建网的途径即离散点参加构网的先后顺序无关。
所以,只要离散点平面位置相对固定,其网形都一样。
由于几个性质,决定了Delaunay三角网具有极大的应用价值。
同时,它也是二维平面三角网中唯一的、最好的。
3.3Delaunay三角网构网方法
在GIS中,2.5维的分析处理由DTM(数字地形模型)模型进行。
由上节可知DTM主要由格网(Grid)与不规则三角网(TIN)两种数据格式来表示,而以后者更为重要。
格网的优点是:
充分表现了高程的细节变化,拓扑关系简单,算法实现容易,某些空间操纵及存储方便;而它的局限性是:
占用巨大的存储空间,不规则的地面特征与规则的数据表示之间的不协调。
不规则三角网的优点是:
高效率的存储,数据结构简单,与不规则的地面特征和谐一致,可以表示线性特征和迭加任意形状的区域边界,易于更新,可适应各种分布密度的数据等;而它的局限性是:
算法实现比较复杂和困难。
在现今的GIS系统中,基本上均支持以上两种数据格式,以不规则三角网为主,格网为辅,并提供相互转换功能。
历经二十余年的不懈努力,TIN的许多算法难关已被攻克。
TIN的生成算法中,三种算法:
分割-归并法、逐点插入法和逐步生长法最终被普遍接受和采用,而又以前二者更为流行。
分割-归并法时间效率高,但占用内存空间较多;逐点插入法时间效率较差,占用内存空间较少。
现在有人在这两种算法的基础上,提出了一种综合性能的算法—合成算法,它的性能优于以上两种算法。
下面就Delaunay三角网的三类建网方法:
分治算法、逐点插入法、逐步生长法作进一步介绍和评价。
3.3.1分治算法(Divide-and-Conquer)
Shamos和Hoey提出了分治算法思想,并给出了一个生成V-图的分治算法。
Lewis和Robinson于1978年提出了一种建立三角网的方法,以处理限定边界的等高线和有限元分析应用,他们将分治算法思想应用于生成Delaunay三角网,他们给出了一个“问题简化”算法,递归地分割点集,直至子集中只包含三个点而形成三角形,然后自下而上地逐级合并生成最终的三角网。
以后Lee和Schachter又改进和完善了Lewis和Robinson的算法,提出了对平面点建立Delaunay三角网的分而治之算法。
这种算法首先将数据排序,分成两个互不相交的子集,在每一子集建立三角网后,将两个三角网合并以生成最终的狄洛尼三角网。
Dwyer(1987)对分而治之算法作了一些改进。
通过将数据分成垂直条块,进而用相交边界将条块再一次细分为区域,并应用带约束条件的LawsonLOP将对角线进行交换,Dwyer的算法能处理带约束条件的数据。
Lee和Schachter算法的基本步骤是:
1.把点集V以横坐标为主,纵坐标为辅按升序排序,然后递归地执行步骤2~6;
2.把点集V分为近似相等的两个子集VL和VR;
3.在VL和VR中生成三角网;
4.用Lawson提出的局部优化算法(LOP)优化所生成的三角网,使之成为Delaunay三角网;
5.找出连接VL和VR中两个凸壳的底线和顶线;
6.由底线至顶线合并VL和VR中两个三角网。
以上步骤显示,分治算法的基本思路是使问题简化,把点集划分到足够小,使其易于生成三角网,然后把子集中的三角网合并生成最终的三角网,用局部优化算法(LOP)保证其成为Delaunay三角网。
不同的实现方法可有不同的点集划分法、子三角网生成法及合并法。
3.3.2逐点插入法(Iteration)
Lawson提出了用逐点插入法建立Delaunay三角网的算法思想,它是将未处理的点加入到已经存在的Delaunay三角网中,每次插入一个点,然后将Delaunay三角网重新定义。
Lee和Schachter,Bowyer,Watson,Sloan,Macedonio和Pareschi,Floriani和Puppo,Tsai先后进行了发展和完善。
逐点插入算法的基本步骤是:
1.定义一个包含所有数据点的初始多边形;
2.在初始多边形中建立初始三角网;
3.插入一个数据点P,在已经存在的三角网中找出包含P的三角形t,把P与t的三个顶点相连,生成三个新的三角形;
4.用Lawson的LOP算法优化局部三角网;
5.是否所有离散点都参与了构网?
若是,构网完毕;否则,转到3。
从上述步骤可以看出,逐点插入算法的思路非常简单,清晰。
先在包含所有数据点的一个多边形中建立初始三角网,然后将余下的点逐一插入,用LOP算法确保其成为Delaunay三角网。
同时,该算法占用内存小,时间复杂度为O(N5/4),运算速度较快,是一种比较理想的Delaunay三角网构网方法。
各种实现方法的差别在于其初始多边形的不同以及建立初始三角网的方法不同。
3.3.3逐步生长法
Gr
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