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实验十周期函数docx
实验十周期函数
【实验目的】
1.了解儿周期函数的基本概念。
2.了解周期函数经过四则运算、复合运算、求导运算、积分运算后的周期性。
3.学习掌握MATLAB软件有关的命令。
【实验内容】
从图形上观测六个三角函数的周期性
【实验准备】
1.周期函数的基本概念
函数/(尢)是以丁为周期的周期函数是指对任何兀,有
+T)=/(x).
使得上式成立的最小正数丁称为函数的最小正周期。
2.周期函数的四则运算
若/(x),g(x)都是周期函数,-•般地,他们的和(差)积商都未必再是周期函数。
例如/(x)=x-[x]在(一8,+00)以7]=1为最小正周期,g(兀)=|sinR在(一oo,+oo)以T2=71为最小正周期,但/(%)+g(x)并非周期函数。
事实上,対任意实数a>0,总有
/⑷+g(d)>/(0)+g(0)=0・
但我们有如下具有一般意义的结论:
为有理数,则
若f(x\g(x)都是周期函数,具有正周期八妨,且
/(砒蛉),/⑴阴筒g)"
仍是周期函数。
事实上,设R=bp,q是互质的自然数,则可以证明T=qT}=pT2是T2q
/(x),g(x)的周期,从而是经过四则运算后函数的周期。
3.周期函数的最小正周期
一般说来,周期函数未必有最小止周期。
例如,常値函数/(%)=c显然是没有最小正周期的,事实上,容易证明任何实数T都是/(兀)的周期。
然而,非常值的周期函数也未必有最小正周期,例如
由于有理数与有理数(无理数)之和必为有理数(无理数),因此任何一个有理数都是g(x)的周期,显然g(x)没有最小正周期。
但我们有如下具有普遍意义的结论:
非常值函数y=f(x),xeM,如果在M的某聚点处有一单边有限或无限的极限,则/(兀)必有最小止周期。
特别地,非常值的连续周期函数必存在最小止周期。
这个结论的证明这里略去。
【实验方法与步骤】
练习1图形上观测六个三角函数sinx,cosx.tanx,arctanv,secx,cscx的周期性。
(1)正弦函数y=sinx在区间[一6兀,6刃绘图相应的MATLAB代码为:
x=-6*pi:
2*pi/30:
6*pi;
y=sin(x);
plot(x,y);
xlabelCx");ylabelCy");
⑵正弦函数y=cos兀在区间[一6兀,6刃绘图相应的MATLAB代码为x=-6*pi:
2*pi/30:
6*pi;
y=cos(x);
plot(x,y);
xlabel("x");ylabel('y‘);
7T
⑶画正切函数y=tan兀的图形时,要注意函数在x=k^+厅上不连续,所以我们只能分别绘出
TT1T
函数在区间伙兀,kn+—Xk=0,±h±2,・・・・相应的MATLAB代码为:
22
x=-l.5:
0.01:
1.5;
xl=x-pi;x2=x+pi;
y=tan(x);yl=tan(xl);y2二tan(x2);
plot(x,y,xl,yl,x2,y2);
xlabel('x‘);ylabel(,y‘);
(4)余切函数y=cot兀在兀=kqk=0,±l,±2,…上不连续,可画出函数在各个区间伙兀,(k+=0,±1,±2,…上的图形,这个函数是以兀为最小正周期的奇函数.
x=-3:
0.01:
-0.15;
xl=x+pi;x2=x+2*pi;
y=cot(x);yl=cot(xl);y2=cot(x2);plot(x,y,xl,yl,x2,y2);
xlabel('x');ylabel('y');
或
clear
x=-3:
0.01:
-0.15;
xl二x+pi;x2=x+2*pi;y=cot(x);
plot(x,y,xl,y,x2,y);xlabel('x');ylabel('y');
(5)正割函数y=secx=——在x-kji.k=0,±l,±2,---±没有定义,它是个无界的偶函数,cosx
且是以2龙为最小正周期的周期函数。
x二T.5:
0.01:
1.5;
xl=x-pi;x2=x+pi;x3=x+2*pi;
y=sec(x);yl=sec(xl);y2=sec(x2);y3=sec(x3);
plot(x,y,xl,yl,x2,y2,x3,y3,'b');
xlabel('x');ylabelCy');
X
(6)余割函数y=escx=—在x=k7i+—.k=0,±l,±2,••-上没有定义,它是个无界的sinx2
奇函数,尺是以2龙为最小正周期的周期函数。
x=0.15:
0.01:
3;
xl=x-pi;x2=x+pi;
y=csc(x);yl=csc(xl);y2=csc(x2);
plot(x,y,xl,yl,x2,y2);
xlabel('x‘);ylabel('y)
练习2硏究函数y=sinx+2sin2x+3sin3x的周期性。
在区间[-6兀,6兀]绘图相应的MATLAB代码为:
x=-6*pi:
2*pi/30:
6*pi;
y=sin(x)+2*sin(2*x)+3*sin(3*x);
plot(x,y);
xlabel('x‘);ylabel('y‘);
练习3研究函数y=sin(x+cosx)的周期性。
在区间[-6兀,6龙]绘图相应的MATLAB代码为:
x=-6*pi:
2*pi/30:
6*pi;
y=sin(x+cos(x));plot(x,y);
xlabel('x,);ylabel('y‘);
Iw'iw■.i>*|*f*«vI*«vV|b
0.8•
0.6-
0.4•
0.2•
A0•
-0.2・
-0.4•
-0.6-
-0.8•
■APV•UpW•Wp*UpU
wJ■•■b
-20-15・10-505101520
x
练习4研究练习3中函数y=sin(x+cosx)的导函数/=(1-sinx)cos(x+cosx)周期性。
在区间[-6兀,6兀]绘图相应的MATLAB代码为:
x=-6*pi:
2*pi/30:
6*pi;
y=(1-sin(x))•*cos(x+cos(x));
plot(x,y);
xlabelCx);ylabel('y‘);
练习5求练习3中函数y二sinO+cosx)在一个周期[0,2刃的积分值
r2/r
A=sin(x+cosx)dx
Jo
fxA
观测变上限函数/(x)=[[sin(x+cosx)——的图形,问/(尢)是否还是周期函数?
Jo2”
%M函数fnl(x)
functionf二fnl(x)
fsin(x+cos(x));
保存后,在命令窗口屮输入MATLAB代码clear;quadl('fnl',0,2*pi)
ans=
2.7649
A=2.7649
%M函数fn2(x)
functionf=fn2(x)f=sin(x+cos(x))-2.7649/(2*pi);
保存后,在命令窗口中输入MATLAB代码clear;
fori=l:
2000x(i)=(i-l)*0.01;
y(i)=quad('fn2',0,x(i));endplot(x,y);
xlabcl(,x,);ylabel(,y');
A
.co
co
9
O
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