届嘉定区高三二模数学含答案.docx

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届嘉定区高三二模数学含答案

嘉定区2020学年高三年级第二次质量调研测试

髙三数学试卷

（时间120分钟，满分150分）2021.4

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合A={a|-1

【解析】因为A={x|-1

2.已知复数？

满足丄=i（i为虚数单位），则团=•

Z-1

【解析】因为占i，所以Z=y+l=l-/，所以|z|=|z|=a/2.

3.已知等差数列{"“}满足心=3心一8,则“5二•

【解析】设等差数列{©}的首项为力公差为d,因为心=3心-8,

5.已知函数/（x）=2+log°（x+l）（a>0,且）・若y=f（x）的反函数的图像经

过点（1,2）,则。

=

【解析】由题意得f（x）=2+loga（x+l）的图像经过点（2,1）,所m=2+logJ2+l）,

所以log“3=-l,所以a=-.

3

6.《九章算术》中，称四个而均为直角三角形的四面体为“鳖膈”.已知某“鳖儒”的三视图如图所示，则该“螫膳"的体积为

【解析】还原几何体，如图，

所以该几何体是底而为直角边为3和4的直角三角形，髙为4的三棱锥，

故体积心卜异金4七

4

7.已知正数X、

1

y满足x+—=1,则一+y的最小值为

y兀

fl）

（4]

-+y

丿

1y）

4

1

【解析】因为x+-=l,所以一+），=

y兀

41

当且仅当x+-=1且xy=2,即x=-,y=6时取等号，

y3

所以-+y的最小值为9.

X

Sa

8•设数列｛勺｝的前”项和为S「且满足““=4,则limSw=

—1]s

【解析】]?

=S“+a”=4（*）,当”=1时，2山=4,即5=2；

—11

当n>2时，S,i+6-=4（**）,

<*）和（**）相减得2d”=4心，所以数列｛©｝是di=2,q=*的等比数列,所以limSZI=a,=—二j-=4.

2

的二项展开式的各项重新随机排列，则有理项互不相邻的概率为

【解析】卜+*j的展开式的通项为Tr+[=C；x7-r=C>-7_^,

当r=0,2,4,6时，为有理项，一共4项，

当r=l,3,5,7时，为无理项，一共4项，

要使得有理项互不相邻，采用插空法，先把无理项排好，再把有理项插到无理项的

5个空档中，共有片4・用=2880种情况，全部的情况有笊=40320种,

10.C知点A、〃是双曲线才*=1SO,b>0）的左、右顶点，点P是该双曲

线上异于A、3的另外一点，若厶ABP是顶角为120°的等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是■

【解析】根据对称性，不妨设P在第一象限，因为AABP是顶角为120°的等腰三角形,

所以ZABP=120°MB=BP=2a,

所以点P的坐标为（a+2。

cos60°.2asin60°）,

即P（2a』a）代入双曲线方程二-头=1,解得a2=b\旷lr

故双曲线的渐近线方程为y=±x・

花丘（一8,2）,满足f（x}）=f（x2）.则实数"的取值范围是

【解析】法1：

当xw［2,*o）时./（x）=・因为/（x）=

2；r+8

而x+->2xx-=4,当且仅当x=-,即x=2时取等号,

X\XX

所以y=fM的取值范用是0,瓦

由题意及函数XV2的图像与性质得<

⑴J

1.2；8

a<2

/1、|2-“|

1，如图所示.解得2

>-

_8

所以所求实数"的取值范用是［-1,5）

法2：

当时，/心缶，即〃）行.

2x+—

444

因为x+->2Jxx-=4,当且仅当x=-,即x=2时取等号

xVxx

所以y=/（x）的取值范用是

当xe（-s,2）时,

函数，此时y=f（x）的取值范用是（0,1］；而函数y=/（x）在［匕2）上是减函数,

又a<2,所以一1Sgv2・

综上，所求实数"的取值范用是［-1.5）・

12.在平面直角坐标系xOy中，起点为坐标原点的向量云少满足|i/|=|Z?

|=1，且ah=

2

c=（mA-d=（/?

J-n）（m.neR）・若存在向量&、b.对于任意实数m.n>不等式\a-c\+b-d>T成立，则实数T的最大值为.

—277^■|••—•■

【解析】由题意得厶"的夹角为亍可设"",

则点A、B在单位圆上，点C、D在直线x+y—l=0上，如图所示.

根拯加、“的任意性，即求点4、3到直线x+y—l=0距离之和的最小值,

（B）必要非充分条件

（D）既非充分又非必要条件

即IAEI+I3FI（点E、F分别是点4.B在直线x+y—l=0上的射影点）；

同时根据的存在性，问题转化为求IAE\+\AFl的最大值.

设A3的中点为M，设点M、O在直线x+y-\=0上射影点分别为“、o\

1近

则\AE\+\BF\=2\MN\<2（IMOI+1OOI）=2（_+—）=1+血,

22

当且仅当点M.O、O依次在一条直线上时，等号成立.

所以TS1+、伍，即所求实数丁的最大值是1+、伍.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在

答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.“函数/（x）=sin（sr）（x.且"HO）的最小正周期为兀”是“3C

的（B）・

（A）充分非必要条件

（C）充要条件

14・已知一组数据3、4、6、8的平均数是5,则这组数据的方差是

（A）・

【解析】由题意得5=

所以方差/=（3-5）'+（4-5），+（4-»+（6-5）[+（15）'=”,故选人

x=2cos&

15•设直线y=x与椭圆｛门交于A.3两点，点P在直线y=kx+3上.

y=sin^

（A）（—2,2）（B）[—2血,2血]（C）（—oo,—2）U（2,+s）（D）（y,—2、/I]U[2、E+co）

【解析】椭圆方程为冷+心,易得-关于原点对称，所以皿曲2沏=2,

所以\Pdl=h故原点到直线y=b+3的距^d=解得£»2血或故选D.

16.已知函数f（x）=2021x_,+（x-1）3-2021,_v+2x,则不等式

/（x2-4）+/（2-3x）<4的解集为（A）.

（A）[-1,4]（B）[-4,1]（C）（—s,—l]U[4,+oo）（D）（-s,-4]U[h+s）

【解析】设函数^（x）=2021x+x3-2021-A+2x,则函数g（x）是立义域为R,且单调递

增的奇函数，所以/（x）=2021v-*+（x-1）3-2021'~v+2（x-1）+2是定义域为

R的增函数.且其图像关于点（1,2）对称,即有f（x）+f（2-x）=4,即/（2-x）=4-/（x）.

由/（兀2—4）+/（2—3^）<4得/（%2—4）«4—/（2—3兀），

即/（x2-4）

即/（x2-4）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的

步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,矩形ABCD绕A8旋转形成一个圆柱.

如图，矩形ABCD绕A3顺时针旋转彳至ABCQ,线段DQ的中点为M.

（1）求证：

AM丄CQ；

（2）求异而直线CM与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

【解析】

（1）由题意得，AM丄DD、,2分

因为CQ是圆柱的一条母线，所以CD垂直于圆柱的底而，则CD丄AM,即AM丄CD,4分

又因为nCD=D,且DD、、CD宰平而CDD、,

所以AM丄平而CD0,因为CD*平面CD0,

所以AM丄CD】・

（2）联结3M・由题意得，BC//AD,所以异而直线CM与AD所成的角等于直线CM与直线BC所成的角2分

在△BCM中，BC=1,

由余鮭酮遇细宀哙址护

上BCM=arccos^^・

6

所以异而直线CM与AQ所成的角的大小为arccos^-8分

6

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数«eR,函数/（x）=«-3r+丄.

3

（1）若函数/（X）是奇函数，求实数d的值：

（2）若函数y=/（x）+26/在xe[O,l]时有零点，求实数"的取值范围.

【解析】

（1）法1：

函数/（X）的定义域为R・

因为函数/（x）是奇函数，所以/（一0=-/（切・设兀=0,则/（0）=-/（0）,即/（0）=0,代入f（x）=a-3x+—,

3r

得“・1+1=0,解得a=-i.

此时f（a）=—3'+—•

4分

又因为f（-x）=一3"+右=3—*=-/⑴，即/（-x）=-/（x）,

所以/（x）=-3v+l是奇函数.

因此所求实数“的值为—16分

法2：

函数/（X）的泄义域为R・

因为函数/（x）是奇函数，所以/（一对=一/（对・

即±+y=-0.3"+丄

3\3丿

即（°+1）•丁=一山，即（°+1）・（9“+1）=0对任意xeR都成立,3r

所以“+1=0,解得a=-l.

因此所求实数"的值为—16

（2）设f（x）+2a=0,

即关于X的方程0•3"+丄+2。

=0在区间[0,1]±有实数解……2分

设『=3”,因为“[0,1],所以隹[1,3],于是原问题等价于关于/的方程亦+2心+1=0（*）在区间[1,3]上有实数

解4分

当a=0时，方程（*）不成立，所以dHO，

于是方程（*）可化为--=t2+2t（te[1,3]）,a

即函数与函数y=t2+2t（te[1,3]）的图像有公共

点6分

因为函数y=t2+lt（te[1,3]）为增函数，则得该函数的值域为[3,15],

所以3<-1<15,解得一IsaS—丄，

a315

即所求的实数0的取值范围是—丄，一丄8分

315

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

20.

某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AO3进行改造.如图

所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙A3弧上，点M

和点N分别在道路OA和道路03上，且OA=90米，ZAOB=-9设Z.POB=0・3

则停车场而积S=2S广mN=OPON・sin&

=90x30^xsin-=135073^2338.3（平方米），6

即停车场面积约为2338.3平方米.

（2）在AOPN中，乙ONP=£、乙OPN='-e・

33

由正弦定理得一T一=一乞—sinZOPNsinZONP

即一——=-^,即OA^=60V3sin（--6>）・

sin（Z_&）sin岂3

33

则停车场面积s=2S.opn=OP・ONsm&=5400^3sin6>sin（--6>）,

即S=5400\圧sin&sin（Z—&）,其中0v&v^.

33

即S=5400巧sin^sin（--6>）=5400V3sin&（耳sin0--cos<9）,

322

只ii

S=2700巧sin&cos&-sif&）=2700^3（—sin20+—cos2&--）

222

=2700V3[sin（2<9+-）--]=2700^3sin（2<9+-）-1350^3.6分

626

因为o所以-<20+-<—.

3666

则当20+-=-,即&=乙时，停车场面积S取得最大值.

626

所以当0=1时，停车场而积S取得最大值.8分

6

21.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

已知抛物线厂：

y2=2px的焦点为F（2,0）,点P在抛物线厂上.

（1）求抛物线厂的方程：

（2）若IPFI=5,求点P的坐标:

（3）过点T（t.O）（/>0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线厂于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB.CQ的中点，求△刀WN的而积的最小值.

【解析】

（1）因为抛物线17的焦点为F（2,0）,即g=2，解得p=4,2分

所以所求抛物线r的方程为y2=8x・4分

（2）设点P（X,y）.

令x+2=5.解得x=3・

因为点P在抛物线r±,所以r=8x,

因此所求点P的坐标为（3,-2、丘）或（3,2而）・

（3）法根拯题意，直线AB.CQ的斜率存在，且不为零，

可设直线A3的斜率为则直线CD的斜率为-丄，

k

则直线AB的方程为y=k（x—/）,

直线CD的方程为y=-丄（x-小

k

设A（E，yJ、B（x2iy2）.

y=k（x-t）……

由彳了得k2x2-2（k2t+4）x+k2t2=0,2分

y2=8%

由一元二方程根与系数的关系得召+x2=加芹4）

所以X+y2=k（xx-t）+k（x2-t）=k（x}+x2）-2kt

«k2t+d4

即廿+比=一，因此

KKK

同理可得NUk2+t^k）.

\TN\=J（4“『+（_4貯=41kIJ1+",

当且仅当伙1=1,即£=±1时，等号成立.

设A3」）.B（x2,y2）.

由一元二方程根与系数的关系得力+）3=8加,

所以Af（4m2+人4〃?

）・

44

同理可得N（—+/--）.

nrm

所以I7WI计护篇二岛

ITM1=J16〃『+16〃,=41mIJm2+1,于是s杯=1・ITMI・l7WI=8（l〃2l+-!

-）n8x2；|/«Ix—=16,

2ImIAiImI

当且仅当即加=±1时，等号成立.

所以的面积的最小值等于16.6分

22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列｛©｝满足：

5=1,I®田一s|=p",皿N・，s”为数列仏｝的前"项和.

（1）若｛"”｝是递增数列，且3q,4“2,55成等差数列，求P的值；

（2）已知卩=善,且｛%｝是递增数列，｛知｝是递减数列，求数列｛"”｝的通项公式;

（3）已知〃=1,对于给泄正整数"，试探究是否存在一个满足条件的数列

使得Sy若存在，写岀一个满足条件的数列｛"“｝；若不存在，请说明理由.

【解析】

（1）因为仏｝是递增数列，所以an+[-an=\al^-al!

\=p,1.

因为“]=1,所以a2=\+p>d3=l+P+P，・2分又因为354吆5①成等差数列，所以=3q+5冬，

即8（l+p）=3+5（l+p+p2）,即5p2_3p=0,解得p=0或/?

=|.

当〃=0时，叫黒=皱,这与｛%｝是递增数列相矛盾，

3

所以〃=二・4分

（2）因为｛a2n_｝｝是递增数列，则有如+1一冬”」>0，

于是（°2”+1一a2n）+（如一“2”-1）>°①

內人科<卡匸T，所以|“2”+1一a2n|<\a2fl~a2lt-\\②

由①、②得，殂一如-I>0，

（1（_1）加

因此“2川一。

2”-1=7，即。

2口-aln-\=7一]③2分

W*

又因为｛吆｝是递减数列,则有d加2一如V0,

于是（“2卄2一°2曲）+@22一5”）V0④

由④、⑤得，“2“+1一“"<°*

于是当n>2时,qr=也+（°2-4）+@3-“2）+・・・+（勺一勺-J

.11（-1）",11_（_3）/，~，51（-1）"

3323心3t1443心

3

当川=1时，代入上式得6=1,与已知条件相吻合.

51（_[）口

所以所求数列仏｝的通项公式是4严二+—X嶋neN*.

（3）当n=4k^n=4k-3（eN*）时，存在数列仏｝,使得Sy…2分

此时数列仏｝满足％.3=«4*-1=1皿4_2=°，%=2，

Ab

则S4t=—x（l+0+l+2）=4^,

4£-4

S*3=q+^—x（0+1+2+1）=4—3,

即SfJ=n・

当/2=4«-2或料=4£-1（A:

gN*）时，

不存在数列仏｝,使得S”=n.6分

理由如下:

因为=所以"“+i=d”±l；

又因为q=l为奇数，则当neN*时，他心为奇数，“2”为偶数，……7分

所以当AreN*时，为奇数，S。

归为偶数，

因此二-2=4R-2,Sg=4k-1均不可能成立.

于是当刃=4比一2或〃=4斤一1（kwN"）时，

不存在数列{©},使得Sp・8分