湖南省届高三六校联考数学理.docx
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湖南省届高三六校联考数学理
湖南省如19年六校联考数学(理)考试试题卷
湘潭市一中、长沙市一中、师大附中、
岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中
时量120分钟满分150分
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、已知全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={0,1,3},集合B={0,3,4,5},则()
A.A-B3B.A一B=UC.A"(CUB)=1D.(CUA).B=B
2、下列说法中正确的是().
A.“x>5”是“x>3”必要不充分条件;
B.命题“对VxWR,恒有x2+1>0”的否定是“3x=R,使得X2+1E0”.
C.?
mCR,使函数f(x)=x2+mx(xCR)是奇函数
D.设p,q是简单命题,若pvq是真命题,则p/\q也是真命题;
3、两个变量y与x的回归模型中,分别选择了4个不同模型,计算出它们的相关指数R2如下,其中拟合效果最好的模型是()
A.模型1(相关指数R2为0.97)B.模型2(相关指数R2为0.89)
C.模型3(相关指数R2为0.56)D.模型4(相关指数R2为0.45)
4、在三角形OAB中,已知OA=6,OB=4,点P是AB的中点,则OPAB=()
A10B-10C20D-20
5、如图是某几何体的三视图,则该几何体体积是(
A73c5<3c20c;
A-B飞-C—D32
.44……―—
6、已知cos(a+—)=一(a为锐角)则sin^=(
65
A包B.1
1010
):
V、
?
1111
MH*1
)2百
正视图左视图
V
C.
3-43
10
7、如图,抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线l作垂线,
垂足为B,若AABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是().
212
A.y=-xB.y=x
2
22.
C.y=2xD.y=4x
8、已知函数f(x)=x2-2lnx
与g(x)=sin(cox+中)有两个公共点,则在下列函数中满足条
件的周期最大的g(x)=(
A.sin(2nx--)B.sin(—x--)C.sin(nx——)D.sin(nx+—)
22222
、填空题(本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分,把答案填在
答题卡中对应题号的横线上.)
(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
9.以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长
x=4cost
度单位,已知曲线C的参数方程是1x4co(t为参数),直线l的j=3sint
极坐标方程是P(cos0-sin8)+1=0,则直线l与曲线C相交的交点
个数是.
10.如图,AB是圆O的直径,点P在BA的延长线上,
且AB=2PA=4.PC切圆O于C,Q是PC的中点,
直线QA交圆O于D点.则QA[jQD=.
11、设xWR,则函数y=|x|+J2-x2的最大值是
(二)必做题(12〜16题)
12、设复数z=3(其中i为虚数单位),则z2等于i
13、已知(1-x:
n的展开式中只有第5项的二项式系数最大,
则含x2项的系数=
T=T
14、执行右边的程序框图,若输出的T=20,
则循环体的判断框内应填入的的条件是(填相应编号)
。
(®T>S,②T>S,③T&S,®T
15.设矩形区域G由直线x=士二和y=±1所围成的平面图形,区域D是由余弦函数
2
y=cosx、x=±三及y=-1所围成的平面图形.在区域建内随机的抛掷一粒豆子,2
则该豆子落在区域D的概率是.
16.用e,f,g三个不同字母组成一个含n+1(nWN*)个字母的字符用,要求由字母e开始,相邻两个字母不能相同.例如n=1时,排出的字符串是ef,eg;n=2时排出的字符串是efe,efg,ege,egf,…….记这种含n+1个字母的所有字符串中,排在最后一个的字母仍是e的字符串的个数为an故a1=0,a2=2.a4=
三、解答题:
本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、(本题满分12分)驾驶证考试规定需依次按科目一(理论)、科目二(场内)、科目三(场外)进行,只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试,每个科目只允许有一次补考机会,三个科目考试均合格方可获得驾驶证。
现张某已通过了科
目一的考试,假设他科目二考试合格的概率为科目三考试合格的概率为-,且
32
每次考试或补考合格与否互不影响。
(1)求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。
(2)若张某不放弃所有考试机会,记之为参加考试的次数,求之的分布列与数学期望。
18.(本题满分12分)由五个直角边为V2的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形
ACDEF,沿AD折起,使平面ADEJ平面ACD.
(1)求证:
FBXAD
(2)求二面角C-EF-D的正切值.
19、(本题满分12分)已知数列也口)是递增的等比数列,满足a1=4,且5a3是a?
、a44
的等差中项,数列{^}满足0+=6+1,其前n项和为、,且S2+Sf=a4
(1)求数列Ln},{bn}的通项公式
(2)数歹1」Gn}的前n项和为Tn,若不等式nlog2(Tn+4)-九bn+723n对一切n^N‘恒成立,求实数人的取值范围。
20.(本题满分13分)某小型加工厂生产某种机器部件,每个月投产一批。
该部件由5个A零件和2个B零件构成,加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工,再组装成部
件,每加工成一个部件需要消耗10度电。
已知A、B两种零件毛坯采购价格均为4元/个,但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时,超过的部分可按优惠价3.6
元/个结算。
电费按月交纳,电价按阶梯电价计算:
每月用电在5000度以内1元/度,超过5000度的部分每度电增加c(c>0)元.设每月还需要其他成本(不含人工成本)600元.在不考虑人工成本的条件下,问:
(1)每月若投入资金1万元,可生产多少件部件?
(2)每月若有2万元的资金可供使用,但要平均每件的成本最低,应投入多少资金?
21.(本题满分13分)已知P(0,-1)与Q(0,1)是直角坐标平面内两定点,过曲线
3
C上一动点M(x,y)作Y轴的垂线,垂足为N,点E满足ME=~MN,H
QMPE=0
1)求曲线C的方程。
2)设曲线C与x轴正半轴交于点A,任作一直线l与曲线C交于M、N两点(M、N不
与A点重合)且/MAN=90°,求证l过定点并求定点的坐标。
1c
22、(本题潴分13分)已知函数f(x)=alnx+—x2—(a+1)x(a之1)2
,1C
右g(x)=2x—-力证明当"1时,g(x)的图象恒在f(x)的图象上万.
湖南省如19年六校联考数学考试试题答案
、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
B
B
D
C
、填空题:
9、2
10、QC2=QAbQD,pc=PALPb=12,因Q是PC的中点,所以QAQD=1PC2=3.
4
11、由柯西不等式,得x+J2—x2=x父1+n'2—x2<4x2+2-x24l2+12=2.
或用基本不等式:
|x|+j2-x2 12、2i 13、28 H_3T S=J2”(cosx+1)dx=(sinx+x)2”=2+n,~2'"2' 解析: a[=0 两式相减得: an一an_2=2n-2 2 n-1 ...一an-1 所以,an-1=2n-2-an一2 『C2…e2n-4 利用累加法得an—a2=2+2+…+2/=——所以, 3 1c3-nN2n-22n-2 当n为奇数时,利用累加法得an—ai=21+23+…+2n=[^所以,an= 33 nn 综上所述: an=22(-1) 3 三、解答题答案: 17、答案: 解: 设“科目二第一次考试合格”为事件Ai;“科目二补考考试合格”为事件A2; “科目三第一次考试合格”为事件Bi;“科目三补考考试合格”为事件B2; 则A1、A2、B1、B2相互独立。 (1)他不需要补考就可获得驾证的概率为: 211八 P=P(AiBi)=P(A)P(Bi)=———=—5分 323 (2)E的可能取值为2,3,4 一一21114 •••P(=2)=p(AB1A1A2)二32339 211214 P(=3)=p(A1B1A1A2B1): 323329 _^^.—_=.1211 P=(^=4)=p(A1A2B1)=_x-x—=_9分 3329 '的分布列为 2 3 4 P 4 9 4 9 1 9 18、答案: 解: 法一: ⑴作FO,AD于。 ,连OB.(1分) ・••等腰直角三角形AFD,••・点。 为AD的中点. 而等腰直角三角形ABD,BOXAD,而FOABO=O, •.AD,平面FOB,FBXAD(5分) (2)二•等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB,・・./ADC=90°,.1.CDXAD(7分) 又二,平面ADEF,平面ACD,平面ADEFn平面ACD=AD, •.CD,平面ADEF.作DM±FE,连接MC,/DMC即为二面角C-EF-D的平面角.(10分) 在直角三角形MDC中,/MDC=90°,MD=1,DC=2,,tan/DMC=2,二.二面角C-EF-D的正切值为2.(12分) 法二: (1)作FOXAD于O,连OB,二,平面ADEF,平面ACD,FOL平面ADC. ・••等腰直角三角形AFD,.•・点。 为AD的中点.而等腰直角三角形ABD,,BO^AD如图,建立空间直角坐标系, •.F(0,0,1),A(1,0,0),D(-1,0,0),C(-1,2,0),B(0,1,0)E(-2,0,1)(2分) AD=(-2,0,0),FB=(Q1,-1).ADFB=0,••.FBIAD (2)显然平面DEF的法向量n=(Q1,0), 平面CEF中,FE=(—2,0,0)FC=(-1,2-1), ・•・平面CEF的法向量n2=(0,1,2), —一: 5一一 …cos(n1,1)=—,tan(n1,n2)=2, 5 ••・二面角C-EF-D的正切值为2. (5分) (7分) (10分) (12分) 19、答案: 解 (1)设等比数列GJ的公比为q,则q>1,an=4qn^ 5一 : 5%是22和a4的等差中项 4 一52 .2-a3=a2a4lP2q-5q2=0 4 J.an=4,2n」=2n+(3分) 依题意,数列{bn}为等差数列,公差d=1 65又s2+%=32,(2bl+1)+6bl=321b=2;bn=n+1(6分) ⑵: 'an=2n-Tn=42^=2"-4.(8分) 2-1 不等式nlog2(Tn+4)—%bn+723n化为n2—n+7之九(n+1);nwN+(9分) n2-n-7.. 九<对一切nwN恒成立。 qq1,q=2 n1 而n^Jn1)2一3(n1)9=(n1)(£)-3一2(n1).9-3二3 n1n1n1\(n1) 一,,9 当且仅当n+1-即n=2时等式成立。 ,九M3(12分) n1 20、答案: 解: 设产量为x件,总成本y元,生产200件需要1000个A零件,生产500件需要1000个B零 件,并需要5000度电。 分) 当0 当200cxM500时,y=(5x+2x)4-(5x-1000)(4-3.6)+10x1+600=36x+1000 yW(8200,19000]..(5分) 当x>500时, y=(5x+2x)4-(7x-2000)(4-3.6)+10x1+(10x-5000)c+600=(35.2+10c)x+1400-5000c y>19000..(7分) ⑴当y=10000时,200 答: 若投入资金10000元,可生产250件..(8分) 600 38十——(0 y1000 (2)平均每件的成本」=<36十——(200CXE500)……..(10分) XX /CLC八、1400-5000c/LCC\ (35.2+10c)+(x>500) 、x 在(0,500]上递减,在[500,+2)上: 若1400-5000c>0,即c<0.28时依然递减,故可全部投入20000元资金使平均每件的成本最低; 若1400-5000c<0,即c>0.28时递增,x=500时平均每件的成本最低,可投入资金19000元. 若1400-5000c=0,即c=0.28时为定值38,可投入19000元至20000元任意数值的资金. ..(13分) 21、答案: (2)设直线l的斜率存在,设为k,方程为y=kx+m(k/0)M(x1,y1)N(x2,y2) [=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)=16(4k2-m2+1)a0,即4k2+1am2①……(6分) =0即(Xi-2,yi)L(X2-2,y2)=° 二(x1-2)(x2-2)+y1y2=°即x1x2—2(x1+x2)+y1y2+4=° 将②③④代入⑤并整理得: 22 12k216km5m2=°.(6k5m)(2km)=° 6k+5m=°或2k+m=° 当6k+5m=°时,①式成立 此时直线l的方程为y=k(x—6),过定点((6,0) 55 当2k+m=°时,①式成立 此时直线l的方程为y=k(x—2)过点A(2,0) 与直线l不过A点矛盾。 若直线l的斜率不存在,设l的方程为x=t x=t "2=1 得M(t,1<4-t2),N(t-1V4-t2) 由AMAN=°得代-2)2--(4—t2)=°即5t2—4t+3=° 4 解之得t=6或t=2 5 666 当t=—时,直线l的方程为x=—过点(一,°) 555 当t=2时,直线l的方程为x=2过A点(舍) 由上可知,直线l过定点(6,°) 5 22、 解: 答案: (添加计分标准) 2 a//、x-(a1)xa(x—1)(x—a),一 (1)f(x)=-x-(a1)=L((x°) xxx (x-1)2_ 当a=1时f(x)=(——)-之°在(°,f上恒成立x (9分) (1°分) (11分) (12分) (13分) ....(1分) ..(2分) 二f(x)在(°,+8)单调递增,此时f(x)无极值点 当a>1f'(x),f(x)在定义域上的变化情况如下表: f(x) f(x) 1x—1 F«x)=1——=——当xa1时F(x)>0,0ex<1时,F(x)<0xx ,F(x)在(01)递减,在(1,收)上递增. (7分) 二F(x)之F (1)=0,x时,1F(x)>0亘成立 即x>1时g(x)>f(x)恒成立 (8分) ,当x>1g(x)的图象恒在f(x)的图象的上方 (3)由 (2)知F(x)之F (1)=0即lnx«x—1 令x=n12(n运N')则/<1-^2A绊nnn .…(9分) .…(10分) 1 =2(n-1)- 2n2-n-1 4(n1) 不等式成立 ・・・.(13分) 2二 11111 =(n-1)( 22233
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