吉林省长春八中学年高一上学期数学竞赛题 Word版含答案.docx
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吉林省长春八中学年高一上学期数学竞赛题 Word版含答案.docx
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吉林省长春八中学年高一上学期数学竞赛题Word版含答案
长春市第八中学2020-2021学年上学期
高一数学竞赛
时间:
11月9日
一、单项选择题:
本题共18小题,每小题5分,共90分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集,,,则下列结论正确的是
A.B.AB={3}C.A∩B={2,4,5}D.
2.已知非零实数满足,则下列不等式一定成立的是
A.B.C.D.
3.已知,则实数a的值为
A.3B.4C.3或4D.无解
4.设,B={-1,2},则必有 .
A.B.C.D.
5.下列命题中:
“”是“”的充分不必要条件
定义在上的偶函数最小值为
命题“,都有”的否定是“,使得”
已知函数的定义域为,则函数的定义域为.正确命题的个数为
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.
已知全集,集合,B={x|x2+x-2<0},则图中的阴影部分表示的集合为
A.(-2,0)[1,2]B.(-2,0](1,2]
C.(-∞,0)[2,+∞)D.(-∞,0](2,+∞)
7.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是
A.B.C.D.
8.下列各式中,正确的个数是
;; ; ;
;2,;2,;.
A.1B.2C.3D.4
9.符合条件b,,b,c,d,的集合P的个数是
A.3B.4C.7D.8
10.已知函数满足,则等于
A.4043B.4037C.2017D.2023
11.设是奇函数,且在内是增函数,又,则的解集是
A.或B.或
C.或D.或
12.已知奇函数在区间上是增函数,在区间上的最大值为9,最小值为2,则等于
A.5B.C.10D.
13.设非空集合P,Q满足PQP,则
A.xQ,有xPB.xQ,有xPC.xQ,使得xPD.xP,使得xQ
14.已知函数是定义在R上的偶函数,在上有单调性,且,则下列不等式成立的是
A.B.
C.D.
15.已知函数现有如下说法:
函数是奇函数;函数在定义域上单调递增;函数无最值.则上述说法正确的个数是
A.0B.1C.2D.3
16.函数的值域为
A.B.C.D.
17.已知函数若对任意,,且,有成立,则实数a的值是
A.2B.C.D.1
18.已知定义在R上的函数,若函数为偶函数,且对任意
,都有,若,则实数a的取值范围是
A.B.C.
D.
二、多项选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
19.下列图象不能表示定义域M={x|0≤x≤1},值域N={y|0≤y≤1}的函数是
A.
B.
C.
D.
20.下列各组函数表示不同函数的是
A.,B.,
C.,D.,
21.已知,,a为大于0的常数,则的值域可能为
A. B. R C.D.
x
1
2
3
4
5
2
3
4
2
3
22.已知可用列表法表示如下:
若,则x可以取
A.2B.3C.4D.5
23.设函数是定义在R上的函数,若存在两个不等实数,使得,则称函数具有性质P,那么下列选项中,具有性质P的函数是
A.B.C.D.
24.下列说法正确的是
A.的最小值是2B.的最小值是
C.的最小值是2D.的最大值是
25.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,例如函数与函数,为“同族函数”下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是
A.B.C.D.
26.下列说法中错误的是
A.不等式恒成立B.若,则
C.若满足,则D.,使成立
27.下列叙述不正确的是
A.的解是
B.“”是“”的充要条件
C.已知,则“”是“”的充分不必要条件
D.函数的最小值是
28.已知函数,,下列说法错误的是
A.的最大值为3,最小值为1B.的最大值为,无最小值
C.的最大值为,无最小值D.的最大值为3,最小值为
29.
某同学在研究函数的性质时,受到两点间距离公式的启发,将变形为,则表示如图,下列关于函数的描述,描述正确的是
A.的图象是中心对称图形
B.的图象是轴对称图形
C.函数的值域为
D.方程有两个解
30.
几何原本中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明现有图形如图所示,C为线段AB上的点,且,,O为AB的中点,以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线交半圆于D,连结OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为则该图形可以完成的所有的无字证明为
A.
B.
C.
D.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合的基本关系和基本运算,属于基本题型.
根据基本关系和基本运算逐一排除即可.
【解答】
解:
因为全集,,
根据集合的关系可知A错误,
,故B错误,
,故C错误,
正确,
故选D.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查不等关系,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法.是基础题.
【解答】
解:
令,,显然A错误,
B选项,,符号不确定,所以B错误,
令,,显然C错误,
故选D.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了集合中元素的特征,元素与集合的关系,属于容易题.
由得或,再结合元素互异性检验即可.
【解答】
解:
当时,,与元素的互异性矛盾.
当时,,符合题意.
.
故选B.
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素的特征以及集合的关系,首先求出A集合,根据元素的特征即可判断.
【解答】
解:
A集合为点集,
而集合为数集,
所以.
故选D.
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查充分条件和必要条件的判断,考查二次函数的奇偶性与最值,全称命题的否定以及函数的定义域问题,属于中档题.
根据充分必要条件,偶函数的性质,全程命题特称命题,抽象函数的定义域逐个判断即可.
【解答】
解:
“”是“,即或”的充分不必要条件,正确;
是定义在上的偶函数,
可知,即,,
所以,,
故的最小值为5,正确;
命题“,都有”的否定应是“,使得”,错误;
已知函数的定义域为,
则需满足,
故,正确 .
故选C.
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用韦恩图表示的集合运算,属于基础题.
化简集合B,再求,最后从并集中去掉交集部分即可.
【解答】
解:
略
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查分段函数的图像及性质,涉及了二次函数的单调区间,数形结合的思想,解题的关键是画出函数图像,属于基础题.
去掉绝对值,写成分段函数,结合函数图象,即可求出函数的单调减区间.
【解答】
解:
由于
画出图像得,
可知函数的单调减区间是.
故选C.
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了元素与集合的关系,集合与集合的关系,要注意区分各种符号的含义,属于基础题.
根据集合的相关定义逐个判断.
【解答】
解:
表示空集,没有元素,有一个元素,,故错误;
空集是任何集合的子集,故正确;
和都表示集合,故错误;
0表示元素,表示集合,故错误,正确;
,2,都表示集合,故错误;
中的元素都是2,中的元素,故正确;
由于集合的元素具有无序性,故正确.
综上,正确,
故选D.
9.【答案】D
【解析】解:
b,,b,c,d,,,,而元素a,b,c可能在集合中.
故答案为:
D
属于基础题.
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数解析式的求解及求函数值,属基础题.
用代入原式中,再与原式联立求解出的解析式即可.
【解答】
解:
略
故选B.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性的运用,涉及不等式求解问题,考查了分析和运用能力,属于中档题.
根据函数为奇函数,得到,结合函数单调性得函数值为正负时x的范围,再研究时x的取值范围,即可得出结果.
【解答】
解:
函数为奇函数,
,即.
在内是增函数,
当时,当时,,
根据奇函数对称性可得,当时,当时,,
由此可知即为x与异号时的情形,
故的解集为,
故选D.
12.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的单调性,奇偶性与最值,属于基础题.
由函数单调性得,,由奇偶性得,,从而得到答案.
【解答】
解:
因为奇函数在区间上是增函数,在区间上的最大值为9,最小值为2,
所以,,
所以,
故选B.
13.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查全称量词命题、存在量词命题的真假判定,涉及集合的交集的性质和集合的关系,属基础题.
根据已知得到,再根据特称量词与全称量词的意义作出逻辑判定.
【解答】
解:
,,
当时,
,使得,故A错误;
,,必有,即,必有,故B正确;
由正确,得,必有,,使得错误,即C错误;
当时,,使得,故D错误;
综上只有B是正确的,
故选B.
14.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用偶函数的对称性比较函数值的大小,解题的关键是判断相应区间上的单调性.
由偶函数的对称性可知函数的图象关于y轴对称,结合在上有单调性,且,可知在上有单调递增,单调递减,距离对称轴越远,函数值越小,可判断.
【解答】
解:
是定义在R上的偶函数,
函数的图象关于y轴对称,
在上有单调性,且,
在上有单调递增,单调递减,距离对称轴越远,函数值越小,
结合选项可知,B符合.
故选B.
15.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数性质的应用,属于中档题.
根据函数的奇偶性单调性得到函数的大致图像,进而可判断.
【解答】
解:
当时,,,
所以函数是奇函数,故正确;
作出函数的大致图象如下所示,
观察可知,函数无最值,且在和上单调递增,故错误,正确,
故选C.
16.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查分段函数值域的求法,涉及函数的单调性和最值,属于基础题.
当时,,函数图像开口向上,对称轴为,当时,取最小值为,可知,当时,,此时函数单调递减,可得,进而求解原函数的值域.
【解答】
解:
当时,,函数图像开口向上,对称轴为,
所以当时,取最小值为,
所以,,
当时,,此时函数单调递减,
所以,
所以原函数的值域为 .
17.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查分段函数的单调性.
既要考虑当时二次函数的单调性,又要考虑当时一次函数的单调性,同时要注意端点值的决定作用.
【解答】
解:
因为成立,所以函数在R上单调递减,
由题意,得
.
故选D.
18.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的奇偶性,对称性,单调性,考查学生的计算能力和推理能力,属于中档题.
根据题意可知函数的图象关于对称且函数在上为减函数,从而即可得,进而可得实数a的取值范围.
【解答】
解:
因为函数为偶函数,
所以函数的图象关于对称,
因为对任意,,都有,
所以函数在上为减函数,
则,
两边平方解得.
即实数a的取值范围是,
故选A.
19.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了函数的定义域和值域,函数的定义,属基础题.
利用图中选项进行求解即可得.
【解答】
解:
由题中选项可得:
取不到;
B:
取不到;
C:
定义域
,
,;
表示的不是函数的图象,存在一个自变量x对应两个y值情况;
故选ABD.
20.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的基本概念,属于基础题.
从定义域,解析式方面判断即可.
【解答】
解:
A中,的定义域为R,的定义域为,故A不是同一函数;
B中,的定义域为,故不是同一函数;
C中,的定义域为R,的定义域为R,对应法则相同,故C是同一函数;
D中,的定义域为R,的定义域为,故D不是同一函数;
故选ABD.
21.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的性质,属于基础题.
根据二次函数的对称轴为,讨论a的取值可得答案.
【解答】
解:
因为,
若时,可得的值域为,
若时,可得的值域为 ,
又因为在时的最小值为,
故选AC.
22.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的表示方法,属于基础题.
根据表格,逐项代入判断即可.
【解答】
解:
当时,,所以,故不正确;
当时,,所以,故正确;
当时,,所以,故正确;
当时,,所以,故正确;
故选BCD.
23.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查函数定义与表示,属于中档题.
逐个判断可得答案.
【解答】
解:
对于A,B取,,可得,故A,、B都是具有性质P的函数;
对于C,无论取R内任何数值,都不可能得到,故C是不具有性质P的函数;
对于D,取,,可得,故D为具有性质P的函数,
故选ABD.
24.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.
利用基本不等式的性质逐个判断即可得出答案.
【解答】
解:
当时,,当且仅当时等号成立,其最小值是2,正确;
B.,正确.
C.,因此不成立;
D.当时,,
当且仅当时取等号,其最大值为;
当时,,
当且仅当时取等号.
故无最大值,不正确.
故选AB.
25.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的定义域及值域,是一道基础题,新定义一定要读懂题意,再进行求解.
理解若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同族函数”的定义,根据例子判定四个选项的函数即可.
【解答】
解:
对当和时,的值域都是,所以是“同族函数”,A正确;
对当和时,的值域都是,所以是“同族函数”,B正确;
对的定义域是,当时,,且是单调递减的,当时,,也是单调递减的,故不可能成为“同族函数”,所以C错误;
对当和时,的值域都是,所以D正确.
故选ABD.
26.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的应用,要注意应用条件的检验.
结合基本不等式的一正、二定、三相等的条件检验各选项即可判断.
【解答】
解:
不等式恒成立的条件是,,故A不正确;
由基本不等式可知,当且仅当时,等号成立,故B正确;
对于,
当且仅当,即时取等号,故C不正确
当a为负数时,不等式,
当且仅当时,等号成立,故D正确.
故选AC.
27.【答案】ABCD
【解析】
【分析】
本题考查了不等式求解、充分必要条件判断、基本不等式求解最值,考查推理能力,属于中档题.
本题考察答案不正确的选项,只能一个一个个判断.
【解答】
解:
显然当时,恒成立,于是的解是。
因此A选项不正确。
令,当时,恒有成立,所以“”是“”的充要条件不成立,因此B选项不正确.
由题意,对不等式去绝对值得到,解得因此当时,对“”有“”不一定成立如,反之成立于是“”是“”的必要不充分条件因此C选项不正确。
由题意,变式得,根据均值不等式,当且仅当,即时等号成立,但是显然等号不成立,因此D选项不正确.
综上,本题叙述不正确的选项为A、B、C、D,
故选ABCD.
28.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查分段函数函数的最值问题,属于中档题.
由可得,再利用函数的图像即可求解.
【解答】
解:
由知,
当,即当时,;
当,即当或时,,
因此
即
作出其图象如图所示,
观察图象可以发现,,无最小值,
故选ABD.
29.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查了函数对称性、值域和函数的零点与方程的根的关系,属于中档题.
先根据几何意义可以求函数的值域,进而判断AC选项,再结合可判断B选项,对于D选项,把当做整体换元令,先把t解出来,进而解出x无解,即可判断D选项.
【解答】
解:
对于C选项,由题意知而,
所以,即函数 的值域为
故C正确;
对于A选项,由函数的值域可知函数只有最小值,无最大值,故不可能是中心对称图形,
故A错误;
对于B选项,因为,
,
所以,即函数关于 对称,
故B正确;
对于D选项,设,则方程,等价为,
即,解得,或,
又因为函数 的值域为
所以,所以当或时,不成立,
所以方程无解,故D错误.
故选:
BC.
30.【答案】AC
【解析】
【分析】
此题考查通过几何图形对重要不等式的证明,关键点找到图中的线段长度关系,属于一般性题目.
由线段长度关系,可以求解.
【解答】
解:
由,
由射影定理可知:
,
又
,A正确;
由射影定理可知:
,
即
又,即,
C正确;
故选AC.
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