高中数学《简单旋转体》导学案.docx
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高中数学《简单旋转体》导学案
1.1 简单旋转体
[学习目标] 1.通过实物操作,增强直观感知. 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类. 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征. 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.
【主干自填】
几种简单旋转体
【即时小测】
1.思考下列问题
(1)铅球和乒乓球都是球吗?
提示:
铅球是球,乒乓球不是球,铅球是实心球,符合球的定义,乒乓球是空心球,不符合球的定义.
(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗?
提示:
它们的底面都不是圆,而是圆面.
2.用一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A.圆柱B.圆锥
C.球D.圆台
提示:
C 由球的性质可知,用平面截球所得截面都是圆面.
3.给出下列命题:
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的.
其中正确的是( )
A.①②B.②③
C.①③D.②④
提示:
D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知,②④正确,①③错误.
例1 有下列说法:
①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体;
②球的直径是球面上任意两点间的连线;
③用一个平面截一个球,得到的是一个圆;
④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球.
其中正确的序号是________.
[解析] 球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的,因此①正确;如果球面上的两点连线经过球心,则这条线段就是球的直径,因此②错误;球是一个几何体,平面截它应得到一个面而不是一条曲线,所以③错误;空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面,而不是一个球体,所以④错误.
[答案] ①
类题通法
透析球的概念
(1)球是旋转体,球的表面是旋转形成的曲面,球是球面及其内部空间组成的几何体,球体与球面是两个不同的概念,用一个平面截球得到的是圆面而不是圆.
(2)根据球的定义,篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字,但它们都是空心的,不符合球的定义.
下列命题:
①球面上四个不同的点一定不在同一平面内;
②球面上任意三点可能在一条直线上;
③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面.
其中正确的命题序号为________.
答案 ③
解析 ①中作球的截面,在截面圆周上任取四点,则这四点在同一平面内,所以①错;②球面上任意三点一定不能共线,所以②错;③由球的定义可知③正确.
例2 下列命题:
①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台;
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱的任意两条母线平行;
④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥.
其中正确命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
[解析] 本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念,关键理解它们的形成过程.①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台;②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台;③、④显然都正确.
[答案] C
类题通法
透析几种旋转体的概念
解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义,所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记.
圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的,圆柱和圆台有两个底面,圆柱的两个底面是半径相等的圆面,圆台的两个底面是半径不等的圆面,圆锥只有一个底面.
下列命题中:
①圆台的母线有无数条,且它们长度相同;②圆台的母线延长后一定相交于一点;③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面围成的几何体;④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球.正确命题的序号是________.
答案 ①②③④
解析 由圆台与球的定义可知①②③④都对.
例3 如下图,用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上下底面半径的比是1∶4,截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长.
[解] 如图,设圆台的母线长为ycm,截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是xcm,4xcm,根据相似三角形的性质得
=
,
解此方程得y=9,
因此,圆台的母线长为9cm.
类题通法
处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面,在轴截面中去寻找各元素的关系,常利用相似三角形去寻找等量关系.
圆锥的轴截面是正三角形,它的面积是
,则圆锥的高与母线的长分别为________.
答案
,2
解析 设正三角形的边长为a,则
a2=
,∴a=2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高,所以所求的高为
a=
,圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边,所以母线长为2.
易错点⊳空间位置关系考虑不全导致漏解
[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π,试求这两个截面间的距离.
[错解] 如图
(1),设球的球心为O,C,D分别为两截面圆的圆心,AB为经过C,O,D的球的直径,
由题意知两截面圆的半径分别为6和8.
在Rt△COE中,OC=
=8.
在Rt△DOF中,OD=
=6.
所以CD=OC-OD=8-6=2.
故这两个截面间的距离为2.
[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误.
事实上,两个截面既可以在球心的同侧,也可以在球心的两侧.
[正解] 如图
(1)
(2),设球的球心为O,C,D分别为两截面圆的圆心,AB为经过C,O,D的球的直径,
由题意知两截面圆的半径分别为6和8.
当两截面在球心同侧时,
CD=OC-OD=
-
=2.
当两截面在球心两侧时,
CD=OC+OD=
+
=14.
所以这两个截面间的距离为2或14.
课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用,切实体会空间几何平面化的思想.
1.图1是由哪个平面图形旋转得到的( )
答案 D
解析 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥,因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成,并且上面应是直角三角形,下面应是直角梯形.
2.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周,所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )
A.一个圆台和两个圆锥B.两个圆台和一个圆锥
C.两个圆柱和一个圆锥D.一个圆柱和两个圆锥
答案 D
解析 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,由旋转体的定义可知所得几何体.
3.给出下列四个命题:
①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体;
②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台;
③通过圆台侧面上一点,有无数条母线.
其中正确命题的序号是________.
答案 ②
解析 ①错误,没有说明这两个平行截面的位置关系,当这两个平行截面与底面平行时正确,其他情况则结论是错误的,如图
(1);②正确,如图
(2);③错误,通过圆台侧面上一点,只有一条母线,如图(3).
4.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,则这个截面的面积为________.
答案 9π
解析 如下图,
把圆台还原成圆锥,设截面⊙O1的半径为r,因为圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,所以上底面半径为1,下底面半径为4,所以
=
.设SO=x,则SO2=4x,从而OO2=3x.因为OO1∶O1O2=2∶1,所以OO1=2x,则SO1=SO+OO1=3x.在△SBO1中,
=
=
,所以r=3,因此截面的面积是9π.
时间:
25分钟
1.给出以下说法:
①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变),圆台就变成了圆锥;②球面就是球;③过空间四点总能作一个球.其中正确说法的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确;球面是曲面,球是球体的简称,是实心的几何体,故②不正确;当空间四点在同一条直线上时,过这四点不能作球,故③不正确.
2.如图阴影部分,绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个棱柱
答案 B
解析 按旋转体的定义得到几何体B.
3.有下列三个命题:
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体;
②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交也可能不相交;
③圆锥的轴截面是等腰三角形.
其中错误命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 C
解析 ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱.②圆台的两条母线的延长线必相交,故①②错误,③是正确的.
4.如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是( )
A.
(1)
(2)B.
(1)(3)C.
(1)(4)D.
(1)(5)
答案 D
解析 轴截面为
(1),平行于圆锥轴截面的截面是(5).
5.下列命题中,错误的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C.圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D.圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形
答案 B
解析 当圆锥的截面顶角大于90°时,面积不是最大.
6.圆锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则此圆锥的高被分成的两段之比为( )
A.1∶2B.1∶4
C.1∶(
+1)D.1∶(
-1)
答案 D
解析 根据相似性,若截面面积与底面面积之比为1∶2,则对应小圆锥与原圆锥高之比为1∶
,那么圆锥的高被截面分成的两段之比为1∶(
-1).
7.一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的( )
答案 B
解析 由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切,而与两侧棱相离,故正确答案为B.
8.将等边三角形绕它的一条中线旋转180°,形成的几何体是________.
答案 圆锥
解析 由旋转体的概念可知,得到的几何体是圆锥.
9.圆台两底面半径分别是2cm和5cm,母线长是3
cm,则它的轴截面的面积是________.
答案 63cm2
解析 画出轴截面,如图,过A作AM⊥BC于M,则BM=5-2=3(cm),
AM=
=9(cm),
∴S四边形ABCD=
=63(cm2).
10.如图所示的四个几何体中,哪些是圆柱与圆锥,哪些不是,并指出圆柱与圆锥的结构名称.
解 ②是圆锥,圆面AOB是圆锥的底面,SO是圆锥的高,SA,SB是圆锥的母线.
③是圆柱,圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面,O′O为圆柱的高,A′A与B′B为圆柱的母线.
①不是圆柱,④不是圆锥.
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