北师大版数学六年级知识点整理.docx
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北师大版数学六年级知识点整理
第一单元圆
圆概念总结
1.圆的定义:
平面上的一种曲线图形。
2.将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等。
例:
圆就是平面上的一种( 曲线 )图形,将一张圆形纸片至少对折( 两 )次可以得到这个圆的圆心。
3.半径:
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就就是圆的半径。
例:
要画一个周长就是31、4厘米的圆,圆规两角之间的距离就是( 5)厘米。
4.圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。
例:
( 半径)决定圆的大小;( 圆心 )决定圆的位置。
5.直径:
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
例:
圆中最长的线段就是圆的(直径)。
6.在同一个圆内,所有的半径都相等,所有的直径都相等。
7.在同一个圆内,有无数条半径,有无数条直径。
例:
圆有(无数)条半径,(无数)条直径,(无数)条对称轴。
8.在同一个圆内,直径的长度就是半径的2倍,半径的长度就是直径的一半。
用字母表示为:
d=2rr=
d
用文字表示为:
半径=直径÷2直径=半径×2
例:
画一个直径4厘米的圆,那么圆规两脚间的距离应该就是( 2 )厘米。
9.圆的周长:
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10.圆的周长总就是直径的3倍多一些,这个比值就是一个固定的数。
我们把圆的周长与直径的比值叫做圆周率,用字母
表示。
圆周率就是一个无限不循环小数。
在计算时,取
3、14。
世界上第一个把圆周率算出来的人就是我国的数学家祖冲之。
例:
圆的周长就是它的直径的( 3 )倍多一些,这个倍数就是一个固定的数,我们把它叫( 圆周率 ),常用字母( π )表示。
它就是一个( 无限不循环 )小数,取两位小数就是( 3、14 )。
11.圆的周长公式:
C=πd或C=2
r
圆周长=
×直径圆周长=
×半径×2
例:
一个圆形养鱼池,直径就是4米,这个鱼池的周长就是多少米?
解:
C=πd=4米×π=4π米
答:
这个鱼池的周长就是4π米。
12.圆的面积:
圆所占面积的大小叫圆的面积。
13.把一个圆割成一个近似的长方形,割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半,用字母(
r)表示,宽相当于圆的半径,用字母(r)表示,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=
r×r。
圆的面积公式:
S=
r²。
例:
把一个圆平均分成若干份,可以拼成一个近似于长方形。
长方形的长相当于圆( 周长的一半 ),宽相当于圆的( 半径 ),所以圆的面积S=(
r² )。
14.圆的面积公式:
S=
r² 或者S=
(d
2)²或者S=
(C
2)²
例:
一个半圆形池塘,它的直径就是4米,求它的面积。
解:
S=
(d
2)²÷2
=2π㎡
答:
面积就是2π平方米
15.在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。
例:
边长为4厘米的正方形中画一个最大的圆,这个圆的面积就是(4π)
。
16.在一个长方形里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。
例:
在一个长8厘米、宽5厘米的长方形纸板上剪一个最大的圆,圆的面积就是( 6、25π )平方厘米。
17.一个环形,外圆的半径就是R,内圆的半径就是r,它的面积就是S=
R²-
r² 或 S=
(R²-r²)。
(其中R=r+环的宽度.)
例:
在一个直径就是2米的圆形水池四周修一条宽1米的石子路,石子路的面积就是多少?
解:
r=2米÷2=1米R=1米+1米=2米
S=
R²-
r²
=
(2²-1²)㎡
=3π㎡
答:
石子路的面积就是3π㎡。
18.半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径,而圆周长的一半没有直径。
半圆的周长公式:
C=
d
2+d 或 C=
r+2r
圆周长的一半=
r
例:
半圆的周长就就是用圆的周长除以2。
( ×)
19.半圆面积=圆的面积
2 公式为:
S=
r²
2
例:
一个半径为20米的舞台,面积就是多少?
解:
S=πr²÷2
=π×20×20÷2
=200π㎡
答:
舞台的面积就是200π㎡。
20.在同一个圆里,半径扩大或缩小多少倍,直径与周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。
例:
在同一个圆里,半径扩大4倍,那么直径与周长就都扩大(4)倍,而面积扩大(16)倍。
21.两个圆的半径比等于直径比等于周长比,而面积比等于以上比的平方。
例如:
两个圆的半径比就是2:
3,那么这两个圆的直径比与周长比都就是2:
3,而面积比就是4:
9。
22.圆周长与直径的比就是
:
1,比值就是
;
圆周长与半径的比就是2
:
1,比值就是2
;
例:
已知一个圆形跑到的周长就是1256米,求该圆的直径与半径。
解:
d=c÷π=1256÷3、14=400米
r=c÷2π=200米
答:
圆的直径与周长分别就是400米与200米。
23.当一个圆的半径增加a厘米时,它的周长就增加2
a厘米;
当一个圆的直径增加a厘米时,它的周长就增加
a厘米。
例:
一个半径为3米的圆,半径增加1米,周长增加多少米?
解:
C1=2πr=6π米
C2=2πr=8π米
增加量:
C2-C1=8π-6π=2π米
答:
周长增加了2π米。
24.在同一圆中,圆心角占圆周角的几分之几,它所在扇形面积就占圆面积的几分之几;所对的弧就占圆周长的几分之几。
25.当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆的面积最大,长方形的面积最小。
26.扇形弧长公式:
扇形的面积公式:
S=
r²(n为扇形的圆心角度数,r为扇形所在圆的半径)
例:
一个圆心角就是90°的扇形,半径就是4厘米,面积就是多少?
解:
90°÷360°×πr²=4π平方厘米
答:
面积就是4π平方厘米。
27.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
28.有一条对称轴的图形有:
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
有2条对称轴的图形就是:
长方形
有3条对称轴的图形就是:
等边三角形
有4条对称轴的图形就是:
正方形
有无数条对称轴的图形就是:
圆、圆环。
29.直径所在的直线就是圆的对称轴。
例:
圆就是( 轴对称)图形,有(无数)条对称轴。
半圆有
(1)条对称轴。
第二单元 百分数应用题
(一)百分数的基本概念
1.百分数的定义:
表示一个数就是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。
百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系,不表示具体的数量,所以百分数不能带单位。
2.百分数的意义:
表示一个数就是另一个数的百分之几。
例如:
25%的意义:
表示一个数就是另一个数的25%。
3.百分数通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示。
分子部分可为小数、整数,可以大于100,小于100或等于100。
例:
初一八班有54人,某次体育测试,54人达标,那么初一八班体育达标率就是多少?
解:
54÷54×100%=100%
答:
体育达标率为100%。
4.小数与百分数互化的规则:
把小数化成百分数,只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号;
把百分数化成小数,只要把百分号去掉,同时把小数点向左移动两位。
5.百分数与分数互化的规则:
把分数化成百分数,通常先把分数化成小数(除不尽的保留三位小数),再把小数化成百分数;
把百分数化成分数,先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。
=(0、4)=( 40)%
(二)百分数应用题
百分数应用题
(一)
求增加百分之几?
减少百分之几?
公式:
增加百分之几=增加的部分÷单位1
减少百分之几=减少的部分÷单位1
例:
1、45立方厘米的水结成冰后,冰的体积为50立方厘米,冰的体积比原来水的体积增加百分之几?
解题思路:
根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1;
先确定单位1就是水,已经知道就是45;增加的部分不知道,可以利用50减45求得5;最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。
计算步骤:
第一步:
单位1:
水:
45立方厘米
第二步:
增加的部分:
50—45=5立方厘米
第三步:
增加百分之几:
5÷45=11、1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题
(二)
比一个数增加百分之几的数,比一个数减少百分之几的数。
例1、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年增加了25%,今年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年已经知道用乘法,增加用(1+25%)
算式:
80×(1+25%)
2、某小学去年有80名学生,今年的学生人数比去年减少了25%,今年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年已经知道用乘法,减少用(1-25%)
算式:
80×(1-25%)
3、某小学今年有100名学生,比去年增加了25%,去年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年不知道用除法,增加用(1+25%)
算式:
100÷(1+25%)
4、某小学今年有100名学生,比去年减少了25%,去年有多少名学生?
解题思路:
单位1去年不知道用除法,增加用(1-25%)
算式:
100÷(1-25%)
百分数应用题(三)列方程解百分数应用题
1、小明瞧一本书,第一天瞧了全书的25%,第二天瞧了全书的20%,第一天比第二天多瞧20页,这本书一共有多少页?
解题思路:
单位1一本书不知道,可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多瞧20页”可以知道第一天就是多的,第二天就是少的,第一天减去第二天等于多出的20页。
等量关系式:
(第一天)—(第二天)=20页
方法1:
解:
设这本书一共有X页。
由“第一天瞧了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25%,用X可以表示为25%X,由“第二天瞧了全书的20%”可以知道第二天等于全书乘以20%,用X可以表示为20%X、依据等量关系式“第一天—第二天=20页”
可以列方程为:
25%X—20%X=20
方法2:
“第一天比第二天多瞧20页”可以知道20页就是第一天与第二天的差。
要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为:
20÷(25%—20%)
2、小明瞧一本书,第一天瞧了全书的25%,第二天瞧了全书的20%,两天共瞧了20页,这本书一共有多少页?
等量关系式:
由“两天共瞧了20页”可以知道(第一天)+(等二天)=20页。
方程法:
解:
设这本书共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。
方程列为:
25%X+20%X=20
算术法:
由“两天共瞧了20页”可以知道20页就是第一天与第二天的与,要求单位1只要用20页除以20页的对于分率。
列算式为:
20÷(25%+20%)
3、小明瞧一本书,第一天瞧了全书的25%,第二天瞧了全书的20%,还剩20页,这本书一共有多少页?
等量关系式:
(一本书)—(第一天)—(第二天)=20页
方程法:
解设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为20%X。
列方程为:
X—25%X—20%X=20
算术法:
20÷(1-25%-20%)
4、小明瞧一本书,第一天瞧了全书的25%,第二天比第一天多瞧10页,还剩20页,这本书一共有多少页?
方程法:
解:
设这本书一共有X页,则第一天为25%X,第二天为(25%X+10)页。
列方程为:
X—25%X—(25%X+10)=20
百分数应用题(四)
利息的计算
1、本金:
存入银行的钱叫做本金。
2.利息:
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息=本金×利率×时间
3.2008年10月9日以前国家规定,存款的利息要按20%的税率纳税。
国债的利息不纳税。
2008年10月9日以后免收利息税。
所以如无特殊说明,就不在计算利息税。
4.利率:
利息与本金的比值叫做利率。
5.银行存款税后利息的计算公式:
税后利息=利息×(1-20%)
6.国债利息的计算公式:
利息=本金×利率×时间
7.本息:
本金与利息的总与叫做本息。
8.应纳税额:
缴纳的税款叫应纳税额。
9.税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
10.应纳税额的计算:
应纳税额=各种收入×税率
例如:
李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4、14%计算,到期时,李老师的本金与利息共有多少元?
解题思路:
要求“本金与利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤:
第一步:
根据“利息=本金×利率×时间”算利息
利息:
2000×4、14%×5=414元
第二步:
本金+利息:
2000+414=2414元。
例如:
李老师把2000元钱存入银行,整存整取五年,年利率按4、14%计算,到期时,李老师的本金与利息共有多少元?
(如果利息按20%来上税)
解题思路:
要求“本金与利息共有多少元”应该用本金的2000元加上利息的。
解题步骤:
第一步:
根据“利息=本金×利率×时间”算利息
利息:
2000×4、14%×5=414元
第二步:
算税后利息:
414×(1—20%)=331、2元
本金+利息:
2000+331、2=2331、2元。
第三章图形的变换
1、图形变换的三种方法:
第一种平移:
要说明向什么方向(上、下、左、右)平移几个单位。
第二种旋转:
要说明绕哪个点,顺时针还就是逆时针,旋转多少度(90度、180度、270度)
第三种作对称图形:
要说明就是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。
2、比赛场次、握手次数的计算
第一步:
首先要算出有多少个人(或多少支队伍)进行比赛。
有多少个人进行握手。
第二步:
计算比赛场次、握手次数。
例如:
如果就是5人,从1加到4,如果就是6人,从1加到5,如果就是8人,从1加到7,如果就是100人,从1加到99、
3、计算起跑线。
例如:
第一道的弯道半径就是36米,每个道的跑道宽度就是1、2米
那么:
第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1、2。
第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1、2+1、2
第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1、2+1、2+1、2
第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1、2+1、2+1、2+1、2
不同的两个道的起跑点相差多少米的算法:
第一步:
先算出要跑几圈。
第二步:
计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。
第三步:
有两个道的圆周长相减,就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米。
第四步:
用这个相差数×要跑的圈数。
第四章比的认识
(一)比的基本概念
1.两个数相除又叫做两个数的比。
比的前项除以后项所得的商,叫做比值。
2.比值通常用分数、小数与整数表示。
3.比的后项不能为0。
4.同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;
5.根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。
6.比的基本性质:
比的前项与后项同时乘上或者同时除以相同的数(0除外),比值不变。
(二)求比值
求比值:
用比的前项除以比的后项
例如:
36分:
1小时=0、68立方分米:
2立方分米=4
(三)化简比
化简比:
用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,在把分数比值改成比。
例如:
12:
16=3:
4
(四)比的应用
1、比的第一种应用:
已知两个或几个数量的与,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量就是多少?
例如:
六年级有60人,男女生的人数比就是5:
7,男女生各有多少人?
题目解析:
60人就就是男女生人数的与。
解题思路:
第一步求每份:
60÷(5+7)=5人
第二步求男女生:
男生:
5×5=25人女生:
5×7=35人。
2、比的第二种应用:
已知一个数量就是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量就是多少?
例如:
六年级有男生25人,男女生的比就是5:
7,求女生有多少人?
全班共有多少人?
题目解析:
“男生25人”就就是其中的一个数量。
解题思路:
第一步求每份:
25÷5=5人
第二步求女生:
女生:
5×7=35人。
全班:
25+35=60人
3、比的第三种应用:
已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量就是多少?
例如:
六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人),男女生的比就是7:
5,男女生各有多少人?
全班共有多少人?
题目解析:
“男生比女生多20人”就就是两个量的差。
解题思路:
第一步求每份:
20÷(7-5)=10人
第二步求男生、女生、全班总人数:
女生:
10×5=50人,
男生:
10×7=70人,全班:
50+70=120人
4、要求量=已知量×
5、比在几何里的运用:
(1)已知长方形的周长,长与宽的比就是a:
b。
求长与宽、面积。
长=周长÷2×
宽=周长÷2×
面积=长×宽
(2)已知已知长方体的棱长与,长、宽、高的比就是a:
b:
c。
求长、宽、高、体积
长=周长÷4×
宽=周长÷4×
高=周长÷4×
体积=长×宽×高
(3)已知三角形三个角的比就是a:
b:
c,求三个内角的度数。
三个角分别为:
180×
180×
180×
(4)已知三角形的周长,三条边的长度比就是a:
b:
c,求三条边的长度。
三条边分别为:
周长×
周长×
周长×
第五章圆柱与圆锥
一、 面的旋转
1、“点、线、面、体”之间的关系就是:
点的运动形成线;线的运动形成面;面的旋转形成体。
2、圆柱的特征:
(1)圆柱的两个底面就是半径相等的两个圆。
(2)两个底面间的距离叫做圆柱的高。
(3)圆柱有无数条高,且高的长度都相等。
3、圆锥的特征:
(1)圆锥的底面就是一个圆。
(2)圆锥的侧面就是一个曲面。
(3)圆锥只有一条高。
二、 圆柱的表面积
1、沿圆柱的高剪开,圆柱的侧面展开图就是一个长方形(或正方形)。
(如果不就是沿高剪开,有可能还会就是平行四边形)
2、圆柱的侧面积=底面周长×高,用字母表示为:
S侧=ch。
3、圆柱的侧面积公式的应用:
(1)已知底面周长与高,求侧面积,可运用公式:
S侧=ch;
(2)已知底面直径与高,求侧面积,可运用公式:
S侧=ðdh;
(3)已知底面半径与高,求侧面积,可运用公式:
S侧=2ðrh
4、圆柱表面积的计算方法:
如果用S侧表示一个圆柱的侧面积,S底表示底面积,d表示底面直径,r表示底面半径,h表示高,那么这个圆柱的表面积为:
S表=S侧+2S底
或S表=ðdh+ðd²/2
或S表=2ðrh+2ðr2
5、圆柱表面积的计算方法的特殊应用:
(1)圆柱的表面积只包括侧面积与一个底面积的,例如无盖水桶等圆柱形物体。
(2)圆柱的表面积只包括侧面积的,例如烟囱、油管等圆柱形物体。
三、 圆柱的体积
1、 圆柱的体积:
一个圆柱所占空间的大小。
2、 圆柱的体积=底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积,S表示底面积,h表示高,那么V=Sh。
3、 圆柱体积公式的应用:
(1) 计算圆柱体积时,如果题中给出了底面积与高,可用公式:
V=Sh。
(2) 已知圆柱的底面半径与高,求体积,可用公式:
V=ðr2h;
(3) 已知圆柱的底面直径与高,求体积,可用公式:
V=ð(d/2)2h;
(4) 已知圆柱的底面周长与高,求体积,可用公式:
V=ð(C/2ð)2h;
4.圆柱形容器的容积=底面积×高,用字母表示就是V=Sh。
5、圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。
四、 圆锥的体积
1、 圆锥只有一条高。
2、 圆锥的体积=1/3×底面积×高。
如果用V表示圆锥的体积,S表示底面积,h表示高,则字母公式为:
V=1/3Sh
3、 圆锥体积公式的应用:
(1)求圆锥体积时,如果题中给出底面积与高这两个条件,
可以直接运用“v=1/3Sh”这一公式。
(2)求圆锥体积时,如果题中给出底面半径与高这两个条件,
可以运用1/3πr²h
(3)求圆锥体积时,如果题中给出底面直径与高这两个条件,
可以运用1/3π(d/2)²h
(4)求圆锥体积时,如果题中给出底面周长与高这两个条件,
可以运用1/3π(c/2π)²h
第六章正比例与反比例
一、 变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量,一种量变化,另一种量也随着变化。
二、 正比例
1、 正比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
如果用字母x与y表示两种相关联的量,用字母k表示它们的比值(一定),正比例关系可以表示为:
y/x=k(一定)。
2、 应用正比例的意义判断两种量就是否成正比例:
有些相关联的量,虽然也就是一种量随着另一种量的变化而变化,但它们相对应的数的比值不一定,就不成正比例,例如:
被减数与差,正方形的面积与边长等。
三、 画一画
正比例的图像就是一条直线。
四、 反比例
1、 反比例的意义:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们的关系叫做反比例关系。
如果用字母x与y表示两种相关联的量,用k表示它们的乘积,反比例的关系式可以表示为:
x·y=k(一定)。
2、 判断两个量就是不就是成反比例:
要先想这两个量就是不就是相关联的量;再运用数量关系式进行判断,瞧这两个量的积就是否一定;最后作出结论。
例:
A、B、C三种量的关系就是:
A×B=C
(1)如果A一定,那么B与C成(正)比例;
(2)如果B一定,那么A与C成(正)比例;
(3)如果C一定,那么A与B成(正)比例.
五、观察与探究
当两个变量成反比例关系时,所绘成的图像就是一条光滑曲线。
六、图形的放缩
一幅图放大或缩小,只有按照相同的比来画,画的图才像。
七、比例尺
1、 比例尺:
图上距离与实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=实际距离×比例尺实际距离=图上距离÷比例尺
例:
在一幅地图上量得甲乙两地距离6厘米,乙丙两地距离8厘米;已知甲乙两地间的实际距离就是120千米,乙丙两地间的实际距离就是( 160)千米;这幅地图的比例尺就是(1:
2000000)。
2、 比例尺的分类:
比例尺根据实际距离就是缩小还就是扩大,分为缩小比例尺与放大比例尺。
根据表现形式的不同,比例尺还可分为线段比例尺与数值比例尺。
例:
一种微型零件的长5毫米,画在图纸上长20厘米,这幅图的比例尺就是(40:
1)。
3、 比例尺的应用:
(1)、已知比例尺与图上距离,求实际距离
比例尺=图上距离÷实际距离
图上距离=实际距离×比例尺
实际距离=图上距离÷比例尺
例如:
在比例尺就是1:
400000
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