八年级数学同步培优竞赛详附答案第十五讲平行四边形.docx
- 文档编号:11352111
- 上传时间:2023-02-28
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:371.75KB
八年级数学同步培优竞赛详附答案第十五讲平行四边形.docx
《八年级数学同步培优竞赛详附答案第十五讲平行四边形.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《八年级数学同步培优竞赛详附答案第十五讲平行四边形.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
八年级数学同步培优竞赛详附答案第十五讲平行四边形
名师第十五讲平行四边形
平行四边形是一类特殊的四边形,它的特殊性体现在边、角、对角线上,矩形、菱形是特殊的平行四边形,矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等,所以,它们既有平行四边形的性质,又有各自特殊的性质.
对角线是解决四边形问题的常用线段,对角线本身的特征又可以决定四边形
的形状、大小,连对角线后,平行四边形就产生特殊三角形,因此解平行四边形相关问题时,既用到全等三角形法,特殊三角形性质,又要善于在乎行四边形的背景下探索问题,利用平行四边形丰富的性质为解题服务.
熟悉以下基本图形、基本结论:
例题求解
【例1】如图,在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,那么PE+PF的值为.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨分别求出PE、PF困难,△AOD为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质,则问题迎刃而解.
注特殊与一般是对立统一的,在一定条件下可以互相转化,相对于一般而言,特殊的事物往往更简单、更直观、更具体.因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质,所以人们也往往通过一般去了解特殊.
一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中,不斩地得到延伸与拓展.
【例2】已知四边形ABCD,从下列条件中:
(1)AB∠CD,
(2)BC∥AD;(3)AB=CD;(4)BC=AD;(5)∠A=∠C;(6)∠B=∠D.
任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有()
A.4种B.9种C.13种D.15种
(山东省竞赛题)
思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定.
【例3】】如图,在△ADC中,∠DAC=90°,AD⊥BC,DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于G,求证:
GF∥AC.
(湖北省荆州市中考题)
思路点拨从角的角度证明困难,连结CF,在四边形AGFE的背景下思考问题,证明四边形AGFE为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形.
【例4】如图,设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,PG⊥EF于G点,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,求证:
BC⊥BD,且BC=BD.
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨尽管图形复杂,但证明目标明确,只需证明△CPB≌△DPB,应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形,充分运用它们的性质为证题服务.
【例5】如图,在
等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE
,恰有AD=BC=CE=DE.求∠BAC的度
数.
(北京市竞赛题)
思路点拨题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数,相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.
注课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方
面探讨的,一般情况是,从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类,任意组合就产生许多判定平行四边形的命题.其中有真命题与假命题,对于假命题,要善于并熟悉构造反例.
构造反例是学习数学的一种重要技能,可以帮助我们理解概念.培养推理能力,数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例.
若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素,则通过作平行线,构造平行四边形,这是解四边形问题的常用技巧,这是由于平行四边形能使角的位置更理想,送线段到恰当
的地方,使线段比良性传递.
学力训练
1.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需要增加的一个条件是(填上你认为正确的一个即可,不必考
虑所有可能情形)
(宁波市中考题)
2.
(1)如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若∠DAE:
∠BAE=3:
1,则∠CAC=;(河南省中考题)
(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm和3cm两部分,则这个矩形的面积
为cm2.(武汉市中考题)
3.如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF.
(1)四边形ADEF是;
(2)当△ABC满足条件
时,四边形ADEF为矩形;
(3)当△ABC满足条件时,四边形ADEF不存在.(2000年贵州省中考题)
4.已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1,另两边之和为1+
,则这两边
之积为.(2001年天津市选拔赛试题)
5.四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其
中a、c为对边,且满足
,则这个四边形一定是()
A.平行四边形B.两组对角分别相等的四边形
C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形
6.如图,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为(
)
A.98
B.196C.280D.284
(湖北省荆州市中考题)
7.如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为()
A.12
mB.20mC.22mD.24m
(吉林省中考题)
8.在凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+DA,则()
A.AD>BCB.AD C.AD=BCD.AD与BC的大小关系不能确定 (“希望杯”邀请赛试题) 9.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别是BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADC. (1)求证: △ACD≌△CNBF; (2)当D在线段BC上何处时,四边形CDEF为平行四边形,且∠DEF=30°? 证明你的结论.(南通市中考题) 10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于C,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论. (黑龙江省中考题) 11.如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证: CO=FO; (2)当点O运动到何处时,四边 形AECF是矩形? 并证明你的结论. (3)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形? 12.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF、GH的交点P在BD上,图中有对四边形面积相等,它们是. (常州市中考题) 13.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,△AOB的周长为3+ ,∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为. 14.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则∠BOE=. 15.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为.(山东省竞赛题) 16.如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,则∠AED的大小是() A.60°B.65°C.70°D.75°(“希望杯”邀请赛试题) 17.如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E、F分别在BC、CD上,则∠B的度数是() A.70°B.75°C.80°D.95° (重庆市竞赛题) 18.如图,正方形ABCD外有一点P,P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间,若PA= ,PB= ,PC= ,则PD=( ) A.2 B. C.3 D. (“五羊杯”竞赛题) 19.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CZ⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF= 54°,则∠B=() A.54°B.60°C.66°D.72° (武汉市选拔赛试题) 20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连结DF,求DF的长. 21.如图,菱形的对角线AC与BD交于点O,延长BA到E,使AE= AB,连结OE,延长DE交CA的延长线于F.求证: OE= DF. 22.阅读下面短文: 如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个便点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个: 矩形ACBD和矩形AEFB(如图2). 解答问题; (1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为Sl、S2,则S1S2(填“>”,“=”或“<”); (2)如图3,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出个,利用图3把它画出来; (3)如图4,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它 补成矩形,则符合要求的矩形可以画出个,利用图4把它画出来; (4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小? 为什么? (陕西省中考题) 23.如图,在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P,求证: ∠BPM=45°. (杭州市“求是杯”竞赛题) 24.如图,在锐角△ABC中,AD、CZ分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连结PQ、DE. (1)求证;直线PQ是线段DE的垂直平分线; (2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明. (“希望杯”邀请赛试题) 名师第十五讲平行四边形 平行四边形是一类特殊的四边形,它的特殊性体现在边、角、对角线上,矩形、菱形是特殊的平行四边形,矩形的特殊性体现在有一个角是直角,菱形的特殊性体现在邻边相等,所以,它们既有平行四边形的性质,又有各自特殊的性质. 对角线是解决四边形问题的常用线段,对角线本身的特征又可以决定四边形 的形状、大小,连对角线后,平行四边形就产生特殊三角形,因此解平行四边形相关问题时,既用到全等三角形法,特殊三角形性质,又要善于在乎行四边形的背景下探索问题,利用平行四边形丰富的性质为解题服务. 熟悉以下基本图形、基本结论: 例题求解 【例1】如图,在矩形ABCD中,已知AD=12,AB=5,P是AD边上任意一点,PE⊥BD于E,PF⊥AC于F,那么PE+PF的值为. (全国初中数学联赛试题) 思路点拨分别求出PE、PF困难,△AOD为等腰三角形,若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质,则问题迎刃而解. 注特殊与一般是对立统一的,在一定条件下可以互相转化,相对于一般而言,特殊的事物往往更简单、更直观、更具体.因而人们常常通过特殊去认识一般;另一方面,一般概括了特殊,一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质,所以人们也往往通过一般去了解特殊. 一般与特殊,是知识之间联系的一种重要形式,知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中,不斩地得到延伸与拓展. 【例2】已知四边形ABCD,从下列条件中: (1)AB∠CD, (2)BC∥AD;(3)AB=CD;(4)BC=AD;(5)∠A=∠C;(6)∠B=∠D. 任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有() A.4种B.9种C.13种D.15种 (山东省竞赛题) 思路点拨根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定. 【例3】】如图,在△ADC中,∠DAC=90°,AD⊥BC,DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线,BE和AD交于G,求证: GF∥AC. (湖北省荆州市中考题) 思路点拨从角的角度证明困难,连结CF,在四边形AGFE的背景下思考问题,证明四边形AGFE为特殊平行四边形,证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形. 【例4】如图,设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,PG⊥EF于G点,延长GP并在其延长线上取一点D,使得PD=PC,求证: BC⊥BD,且BC=BD. (全国初中数学联赛试题) 思路点拨尽管图形复杂,但证明目标明确,只需证明△CPB≌△DPB,应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形,充分运用它们的性质为证题服务. 【例5】如图,在 等腰三角形ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE ,恰有AD=BC=CE=DE.求∠BAC的度 数. (北京市竞赛题) 思路点拨题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数,相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置. 注课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方 面探讨的,一般情况是,从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类,任意组合就产生许多判定平行四边形的命题.其中有真命题与假命题,对于假命题,要善于并熟悉构造反例. 构造反例是学习数学的一种重要技能,可以帮助我们理解概念.培养推理能力,数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例. 若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素,则通过作平行线,构造平行四边形,这是解四边形问题的常用技巧,这是由于平行四边形能使角的位置更理想,送线段到恰当 的地方,使线段比良性传递. 学力训练 1.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,点E、F在BD上,要使四边形AECF是平行四边形,还需要增加的一个条件是(填上你认为正确的一个即可,不必考 虑所有可能情形) (宁波市中考题) 2. (1)如图,已知矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E,若∠DAE: ∠BAE=3: 1,则∠CAC=;(河南省中考题) (2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm和3cm两部分,则这个矩形的面积 为cm2.(武汉市中考题) 3.如图,以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF. (1)四边形ADEF是; (2)当△ABC满足条件 时,四边形ADEF为矩形; (3)当△ABC满足条件时,四边形ADEF不存在.(2000年贵州省中考题) 4.已知一个三角形的一边长为2,这边上的中线为1,另两边之和为1+ ,则这两边 之积为.(2001年天津市选拔赛试题) 5.四边形的四条边长分别是a、b、c、d,其 中a、c为对边,且满足 ,则这个四边形一定是() A.平行四边形B.两组对角分别相等的四边形 C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形 6.如图,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为( ) A.98 B.196C.280D.284 (湖北省荆州市中考题) 7.如图,菱形花坛ABCD的边长为6m,∠B=60°,其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分的图形的周长(粗线部分)为() A.12 mB.20mC.22mD.24m (吉林省中考题) 8.在凸四边形ABCD中,AB∥CD,且AB+BC=CD+DA,则() A.AD>BCB.AD C.AD=BCD.AD与BC的大小关系不能确定 (“希望杯”邀请赛试题) 9.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别是BC、AB上的点,且CD=BF,以AD为边作等边△ADC. (1)求证: △ACD≌△CNBF; (2)当D在线段BC上何处时,四边形CDEF为平行四边形,且∠DEF=30°? 证明你的结论.(南通市中考题) 10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于C,M为BC的中点,试判断△MEF是什么形状的三角形,并证明你的结论. (黑龙江省中考题) 11.如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F. (1)求证: CO=FO; (2)当点O运动到何处时,四边 形AECF是矩形? 并证明你的结论. (3)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形? 12.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF、GH的交点P在BD上,图中有对四边形面积相等,它们是. (常州市中考题) 13.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O,△AOB的周长为3+ ,∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为. 14.如图,矩形ABCD的对角线相交于O,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则∠BOE=. 15.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处,则重叠部分△AFC的面积为.(山东省竞赛题) 16.如图,平行四边形ABCD中,∠ABC=75°,AF⊥BC于F,AF交BD于E,若DE=2AB,则∠AED的大小是() A.60°B.65°C.70°D.75°(“希望杯”邀请赛试题) 17.如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等,点E、F分别在BC、CD上,则∠B的度数是() A.70°B.75°C.80°D.95° (重庆市竞赛题) 18.如图,正方形ABCD外有一点P,P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间,若PA= ,PB= ,PC= ,则PD=( ) A.2 B. C.3 D. (“五羊杯”竞赛题) 19.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CZ⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF= 54°,则∠B=() A.54°B.60°C.66°D.72° (武汉市选拔赛试题) 20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,BC=2,D是AC的中点,以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E,以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连结DF,求DF的长. 21.如图,菱形的对角线AC与BD交于点O,延长BA到E,使AE= AB,连结OE,延长DE交CA的延长线于F.求证: OE= DF. 22.阅读下面短文: 如图1,△ABC是直角三角形,∠C=90°,现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点,第三个便点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个: 矩形ACBD和矩形AEFB(如图2). 解答问题; (1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为Sl、S2,则S1S2(填“>”,“=”或“<”); (2)如图3,△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出个,利用图3把它画出来; (3)如图4,△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB,按短文中的要求把它 补成矩形,则符合要求的矩形可以画出个,利用图4把它画出来; (4)在(3)中所画出的矩形中,哪一个的周长最小? 为什么? (陕西省中考题) 23.如图,在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,N在AC上,且AN=MC,AM与BN相交于P,求证: ∠BPM=45°. (杭州市“求是杯”竞赛题) 24.如图,在锐角△ABC中,AD、CZ分别是BC、AB边上的高,AD、CE相交于F,BF的中点为P,AC的中点为Q,连结PQ、DE. (1)求证;直线PQ是线段DE的垂直平分线; (2)如果△ABC是钝角三角形,∠BAC>90°,那么上述结论是否成立? 请按钝角三角形改写原题,画出相应的图形,并给予必要的说明. (“希望杯”邀请赛试题)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 八年 级数 同步 竞赛 答案 第十五 平行四边形