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勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
未命名
一、单选题
1.满足下列条件的,不是直角三角形的是()
A.B.
C.D.
2.在△ABC中,BC=7,AC=24,AB=25,如果CD是AB边上的高,则CD=()
A.7B.24C.25D.
3.的三边长分别为,下列条件:
①;②;③;④.其中能判断是直角三角形的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,1),点B的坐标为(11,1),点C到直线AB的距离为5,且△ABC是直角三角形,则满足条件的C点有( )
A.4个B.5个C.6个D.8个
5.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出( )
A.2个B.3个C.4个D.6个
6.如图所示,在的正方形网格中,的顶点,,均在格点上,则是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形
7.如图,大正方形是由49个边长为l的小正方形拼成的,A,B,C,D四个点是小正方形的顶点,由其中三个点为顶点的直角三角形的个数是()
A.1B.2C.3D.4
8.在△ABC中,AB=,BC=,AC=,则( )
A.∠A=90°B.∠B=90°C.∠C=90°D.∠A=∠B
9.如图,△ABC中,CD是AB边上的高,若AB=1.5,BC=0.9,AC=1.2,则CD的值是( )
A.0.72B.2.0C.1.125D.不能确定
10.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm,则这个三角形的面积为()
A.B.C.D.
11.下列结沦中,错误的有( )
①Rt△ABC中,已知两边分别为3和4,则第三边的长为5;
②三角形的三边分别为a、b、c,若a2+b2=c2,则∠A=90°;
③若△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:
5:
6,则这个三角形是一个直角三角形;
④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立,则M=4xy.
A.0个B.1个C.2个D.3个
12.已知,,是三角形的三边长,且,那么此三角形是()
A.以为斜边的直角三角形B.以为斜边的直角三角形
C.等腰直角三角形D.锐角三角形
13.若三角形的三边长分别为,,,且满足,则此三角形中最大的角是()
A.锐角B.直角C.钝角D.无法确定
二、填空题
14.如图,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC边上的中线AD=6,则△ABD的面积是______.
15.已知点的坐标为,点在轴上,且,那么点的坐标为_____.
16.如图所示,每个小正方形的边长为1,A、B、C是小正方形的顶点,则的度数为______.
17.若三角形的三边长是6,8,,当的值为________时,该三角形是直角三角形.
18.如图所示,点为的边上一点,,,,,则________.
三、解答题
19.如图,在中,,,,.
求的周长;
判断是否是直角三角形,并说明理由.
20.如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,BD=9,BC=15,AC=20.
(1)求CD的长;
(2)求AB的长;
(3)判断△ABC的形状.
21.如图所示,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=1,AD=5,且∠C=90°,求四边形ABCD的面积.
22.求知中学有一块四边形的空地ABCD,如下图所示,学校计划在空地上种植草皮,经测量∠A=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需要200元,问学校需要投入多少资金买草皮?
23.为了庆祝红宝石婚纪念日,詹克和凯丽全家举行聚会.詹克忽然发现他的年龄的平方与凯丽年龄的平方的差,正好等于他的子女数目的平方,已知詹克比凯丽大一岁,现在他们都不到70岁.请问,当年结婚时,两个人各是多少岁?
现在共有子女几人?
(在西方,结婚40周年被称为红宝石婚,且该国的合法结婚年龄为16岁)
参考答案
1.C
【分析】
根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可.
【详解】
A.,则a2+c2=b2,△ABC是直角三角形,故A正确,不符合题意;
B.52+122=132,△ABC是直角三角形,故B正确,不符合题意;
C.∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5,
设∠A、∠B、∠C分别为3x、4x、5x,
则3x+4x+5x=180°,
解得,x=15°,
则∠A、∠B、∠C分别为45°,60°,75°,
△ABC不是直角三角形;故C选项错误,符合题意;
D.∠A-∠B=∠C,则∠A=∠B+∠C,
∠A=90°,
△ABC是直角三角形,故D正确,不符合题意;
故选C.
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用,勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.
2.D
【分析】
由题干条件知:
AC2+BC2=AB2,根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形,根据三角形的面积相等即可求出CD的长.
【详解】
在△ABC中,∵AB=25,AC=24,BC=7,
∴242+72=252,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
根据三角形面积相等可知,
BC•AC=AB•CD,
∴CD=.
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理,利用好勾股定理的逆定理以及面积法求高是解答本题的关键.
3.C
【分析】
根据直角三角形的定义,勾股定理的逆定理一一判断即可.
【详解】
解:
①∠A=∠B-∠C,可得:
∠B=90°,是直角三角形;
②∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5,可得:
∠C=75°,不是直角三角形;
③a2=(b+c)(b-c),可得:
a2+c2=b2,是直角三角形;
④a:
b:
c=5:
12:
13,可得:
a2+b2=c2,是直角三角形;
∴是直角三角形的有3个;
故选:
C.
【点睛】
此题考查了勾股定理逆定理的运用,判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可,注意数据的计算.
4.C
【解析】
【分析】
当∠A=90°时,满足条件的C点2个;当∠B=90°时,满足条件的C点2个;当∠C=90°时,满足条件的C点2个.所以共有6个.
【详解】
∵点A,B的纵坐标相等,
∴AB∥x轴,
∵点C到AB距离为5,AB=10,
∴点C在平行于AB的两条直线上,
∴过点A的垂线与那两条直线有2个交点,过点B的垂线与那两条直线有2个交点,以AB为直径的圆与那两条直线有只有2个交点(这两个两点在线段AB的垂直平分线上),
∴满足条件的C点共,6个.
故选C.
【点睛】
用到的知识点为:
到一条直线距离为某个定值的直线有两条.△ABC是直角三角形,它的任意一个顶点都有可能为直角顶点.
5.D
【解析】
当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有:
C、D,E,H四个;
当AB是直角边,A是直角顶点时,第三个顶点是F点;
当AB是直角边,B是直角顶点时,第三个顶点是G.
因而共有6个满足条件的顶点.
故选D.
6.B
【分析】
首先依据勾股定理,结合图中每个小方格的边长,求得AC2,AB2,BC2的值;
接下来,依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.
【详解】
∵BC2=42+22=20,AB2=22+12=5,AC2=32+42=25,
∴BC2+AB2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.故选B.
【点睛】
本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理,解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.
7.B
【解析】
试题分析:
根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方,再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析.
解:
根据勾股定理,得
AB2=4+16=20,AC2=1+4=5,AD2=1+9=10,BC2=25,BD2=1+9=10,CD2=9+16=25,
根据勾股定理的逆定理,则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD.
故选B.
点评:
此题综合考查了勾股定理及其逆定理.
8.A
【解析】
试题解析:
∵在△ABC中,AB=,BC=,AC=,
∴
∴∠A=90°
故选A.
9.A
【分析】
先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形,根据计算直角三角形的面积的两种计算方法求出斜边上的高CD.
【详解】
∵AB=1.5,BC=0.9,AC=1.2,
∴AB2=1.52=2.25,BC2+AC2=0.92+1.22=2.25,
∴AB2=BC2+AC2,
∴∠ACB=90°,
∵CD是AB边上的高,
∴S△ABC=AB·CD=AC·BC,
1.5CD=1.2×0.9,
CD=0.72,
故选A.
【点睛】
该题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形的面积公式及其应用问题;解题的方法是运用勾股定理首先证明△ABC为直角三角形;解题的关键是灵活运用三角形的面积公式来解答.
10.A
【分析】
根据勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,然后再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
∵15²+20²=25²,
∴此三角形是直角三角形,
∴三角形的面积为=.
故答案为A.
【点睛】
本题考查三角形面积公式和勾股定理的逆定理,解题的关键是掌握三角形面积公式和勾股定理的逆定理.
11.C
【解析】
【分析】
根据勾股定理以及逆定理即可解答.
【详解】
①分两种情况讨论:
当3和4为直角边时,斜边为5;当4为斜边时,另一直角边是,所以错误;
②三角形的三边分别为a、b、c,若a2+b2=c2,应∠C=90°,所以错误;
③最大角∠C=×6=90°,这个三角形是一个直角三角形,正确;
④若(x-y)2+M=(x+y)2成立,则M=(x+y)2-(x-y)2=4xy,正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.勾股定理的逆定理:
若三角形三边满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
12.B
【解析】
【分析】
根据绝对值、偶次方的非负性质,分别求出a,b,c的值;利用勾股定理的逆定理,判断△ABC的形状,即可得到答案.
【详解】
∵,
根据绝对值、偶次方的非负性质,
∴c=13,b=12,a=5,
∵52+122=132,
∴△ABC是以c为斜边的直角三角形.
故选:
B.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理,绝对值、偶次方的性质,掌握勾股定理的逆定理,绝对值、偶次方的非负性质是解题的关键.
13.B
【解析】
【分析】
因为a、b、c为一个三角形的三边长,化简,可得a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形为直角三角形.
【详解】
∵,
∴a2+b2=c2,
∴该三角形为直角三角形.
故选B.
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理,解题的关键是掌握勾股定理的逆定理.
14.15
【解析】
【分析】
延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE,可证明△ABD≌△CED,所以CE=AB,再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形,即△ABD为直角三角形,进而可求出△ABD的面积.
【详解】
解:
延长AD到点E,使DE=AD=6,连接CE,
∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
在△ABD和△CED中,
,
∴△ABD≌△CED(SAS),
∴CE=AB=5,∠BAD=∠E,
∵AE=2AD=12,CE=5,AC
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