线面面面垂直的判定与性质B重点.docx
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线面面面垂直的判定与性质B重点
线面、面面垂直的判定与性质(B)(重点)
适用学科
高中数学
适用年级
高中三年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60
知识点
1.直线和平面垂直的定义2.直线和平面垂直的判定定理
3.直线和平面垂直的性质定理
教学目标
从熟知的生活事物中抽象概括线面垂直的定义和判定定理,并用数学语言表述;通过操作确认线面垂直的判定定理,培养学生的空间观念
教学重点
让学生抽象概括线面垂直的定义和判定定理
教学难点
操作确认线面垂直的判定定理及其应用。
教学过程
一.课程导入:
思考:
如图我们可以发现相对于国旗杆和路灯都是一个单体,而路面就在我们数学中相当于一个平面,那么这个单体和路面是什么关系呢?
他们又有什么样的定义和性质呢
二、复习预习
1.垂直是立体几何的必考题目,且几乎每年都有一个解答题出现,所以是高考的热点,是复习的重点.纵观历年来的高考题,立体几何中没有难度过大的题,所以复习要抓好三基:
基础知识,基本方法,基本能力.
2.要重视和研究数学思想、数学方法.在本讲中“化归”思想尤为重要,不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”,观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口.
三、知识讲解
考点1、直线与平面垂直
(1)判定直线和平面垂直的方法
①定义法.
②利用判定定理:
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.
③推论:
如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
(2)直线和平面垂直的性质
①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.
②垂直于同一个平面的两条直线平行.
③垂直于同一直线的两平面平行.
考点2、斜线和平面所成的角
斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫斜线和平面所成的角.
考点3、平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理:
如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的性质
如果两平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
四、例题精析
考点一线面位置关系的判定
【例题1】
【题干】设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
B.若l⊥α,m⊂α,则l⊥m
C.若l∥α,l∥m,则m∥α
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
【答案】B
【解析】直线垂直于平面中两条相交直线,才能垂直于平面,故A错;C中m可能包含在平面α中;D中两条直线可能平行、相交或异面.
考点二线面垂直的判定与性质
【例题2】
【题干】
如图,在三棱锥P—ABC中,PA⊥底面ABC,PA=AB,∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC.
(1)求证:
BC⊥平面PAC.
(2)当D为PB的中点时,求AD与平面PAC所成角的正弦值.
【答案】见解析
【解析】
(1)证明 ∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又∠BCA=90°,∴AC⊥BC.又AC∩PA=A,
∴BC⊥平面PAC.
(2)解 ∵D为PB的中点,DE∥BC,∴DE=
BC.
又由
(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.
又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形.
∴AD=
AB.
在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=
AB.
∴在Rt△ADE中,sin∠DAE=
=
=
.
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为
.
考点三面面垂直的判定与性质
【例题3】
【题干】
如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,EC=CA=2BD,M是EA的中点.求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA.
【答案】见解析
【解析】
(1)如图所示,取EC中点F,连接DF.
∵EC⊥平面ABC,BD∥EC,
∴BD⊥平面ABC,∴BD⊥AB,
∵BD∥EC,BD=
EC=FC,∴EC⊥BC.
∴四边形FCBD是矩形,∴DF⊥EC.
又BA=BC=DF,
∴Rt△DEF
Rt△ADB,∴DE=DA.
(2)如图所示,取AC中点N,连接MN、NB,
∵M是EA的中点,∴MN//
EC.
由BD//
EC,且BD⊥平面ABC,可得四边形MNBD是矩形,于是DM⊥MN.
∵DE=DA,M是EA的中点,∴DM⊥EA.
又EA∩MN=M,∴DM⊥平面ECA,
而DM⊂平面BDM,∴平面ECA⊥平面BDM.
考点四射影、体积、点面距离问题
【例题4】
【题干】若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,AB1与底面ABCD成60°角,则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A.
B.1C.
D.
【答案】D
【解析】依题可知∠B1AB=60°,平面A1B1C1D1∥平面ABCD,A1C1⊂平面A1B1C1D1,
∴B1B即为所求距离,在△ABB1中得,B1B=
.故选D.
课后评价
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 面面 垂直 判定 性质 重点
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