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高考数学知识点与方法大全PDF65页
一、集合与简易逻辑、不等式
1.集合的有关概念
(1)集合元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
(2)集合与元素的关系:
若a属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A.
(3)集合的表示方法:
列举法、描述法、图示法.
2.常用数集及记法
数集
记法
自然数集
正整数集
N*或N+
整数集
有理数集
实数集
N
Z
Q
R
3.集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
记法
子集
集合
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
集合A是集合B的子集,并且B中至少有一
个元素不属于A
集合A的每一个元素都是集合B的元素,集
合B的每一个元素也都是集合A的元素
空集是任何集合的子集
A⊆B或B⊇A
A
B或B
A
间的真子集
基本
关系
相等
A⊆B且B⊆A⇔A=B
⊆A
B且B≠
空集
空集是任何非空集合的真子集
集合子集个数的判定
含有n个元素的集合,其子集的个数为2n;真子集的个数为2n-1(除集合本身);非空真子集的个数为
2n-2(除空集和集合本身,此时n≥1).
(1)注意空集的特殊性:
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
(2)任何集合的本身是该集合的子集,在列举时千万不要忘记.
4.集合的三种基本运算
符号表示
图形表示
符号语言
集合的
并集
A∪B
A∪B={x|x∈A,或x∈B}
集合的
交集
A∩B
A∩B={x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
集合的若全集为U,则集合A的补
补集集为∁UA
5.集合的三种基本运算的常见性质
(1)A∩A=A,A∩=,A∪A=A,A∪=A.
(2)A∩∁UA=,A∪∁UA=U,∁U(∁UA)=A.
(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)=.
6.命题的概念
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题,判
断为假的语句叫做假命题.
7.四种命题及相互关系
8.四种命题的真假关系
2018年高考理科数学知识与方法大全·第1页(共64页)
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
判断命题真假的思路方法
(1)判断一个命题的真假时,首先要弄清命题的结构,即它的条件和结论分别是什么,把它写成“若p,
则q”的形式,然后联系其他相关的知识,经过逻辑推理或列举反例来判定.
(2)一个命题要么真,要么假,二者必居其一.当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后,判断这
个命题真假的方法:
①若由“p”经过逻辑推理,得出“q”,则可判定“若p,则q”是真命题;
②判定“若p,则q”是假命题,只需举一反例即可.
写一个命题的其他三种命题时的注意事项
(1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写为“若p,则q”形式.
(2)若命题有大前提,需保留大前提.
判断四种命题真假的方法
(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断.
(2)利用四种命题间的等价关系:
当一个命题不易直接判断真假时,可转化为判断其等价命题的真假.
9.充分条件与必要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p⇒q且q⇒/p
p⇒/q且q⇒p
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
10.充分条件与必要条件和集合的关系
p⇒/q且q⇒/p
p成立的对象构成的集合为A,q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
p是q的必要条件
A⊆B
B⊆A
AB
p是q的充分不必要条件
BA
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
A=B
充分、必要条件的三种判断方法
(1)定义法:
根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法:
根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法:
根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这
个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x
=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
11.命题p∧q、p∨q、p的真假判定
p
q
p∧q
真
p∨q
真
p
假
假
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
假
真
假
真
假
假
简记为“p∧q两真才真,一假则假;p∨q一真则真,两假才假;p与p真假相反”.
判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤
(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义,应根据命题中所出
现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.
(2)判断命题真假的步骤
根据复合命题真假求参数的步骤
(1)根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况);
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围;
2018年高考理科数学知识与方法大全·第2页(共64页)
(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况,从而求出参数的取值范围
12.全称量词和存在量词
量词名称
全称量词
存在量词
常见量词
符号表示
所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等
∀
∃
13.全称命题和特称命题
名称
形式
全称命题
特称命题
存在M中的一个x0,使p(x0)成
立
结构
对M中的任意一个x,有p(x)成立
简记
否定
∀x∈M,p(x)
∃x0∈M,p(x0)
∃x0∈M,p(x0)
∀x∈M,p(x)
对全(特)称命题进行否定的方法
全(特)称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时:
(1)改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;
(2)否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
[提醒]
题的否定.
对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命
全(特)称命题真假的判断方法
(1)全称命题真假的判断方法
①要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立.
②要判断一个全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个特殊值x=x0,使p(x0)不成立即可.
(2)特称命题真假的判断方法
要判断一个特称命题是真命题,只要在限定的集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可,否则这
一特称命题就是假命题.
14.比较两个实数大小的方法
a-b>0⇔a>ba,b∈R,
(1)作差法a-b=0⇔a=ba,b∈R,
a-b<0⇔a a>1⇔a>ba∈R,b>0, b a b (2)作商法=1⇔a=ba∈R,b>0, ba<1⇔a 15.不等式的基本性质 性质 性质内容 a>b⇔b 特别提醒 对称性 传递性 可加性 ⇔ ⇒ ⇔ a>b,b>c⇒a>c a>b⇔a+c>b+c a>b c>0⇒ac>bc a>b 可乘性 注意c的符号
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