立体几何和三角函数大题训练.docx
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立体几何和三角函数大题训练
高二年级文科数学专题之立体几何
和三角函数答题训练
1.已知,,,.
(1)求和的值;
(2)求的值.
2.已知向量,,函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)在中,分别是角的对边,且,,且,求的值.
3.已知向量,向量,函数.
(1)求的单调减区间;
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到的图象,求函数的解析式及其图象的对称中心.
4.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且。
(1)求角B的大小;
(2)若,求的面积。
5.已知四棱锥,底面是、边长为的菱形,又底,且,点分别是棱的中点.
(1)证明:
平面;
(2)证明:
平面平面;
(3)求点到平面的距离.
6.如图,在四棱锥中,平面,.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得平面?
说明理由.
7.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
(1)求证:
AB⊥C1F;
(2)求证:
C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥EABC的体积.
8.(本小题满分13分)
如图,⊙O在平面内,AB是⊙O的直径,平面,C为圆周上不同于A、B的任意一点,M,N,Q分别是PA,PC,PB的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求证:
平面平面;
(3)求证:
平面.
参考答案
1.
(1);
(2).
【解析】试题分析:
(1)由二倍角公式得,结合和解方程即可;
(2)依次计算和的值,代入求解即可.
试题解析:
(1)由,得,
因为,所以,
又,所以,所以.
(2)因为,所以,所以,
于是,
又,所以,
由
(1),所以.
2.(I)(Ⅱ)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式,再利用三角恒等变形将函数转化为的形式,可求得周期;(Ⅱ)先由所给函数值,代入求得值,再由余弦定理,结合的值,解方程组可得.
试题解析:
(I)
.
故最小正周期
(Ⅱ),,
C是三角形内角,
∴即:
即:
.
将代入可得:
,解之得:
或4,
,
点睛:
三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题,一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件,并结合简单的向量运算,往往是两微量平行或垂直的计算.将向量形式化为坐标运算后,接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数,解三角形等知识的运用.
3.
(1)单调减区间为,.
(2)对称中心为,.
【解析】试题分析:
(1)根据,可得,则=,于是可根据二倍角公式化为正弦型函数求单调区间;
(2)由
(1)知,将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到,于是可以求对此中心.
试题解析:
(1)
令,得
,
所以的单调减区间为,.
(2)由
(1)知,把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图象,再把得到的图象向左平移个单位,得到的图象,因此,
令,得,
所以函数图象的对称中心为,.
4.
(1)
(2)
【解析】本试题主要考查了正弦定理和余弦定理的边角转换的运用。
以及结合三角形的面积公式求解面积的综合试题。
解:
(1)
…………………………………2分
………………………………………4分
…………………………………………6分
(2)
…………………………………………9分
…………………………………………12分
5.
(1)详见解析
(2)详见解析(3)
【解析】
试题分析:
(1)要证DN∥平面PMB,只要证DN∥MQ;
(2)要证平面PMB⊥平面PAD,只要证MB⊥平面PAD;
(3)利用PD是三棱锥P-AMB的高PD=2,棱锥A-PMB的体积=棱锥P-AMB的体积,利用棱锥的体积公式解之
试题解析:
(1)证明:
取中点,连接,因为分别是棱中点,
所以,且,于是,
.
(2),
又因为底面是、边长为的菱形,且为中点,所以,又,
所以..
(3)因为是中点,所以点与到平面等距离.过点作于,由
(2)由平面平面,所以平面.
故是点到平面的距离.
∴点到平面的距离为.
考点:
平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定;点面距离
6.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)存在.理由见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)利用线面垂直判定定理证明;(Ⅱ)利用面面垂直判定定理证明;(Ⅲ)取PB中点F,连结EF,则,根据线面平行的判定定理证明平面.
试题解析:
(Ⅰ)因为平面,
所以.
又因为,
所以平面.
(Ⅱ)因为,,
所以.
因为平面,
所以.
所以平面.
所以平面平面.
(Ⅲ)棱PB上存在点F,使得平面.证明如下:
取PB中点F,连结EF,,.
又因为E为的中点,
所以.
又因为平面,
所以平面.
【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理;空间想象能力,推理论证能力
【名师点睛】平面与平面垂直的性质定理的应用:
当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个平面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系),构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.
7.
(1)详见解析
(2)详见解析(3)
【解析】
试题分析:
(1)由⊥平面ABC得AB⊥,又AB⊥BC,故AB⊥平面,所以AB⊥C1F;
(2)取AB的中点G,连接EG,FG.则易得四边形是平行四边形,故而∥EG,于是∥平面ABE;
(3)由勾股定理求出AB,代入棱锥的体积公式计算即可
试题解析:
(1)证明:
在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面B1BCC1,又因为C1F⊂平面B1BCC1,所以AB⊥C1F。
(2)证明:
取AB的中点G,连接EG,FG.
因为E,F,G分别是A1C1,BC,AB的中点,所以FG∥AC,且FG=AC,EC1=A1C1.
因为AC∥A1C1,且AC=A1C1,所以FG∥EC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE,C1F⊄平面ABE,所以C1F∥平面ABE.
(3)因为AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB==.
所以三棱锥EABC的体积V=S△ABC·AA1=×××1×2=.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定
8.见解析
【解析】
试题分析:
关于第一问,注意应用线面平行的判定定理,同时注意线面平行的判定定理的条件,注意第二问注意面面平行的判定定理的条件和结论,注意证明过程的书写,第三问注意关于线面垂直的判定定理的条件和结论,注意垂直关系的转化.
试题解析:
证明:
(1)∵分别是的中点,
∴.(1分)
又∵,(2分)
∴平面.(4分)
(2)由
(1)知平面,(5分)
同理可证平面.(6分)
∵平面平面且,(7分)
∴平面平面.(8分)
(3)∵平面,平面,∴.(10分)
又∵AB是⊙O的直径,C为圆周上不同于A、B的任意一点,
∴.(11分)
∵,平面,(12分)
∴平面.(13分)
考点:
线面平行的判定,面面平行的判定,线面垂直的判定.
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- 立体几何 三角函数 训练