正方形综合试题选.docx

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正方形综合试题选

正方形综合试题选

1．如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：

AF+CF=2BE．

当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想，并选择图

（2）、图（3）中的一种情况给予证明．

2．已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．

当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明．

3．（本溪二模）已知直线l经过正方形ABCD的顶点A，过点C作CE⊥直线l于点E，连接BE

（1）如图1，当直线l∥BC时，CE+AE=BE；

（2）如图2，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请判断线段BE、AE、CE三者数量关系，并证明；

（3）如图3，当直线l绕着点A，逆时针旋转到如图位置时，请补全图形并判断线段BE、AE、CE三者数量关系，不必证明．

4．（天桥区一模）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．

（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，

求证：

AD⊥CF．

（3）在

（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=

时，求线段CF的长．

5．如图，四边形ABCD是正方形，点G是直线BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于F．

（1）当点G在线段BC上时，如图1，求证：

DE-BF=EF；

（2）当点G在线段CB的延长线上时，如图2，判断线段DE、BF、EF之间的数量关系是；

（3）在

（2）的条件下，连接AC，过F作FP∥GC，交AC于点P，连接DP，若∠ADE=30°，GB=

，求DP的长．

6．（黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：

AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？

请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

7．（盐城）如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）

8．（黔南州）如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．

（1）求EC：

CF的值；

（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；

（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？

若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

9．（青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．

（1）探究1：

小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：

证明：

如图1，取AB的中点M，连接EM．

∵∠AEF=90°

∴∠FEC+∠AEB=90°

又∵∠EAM+∠AEB=90°

∴∠EAM=∠FEC

∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点

∴AM=EC

又可知△BME是等腰直角三角形

∴∠AME=135°

又∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=135°

∴△AEM≌△EFC（ASA）

∴AE=EF

（2）探究2：

小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．

（3）探究3：

小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？

若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．

10．（锦州）已知：

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：

①BD⊥CF．②CF=BC-CD．

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：

①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

（4）在（3）的条件下，AD与AB满足什么条件时？

△AOC是等边三角形.

11．（黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：

∠AFC=∠ACB+∠DAC；

（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；

（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．

12．（东营）

（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．求证：

CE=CF；

（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用

（1）的结论证明：

GE=BE+GD．

（3）运用

（1）

（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积．

13．（永州）探究问题：

（1）方法感悟：

如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．

感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．

即∠GAF=∠．

又AG=AE，AF=AF

∴△GAF≌

?

∴

=EF，故DE+BF=EF．

（2）方法迁移：

如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=

∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=

∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

14．（营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．

（1）如图

（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？

（直接写出结论不必证明）；

（2）如图

（2），当点P运动到CA的延长线上时，

（1）中猜想的结论是否成立？

如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？

（直接写出结论不必证明）

15．（咸宁）

（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．

（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．

（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3

，求AG，MN的长．

16．（阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；

（2）如图2，当点P在线段OC上时，

（1）中的猜想还成立吗？

请说明理由；

（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断

（1）中的猜想是否成立？

若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

17．（赤峰）如图（图1，图2），四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在线段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CP于点F，交BC的延长线于点N，FN⊥BC．

（1）若点E是BC的中点（如图1），AE与EF相等吗？

（2）点E在BC间运动时（如图2），设BE=x，△ECF的面积为y．

①求y与x的函数关系式；

②当x取何值时，y有最大值，并求出这个最大值．

18．（天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．

（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？

若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？

若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；

（2）就

（1）中的三个结论选择一个加以证明．

19．（义乌市）如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；

②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；

（2）将原题中正方形改为矩形（如图4-6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第

（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？

若成立，以图5为例简要说明理由；

（3）在第

（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=

，求BE2+DG2的值．

20．（海南）如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．

（1）求证：

△ADE≌△CDE；

（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：

FH=GH；

（3）设AD=1，DF=x，试问是否存在x的值，使△ECG为等腰三角形？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

21．（大连）如图①，小明在研究正方形ABCD的有关问题时，得出：

“在正方形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE=∠EAD，那么EF⊥AE”．他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件不变，发现仍然有“EF⊥AE”结论．

你同意小明的观点吗？

同意，请结合图④加以证明；若不同意，请说明理由．

22．（大连）如图，操作：

把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．

探究：

线段MD、MF的关系，并加以证明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明

（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．

注意：

选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．

①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．

附加题：

将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：

线段MD、MF的关系，并加以证明．

23．（东城区一模）阅读下面材料：

小炎遇到这样一个问题：

如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．

小炎是这样思考的：

要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．

参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：

（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有EF=BE+DF；

（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．

24．（本溪一模）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，

（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明；

（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角（0°＜β＜180°），如图2，连接AG、CE相交于点M，连接MB，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化？

若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM与BN的数量关系：

．

25.（密云县一模）已知：

正方形ABCD中，∠MAN=45°，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，有BM+DN=MN．当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

（3）若CN=6，BM=2，求正方形ABCD的边长．

26．（怀柔区一模）探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：

?

（2）如图2，若把

（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=

∠BAD”，则

（1）问中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在

（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则

（1）问中的结论是否发生变化？

若变化，请给出结论并予以证明．

27．（莆田质检）在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点．

（1）若点N在BC边上时，如图1．

①求证：

PN=QN；

②请问

是否为定值？

若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值．

28．（高淳区一模）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠AOB=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD为矩形时，如图1．求证：

△AOC′≌△BOD′．

（2）当四边形ABCD为平行四边形时，设AC=kBD，如图2．

①猜想此时△AOC′与△BOD′有何关系，证明你的猜想；

②探究AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并给予证明．

29．（宝安区二模）如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，且P是线段DF的中点，连接PG，PC．

（1）如图1中，PG与PC的位置关系是，数量关系是；

（2）如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变，求证：

PG=PC；

（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A，B，E在同一条直线上，连接DF，P是线段DF的中点，连接PG、PC，且∠ABC=∠BEF=60°，求PG:

PC的值．

30．在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：

ME=MF；

（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；

（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=．

31．如图，四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形，连接AE，M是AE的中点，连接MD、MF．探究线段MD、MF的关系，并加以说明．

说明：

（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，你可以从下列

（1）、

（2）中选取一个补充已知条件，完成你的证明．

注意：

选取

（1）完成证明得10分；选取

（2）完成证明得7分．

①如图2，正方形CGEF的对角线CE与正方形ABCD的边BC在同一条直线上；

②如图3，正方形CGEF的边CG与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，CF=2AD．

32．如图1，若四边形ABCD、GFED都是正方形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE．

（1）当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED绕D旋转到B，D，G在一条直线（如图3）上时，连结CE，设CE分别交AG、AD于P、H．

?

①求证：

AG⊥CE；

?

②如果，AD=25，DG=10，求CE的长．

33．【观察发现】

如图1，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，且点E在边AB上，连接DE和BG，猜想线段DE与BG的数量关系，以及直线DE与直线BG的位置关系．（只要求写出结论，不必说出理由）

【深入探究】

如图2，将图1中正方形AEFG绕点A逆时针旋转一定的角度，其他条件与观察发现中的条件相同，观察发现中的结论是否还成立？

请根据图2加以说明．

【拓展应用】

如图3，直线l上有两个动点A、B，直线l外有一点O，连接OA，OB，OA，OB长分别为

、4，以线段AB为边在l的另一侧作正方形ABCD，连接OD．随着动点A、B的移动，线段OD的长也会发生变化，在变化过程中，线段OD的长是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．（线段OD长的最大值为8）．

34．（济宁三模）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：

BD⊥CF；

（3）在

（2）小题的条件下，AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=

时，求线段CM的长．

35.（德州）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立？

通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

36.（黑河/东营）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图

（1），易证EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图

（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明．

37.（农垦牡丹江管理局）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图

（1）．易证BD+AB=

CB，过程如下：

过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E

∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．

∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．

∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．

又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=

CB．

又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=

CB．

（1）当MN绕A旋转到如图

（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图

（2）给予证明．

（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=

时，则CD=____________，CB=____________．