数值线性代数北大版答案全.docx
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数值线性代数北大版答案全
数值线性代数习题解答
习题1
1・求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解1设下三角矩阵L的逆矩阵为T
我们可以使用待左法,求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下:
化区竝・・也]
注意到
上爲,…也篦]=[勺洱2,…咼]二』
我们只需运用算法1・1・1,逐一求解方程
氓=沁i二12…".
便可求得工=匚\
[注意]考虑到内存空间的节省,我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样,我们便得到如下具体的算法:
算法(求解下三角矩阵L的逆矩阵T,前代法)
预置步置丁=I
forj=1:
«
fark=\\n-\
TgjXTgJVLgQ
T(上十1:
nj=T(k+1:
nJ)-T(ktj)L(j十1:
以)
end
Qnd
2.设为两个上三角矩阵,而且线性方程组
是非奇异的,试给岀一种运算量为的算法,求解该方程组。
[解]因(呵—衣)=(E—尢厂1)Y,故为求解线性方程组(sr-n^=bt可先求得上三角矩阵t的逆矩阵r_1,依照上题的思想我们很容易得到讣算丁"的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤:
(1)计算上三角矩阵T的逆矩阵T-\算法如下:
算法1(求解上三角矩阵的逆矩阵,回代法。
该算法的的运算虽为尬")
预置步置戸=1
forj=\:
n
far^=«:
-1:
2
T{\-.k-1,j}=T(y-k-1J)-7(ArJ)7(l“-1,Q
end
end
(2)计算上三角矩阵豆=g_心。
运算疑大约为«2/2.
(3)用回代法求解方程组:
^y=b.运算量为尬2:
(4)用回代法求解方程组:
%二y・运算量为沪。
M2
算法总运算量大约为:
"+°(巾)•
3.证明:
如果4二1-'以是一个Gauss变换,则泾二W或也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义,易知矩阵'+滋:
是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换'总二17以的逆矩阵。
事实上a;)(/+滋:
)二八-賦-賦以=i-賦以
注意到(C,…川*…心),则显然有碩4二°•从而有
於=$+1成
4.确泄一个Gauss变换L,使
2
2
L
3
二
7
4
8
[解]比较比较向虽:
⑵恥)『和(2,乙纤可以发现Gauss变换L应具有功能:
使向量⑵恥)的第二行加上第一行的2倍;使向量⑵轴的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下
'1_
L=21
_201_
5.证明:
如果山1严°有三角分解,并且是非奇异的,那么泄理1・1・2中的厶和U都是唯一的。
[证明]设A==,其中厶仏2都是单位下三角阵,S,6
都是上三角阵。
因为A非奇异的,于是
骂厶=U0F
注意到,单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵,两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵:
上三角阵的逆仍是上三角阵,两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此,上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等,故此,它们都必是单位矩阵。
即Z21Z1=U2Ui1=1,
从而
即A的U/分解是唯一的。
6.设宀b小加的定义如下
1,如果i二丿丸=n,吟=<一1,如杲z>J,
0,其他
证明A有满足忖幻和%二才1的三角分解。
[证明]令上"小卅曲是单位下三角阵,"二氐丘胪3*是上三角
阵。
定义如下
容易验证:
A"U.
7•设A对称且幻1°°,并假左经过一步Gauss消去之后,A具有如下形式
.04.
证明地仍是对称阵。
[证明]根Gauss变换的属性,显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为
■1■
-空110-1
厶二字:
•・—生/
aL旬1.
一』0…1
_幻1_
由A的对称性,虫2对称性则是显而易见的。
8•设"=釣*是严格对角占优阵,即A满足
|%|>另|伽L班=12…卫
又设经过一步Gauss消去后,A具有如下形式
%讦
WA_
试证:
矩阵&仍是严格对角占优阵。
由此推断:
对于对称的严格对角占优矩阵来说,用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。
[证明]依上题的分析过程易知,题中的
A=[箱]其中•'=2,
知
于是地主对角线上的元素满足
>1讣网”甲,、=2,…,®
如
(1)
堆非主对角线上的元素满足
由于A是严格对角占优的,即
221%I|知|,
n
Skifcl J2Ji 从而 士区15“卜害, {-? rul 3 (2) 综合 (1)和 (2)得 2 即,矩阵虫2仍是严格对角占优阵。 9.设毗弊”有三角分解。 指岀当把Gauss消去法应用于"%⑺+1)矩阵也,引时,怎样才能不必存储厶而解岀Av=Z>? 需要多少次乘法运算? [解]用Gauss消去法作A的LU分解,实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换,将英化为上三角矩阵U。 而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是即 ^A=U 如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上,即有 这就是说,方程组A^=b和吩Lb是同解方程。 而后者是上三角形方程组,可运用本章算法1-1-2求解。 这样我们就不必存储L,通求解方程组4=匚咕,来求解原方程组Ax=ba算法如下: (1)用初等变换化册]为耳已】; for上=1: 怡一1 4(上+1: 徭4(上+1: 凤&)/43用 月(上十1: 冷上十1: 2i)=A(k+1: 刃北十1: «)一A(k+1: 十1: 刃) b伙十1: n)=6(^+1: «)-&上十1: n,k)b(k) snd (2)利用回代法求解方程组5=匚'— 该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为 £(3上十2瓷打十/=2/+2«2--« fc-i33 10.A是正泄阵,如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为 WA_ 的矩阵,证明地仍是正定阵。 [证明]不妨设 从而有 如° .0A- 由于厶非奇异,故对加且“°,构造"3歹卩二閉元,则由a的正立性有 0'血=产厶4空十=(0,*) Ai .Ai k 并且A】是非奇异的。 矩阵 S=Aa_414^12 称为是41在a中的Schur余阵。 证明: 如果41有三角分解,那么经过丘步Gauss消去以后,S正好等于(1-1-4)的矩阵期铁 [证明]因为占】有三角分解,所以矩阵A可保证前丘步Gauss消去法可以顺利完成。 即有如下单位下三角矩阵 L= £ o・ 厶22- k )2-k 使 <1上 LA= _0 k A3_上 注意到 比较两式便知,A2i=,故有 观"=&2- 12.证明: 如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU,则对任意‘有祐胆幅|,丿"+1,… [证明]略。 13.利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。 [解1设A是非奇异的.则应用列主元Gauss消去法可得到 PA=LU 这里: P是置换阵,L是单位下三角阵,U是上三角阵。 于是,通过 求解下列n个方程组 £27巧二幻,j=1,2,-・•,绘 便可求得 (刊)-】二才¥二[“,・・沁] 于是 =[心,也,・・・兀]卩 也就是说,求A的逆矩阵,可按下列方案进行: (1)用列主元Gauss消去法得到: . (2)经求解: 小严厂j=\,2,得 (R4)-i=X、Xw ■ (3)对X进行列置换得: 衣。 14.假定已知国亡尺冶筑的三角分解: A=LU.试设计一个算法来计算/_1的J)元素。 [解]求解方程组 LUx= 贝心的第i个分疑召就是/-I的(ij)元素。 15.证明: 如果Ar是严格对角占优阵(参见第8题),那么 A有三角分解A=LU并且<k [证明]仿照第8题的证明,容易证明: 对于屮€疋^是严格对角占优阵,经过一步Gauss消去后,得到 苴中禹丘卅"7仍是严格对角占优阵。 A的三角分解A=LU中 这样,我们在对A进行列主元三角分解时,不需要选择主元,因为每次消元时,主元位置上的元素恰好是列主元。 因此, 16.形如NOW—%的矩阵称作Gauss-Jordan变换,其中 (1)假左"3用)非奇异,试给出计算英逆矩阵的公式。 (2)向量X已疋满足何种条件才能保证存在丿GRK使得 ■ (3)给岀一种利用Gauss-Jordan变换求刈e尺浴"的逆矩阵/"的算法。 并且说明A满足何种条件才能保证你的算法能够进行到底。 [解]为解决本问题,我们引入Gauss-Jordan变换的两个性质: 性质1: 畑(弘)二1-丹. 事实上. _儿 性质2: Gauss-Jordan变换%二恥儿比)非奇异的充分必要条件是九H1 ■ ⑴运用待立法,首先设"X)二J陀的逆矩阵为M(乙上)-1-,则有 '=应匕QN(y,k)=(l-応)(2-扇■)=2-堆: 一海十试兀; =/-(y+x-y)腔 故应有 (2)欲使"3出k二致,则应有 厂如仏=工…,邑,1-丄独,…,玉 因此,x已疋应满足%*°,便可按上述方法得到yERK使得N(yfk)x=ek O (3)设A的逆矩阵川二『二忆爲,…耀],则应有 =efr/=],—,». 下而我们给出利用Gauss-Jordan变换求解方程组的计算方法。 算法如下: 假定A的各阶主子阵非零,记测=&丁®=1■ 第1步: 假若屍令沪卜则役增/址,…,規蚀r,构造陌=”5,1),用陌左乘肿和网,得到 炉=昭肿,f⑴二砒(°); 其中 (1)⑼时(0).-.? 'an 第2步: 假泄令 ”2=(雄"a22'1-1/埸,C2f32/fl22'…'爲/a22Y,构造“2=肿卜22),用“2左乘占⑴和厂⑴,得到 川2\皿』⑴, 苴中 圈? =令,J=3, ^22 一冷碣),2134,…"八3,…,丘^11 a*1),a 照此下去,直到第n步: 假宀KU, 儿二优®或巴…,煜血「)」-1/盘叭构造M=Ng 用弘左乘川曲)和得到 经上述】】步,我们得知: ―叽心…叫A,丹)二见…皿 故 卫-1= 从上面的约化过程可知,要保证算法进行到底,必须保证: @『)疋0,71,…,踐我们可以仿照泄理1.1.2给出下列泄理。 定理: 壬°,曲二1,…冷)的充分必要条件是矩阵川的各阶顺序主子阵非奇异。 Gauss-Jordan变换弘~】使 [证明]对于氐用归纳法。 当=1时,卫1二屍V,左理显然成立。 假定宦理直到址一1成立,下面只需证明: 若A,・・・,4・i非奇异,则4非奇异的充要条件是*0即可。 由归纳假九知朮°,‘=1,…比一】•因此,Gauss-Jordan约化过程至少可以进行広一1步,即可得到龙一1个 h-i 0由此可知如I的氏阶顺序主子阵有如下形式 0 若将%N-的庄阶顺序主子阵分别记为何)上,…,(%A,由(16-1)知 (N』…的)皿=曽「J =—7^7-,i=•,上一1. 注意到久所以 det血=ri同严. i-1 即血非奇异的充要条件是“匸"芝° 17・证明左理1・3・1中的下三角阵L是唯一的。 [证明]因A是正泄对称矩阵,故其各阶主子式均非零,因此A非奇 A=Z/f=丄怎 那么 注意到: 厶和厶是下三角阵,圧和耳为上三角阵,故它们的逆矩阵 也分别是下三角阵和上三角阵。 因此,X®和閉©尸只能是对角阵,即甲乙2二疔区厂'0 从而 gLR=£J=Zf(Z)ZfrL=Z)-1,D=D 于是得知 Z>2=厶] 18•证明: 如果A是一个带宽为2加+1的对称正泄带状矩阵,则其 Chelesky因子厶也是带状矩阵。 厶的带宽为多少? [证明]带宽为2m+l的矩阵的认识: 当m=l时,2m+l=3,该带宽矩阵形为: xx XXX XXX XXX 对m为任意一个合适的正整数来说,带宽为2m+l的矩阵元素有如下特征: %•二0,j|>m 结合这一特征,对于带宽为2加+1的对称正定带状矩阵A1•的Colicky分解算法,可改写成下列形式: fork=\\n k)=/43Q 堆1=tnm( 怒+]: ”1,Q=卫也+1: 同,耐//(上,£) for/=4-1;«1 ^4(j: «1,j)=^4(j: «1,j)-j: «1,Ar)71(J, end'' end 从算法不难看出: Colicky因子L是下三角带状矩阵,L的带宽为m+L 19.若/=茁是八的Cholesky分解,试证厶的f阶顺序主子阵厶正好是A的: 阶顺序主子阵△的Cholesky因子。 [证明]将A和L作如下分块 Aio .^215 A=\AlAn],L _A1月22」 其中: Al.厶I为矩阵A和L的i阶顺序主子阵。 思1=虫12。 显然 —「—r--1f _Al4' _A1乂22- 上21£;」[厶&: ^21^21+^22^22_ 故有41=Zn£u0即厶1是41的Colicky分解。 20.证明: 若AeR^是对称的,而且其前円-1个顺序主子阵均非奇异,则A有唯一的分解式 A=LDLt 其中L是单位下三角矩阵,D是对角矩阵。 [证明]先证明存在性。 根据泄理1・1・2知,存在单位下三角阵L和上三角阵U,使八=口),且U的主对角线上元素除叫”外,其余都不为零。 令D二〃吨(码1,…屮“小%),则有单位上三角阵J7使U=DU,即有 A=LDU 又因为4,贝J LDU=护亦 从而根据L和疗的可逆性知: 。 庁(厂)"=I71GtD 该等式左端是一个上三角阵,右端是下三角阵。 因此它们等于对角阵。 再注意到单位上三角阵的乘积仍是单位上三角阵,单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵。 因此两端都等于D。 于是 农(厂)一】=旷0=;,B卩if=u 从而有 A=LDlJ 了了 再证唯一性。 令a=l»L\=565,故有 £扌厶D]=°2圧(疥)》。 左边为下三角阵,右边为上三角阵,故等于对角 阵。 又因=Zf(£;)'=*,故Li=L29D\=D「 21.给岀按行计算Cholesky因子L的详细算法。 [解]略。 22.利用改进的平方根法设计一种讣算正泄对称矩阵的逆的算法。 [解]算法可分为以下几个步骤: (1)首先利用算法1-32计算岀正左矩阵的如下分解 A=LDlJ其中,L是单位下三角阵,D是对角阵。 (2)求解矩阵方程 LX=苴解矩阵X=L. (3)求解矩阵方程 DY=Xr 其解矩阵尸=• (4)求解矩阵方程 ArZ=X, 其解矩阵"9曲尸=八 [注意]以上 (2)、(3).(4)步都是求解非常简单的方程组,算法实现起来很容易。 23•设 _16 4 8 4_ '32' 4 10 8 4 b= 26 8 8 12 10 7 38 4 4 10 12. 30_ 用平方根法证明A是正左的,并给岀方程组的解。 [解]由Colicky分解可得 A=LL 其中 4 13L= 2221131 显然,L是非奇异矩阵。 因此,对于是 xrA^=t7LlFx=>0 所以乂是正泄的。 由方程组Ly=b,解得^=(w,i)r,再由方程组,解得D,i,i): 24•设A^iB是一个正泄Hermite矩阵,其中4必丘•证明: 矩阵 V-B C= BA 是正泄对称的。 试给岀一种仅用实数运算的算法来求解线性方程组 (卫斗拓)(兀+眇)=0+兀1兀刀爲&&R"・ [解]既然肝"十迢是正泄的,又对有z=^+iy,xeRx,ywF,((2*=-iyTzH0u>或乳圣0,或y羊0.注总到 z'念=(J一费『)(/+35)(x+iy)=(xrAx+yTAy)+3(xr5x+/^) 显然H正等价于A、B正立。 对L"(”yyw炉,则有zrCz=^r,yr);;];卜;/加+/*血 由前面的讨论,知道若H是正泄的,则A是正泄的,故矩阵C是正定的。 由于 (虫七£)匕+少)=(4x_砂)+江血+玄) 于是求解原复数方程组,等价于求解下列实方程组 其矩阵形式为: {Ax-By=b 4^+Bx=c 朋] 由 (1)得知系数矩阵正左,故该方程可采用平方根算法求解C习题2 2.1设%~宀0是灯个正数。 证明: 由 1(丸\— V-1丿 定义的函数化R: TR是一个范数。 证明只需验证讯力满足左义2.1.1的三个条件。 其中 (1)和 (2),即正左性和齐次性显然成立,下而给出(3)三角不等式的证明。 像2范数的证明一样,要证明三角不等式,需要用到Cauchy-Schwartz不等式 » 2-1 < 为汙Zz2 U-17\i-l7 R\ 欲证明这个不等式,只需证明: 对任意的x^eR\有下列等式成立 2>必I=另才$£(2厂刃®y, 匕i・l/-I 用数学归纳法证明。 当茂==1时,等式显然成立。 不妨归纳假设当力《k时,等式仍然成立,即有 k\/AVkXIfcA 必=S^2-于亍亍Sj-/內几 ■】,■】八7-1f/,■】? (E2.1) 现在来考虑〃"十1时的情形,注意到 从而对x^eRS,我们有 1f«¥ v(x+y)=乞企⑴+yj2MJ丿 士务氏+2J>皿必+$ -1 <(v2(x)+2v(x)-v^y)+v2=y(x)+v(y)・ 2.2证明: 当且仅当兀和》线性相关且x时,才有 lko||2=lkUH. 证明因为对任意的x^eR" ||“训: *+刃匕*)二A+C+八+心斗壯2/>+|恻; 于是, lko||2=lkUH 当日但当 忖伽12“ 由等式(E2.1)可知,”八恻朋2当且仅当 乞左3片—”疔=0 沁J-L. 即,对任意的°幻丁喳检心号二必心,此式成立不外乎二种情形: 或兀=0;或尸0: 或加+朋丸且圈+怡冋肿和y线性相关。 2.3证明: 如果,二【內,勺,…卫”]是按列分块的,那么 |应十』;+|就”卄总 证明因为 »0»»owi>zM=ezH /-Ii-1 2・4证明: I的胡1411%和网訣IK网2・ 证明记"二[%易…心],那么,根据第3题的结果我们有 ・1丄 K彳訥町利制: 钏: 卜制肌 根据Frobenius范数泄义易知,对 恥孙』们厂皿I旳厂佩于是 ㈣厂1严绷侶1巩IK井胴厂帆佩• 2.5设V: RgTR是由 ◎二器|臥恥铲 定义的。 证明内=是矩阵范数,并且举例说明y不满足矩阵范数的相容性。 证明 (1)证明pl=w是矩阵范数。 因为 V1(A)=-maKl^,TeR呗 显然VL满足矩阵范数左义中的前三条: 正左性、齐次性、三角不等式。 下而我们证明力还满足“相容性二对任意4毗R: 记,二仏/), a=max b=max务 %(/)=—a则« 叶脚)=g扎<-睹zhA-l 1«11 <-y\ab=-a^-b=v1(A)^l(Bynx-i«« (2)一个V不满足矩阵范数的相容性的例子。 取«=2, 11 21 2.6证明: 在R”上,当且仅当乂是正定矩阵时,函数,(力二伊乂尤”是一个向星范数。 值, 证明由于A是正定矩阵,不妨设°%兰人兰…乞血是A的特征—…也是其对应的标准正交特征向量,即 心曙,宀1,2,…屮. 护®二备2』=12…卫 显然,―鼻…盒是线性无关的。 因此,R"=span{j鼻…红}.记"必屆・・・剧,A二険(“・・・人),那么0007,4创少,且对任意^疋,总有牙已疋使 x=Q无,= ■ 命题的充分性是很显然的。 因为了匕)=*是尺"上的向量范数, 则由其正定性可知A必为正定矩阵。 现在我们来证明命题的必要性。 即假设H是正定矩阵,则函数 扌任)=X'xp满足向量范数立义的三条性质: 正泄性。 由A的正泄性,正定性显然成立。 齐次性。 对任意的"R”,xR,因为G*仏戸=0加屈2,故有/(加)=|创/0) 三角不等式。 对于任意给左的禺ywR: 有元,歹丘疋,使恋+刃=J(X+刃J(X+刃=J(牙+刃? 000(牙+刃 =J(牙+刃『八(天+刃= 应用习题2」的结果,得 占人(瓦+另『兰启人才 =7Faj+^faJ =鼾qTX+7/纱0、 ==/W+/W即有 /仗+刃M/U)+«/(》)• 2.7设忡是尺漩上的一个向量范数,并且设AeRKX\证明: 若 r皿(&F,则HL—HI是时上的一个向量范数。 证明片! ■皿(占)二"时,当且仅当兀是R”上的零向量。 再由假设IHI是上的一个向量范数,于是可证得虬胡PH满足: 正泄性。 事实上,对任意X&R”,虬二⑷恬°,而且kL-IkM二°当且仅当"o 齐次性。 事实上,对所有的X&R”和“€尺有l#o)ll二||轴||=|唧如因此加礼二I^HL. 三角不等式。 事实上,对所有的z^eRJi有 |如+列=|曲+则刮曲||+阴||,因此有Ik+此乞WL+IML- 2.8若渕□且”||i,证明 I卜命 证明首先用反证法,证明—的存在性。 设('—/)奇异,则 (/-如二0 有非零解心且—似,于是°VkH纲到绷刘,从而II恥I这与假设矛盾。 现在来证明命题中的不等式。 注意到: "1二1,且/=(/-&(』_4)一1=(7-J)-1- 故有 1=||(/--馳_&」||2||(Z-&"||(1-||4 即 2.9设ILII是由向量范数11.11诱导出的矩阵范数。 证明: 若AeR,,,! 非奇异,则 Kir=^1^11 证明因为II川是向量范数诱导的矩阵范数,故11111=1.且对VGeRlut和 x已R”,有IIGxll 11x11=卜%卜阿|||加|| 且当11x11=1时,有 (E2.2) 现在只需证明: 存在A-eR"且11x11=1,使||A-1! ! -1=||A.r||即可。 根据算子范数的泄义,我们不妨假设yeRn且llyll=l,使|的|=卜划|.再取X=^/KIL显然帕,且 Kir=igi? iM 2.10设―曲是曲亡朗“的LU分解。 这里设贰和时分别表示乂和/的第$行,验证等式 并用它证明网L'才羽I [解]记 于是a^=^U=^l^,? =1,2, J・1 注意到: 严二卩"…儿…则有 2-1=ai-乞
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