江苏省淮安宿迁等届高三上学期期中学业质量检测数学试题附答案.docx
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江苏省淮安宿迁等届高三上学期期中学业质量检测数学试题附答案
2018届高三期中学业质量监测试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(共14题)、解答题(共6题),满分为160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。
如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
数学
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.已知集合,,则▲.
2.复数(是虚数单位)的实部为▲.
3.函数的定义域为▲.
4.某校高三年级500名学生中,血型为O型的有200人,
A型的有125人,B型的有125人,AB型的有50人.
为研究血型与色弱之间的关系,现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本,则应抽
取▲名血型为AB的学生.
5.右图是一个算法流程图,则输出的的值为▲.
6.抛一枚硬币3次,恰好2次正面向上的概率为▲.
7.已知,,则的取值集合为▲.
8.在平行四边形中,,,,则的值为▲.
9.设等差数列的前项和为.若,且,,成等差数列,则数列
的通项公式▲.
10.在平面直角坐标系中,已知点A(,0),B(1,0)均在圆:
外,且圆上存在唯一一点满足,则半径的值为▲.
11.已知函数.设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
,记为函数的导数,则的值为▲.
12.已知函数与的图象关于原点对称,且它们的图象
拼成如图所示的“Z”形折线段ABOCD,不含A(0,1),
B(1,1),O(0,0),C(-1,-1),D(0,-1)五个点.
则满足题意的函数的一个解析式为▲.
13.不等式的解集为▲.
14.在锐角三角形ABC中,的最小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,点为棱的中点.
求证:
(1)平面;
(2)平面平面.
16.(本小题满分14分)
设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c.向量,,
且.
(1)求A的大小;
(2)若,求的值.
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,过椭圆:
的左顶点作直线,与椭圆
和轴正半轴分别交于点,.
(1)若,求直线的斜率;
(2)过原点作直线的平行线,与椭圆交于点,求证:
为定值.
18.(本小题满分16分)
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分.
(1)在图甲的方式下,剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面,求该圆锥的母线长及底面
半径;
(2)在图乙的方式下,剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面,求长方体体积的最大值.
19.(本小题满分16分)
对于给定的正整数,如果各项均为正数的数列满足:
对任意正整数,
总成立,那么称是“数列”.
(1)若是各项均为正数的等比数列,判断是否为“数列”,并说明理由;
(2)若既是“数列”,又是“数列”,求证:
是等比数列.
20.(本小题满分16分)
设命题:
对任意的,恒成立,其中.
(1)若,求证:
命题为真命题.
(2)若命题为真命题,求的所有值.
2018届高三期中学业质量监测试题
数学(附加题)
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共2页,均为解答题(第21~23题)。
本卷满分为40分,考试时间为30分钟。
考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写
在答题卡上,并用2B铅笔正确填涂考试号。
3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位
置作答一律无效。
如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.
若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:
几何证明选讲](本小题满分10分)
在△ABC中,,△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E.
求证:
△ABD∽△AEB.
B.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
已知变换把直角坐标平面上的点,分别变换成点,
,求变换对应的矩阵.
C.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,已知直线与圆相切,求的值.
D.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知正数满足,求的最小值.
【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
小明设置的手机开机密码若连续3次输入错误,则手机被锁定,5分钟后,方可重新输入.
某日,小明忘记了开机密码,但可以确定正确的密码是他常用的4个密码之一,于是,他
决定逐个(不重复)进行尝试.
(1)求手机被锁定的概率;
(2)设第次输入后能成功开机,求的分布列和数学期望.
23.(本小题满分10分)
设,在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较
大元素相加,和记为,较小元素之和记为.
(1)当时,求的值;
(2)求证:
对任意的,为定值.
2018届高三期中学业质量监测试题(数学)
参考答案与评分建议
2017.11
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1.已知集合,,则▲.
【答案】
2.复数(是虚数单位)的实部为▲.
【答案】2
3.函数的定义域为▲.
【答案】
4.某校高三年级500名学生中,血型为O型的有200人,
A型的有125人,B型的有125人,AB型的有50人.
为研究血型与色弱之间的关系,现用分层抽样的方法
从这500名学生中抽取一个容量为60的样本,则应
抽取▲名血型为AB的学生.
【答案】6
5.右图是一个算法流程图,则输出的的值为▲.
【答案】3
6.抛一枚硬币3次,恰好2次正面向上的概率为▲.
【答案】
7.已知,,则的取值集合为▲.
【答案】
8.在平行四边形中,,,,则的值为▲.
【答案】5
10.设等差数列的前项和为.若,且,,成等差数列,则数列
的通项公式▲.
【答案】
12.在平面直角坐标系中,已知点A(,0),B(1,0)均在圆:
外,且圆上存在唯一一点满足,则半径的值为▲.
【答案】4
13.已知函数.设曲线在点处的切线与该曲线交于另一点
,记为函数的导数,则的值为▲.
【答案】
12.已知函数与的图象关于原点对称,且它们的图象拼成如图所示的“Z”形折线
段ABOCD,不含A(0,1),B(1,1),O(0,0),C(-1,-1),D(0,-1)五个点,
则满足题意的函数的一个解析式为▲.
【答案】
()
13.不等式的解集为▲.
【答案】
14.在锐角三角形ABC中,的最小值为▲.
【答案】25
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,,点为棱的中点.
求证:
(1)平面;
(2)平面平面.
证明:
(1)在三棱柱中,,……2分
又平面,平面,
所以平面.……5分
(2)在直三棱柱中,平面,
又平面,所以.……7分
因为,所以.
又因为点为棱的中点,所以.……9分
又,平面,
所以平面.……12分
又平面,
所以平面平面.……14分
16.(本小题满分14分)
设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c.向量,,
且.
(1)求A的大小;
(2)若,求的值.
解:
(1)因为,所以,即.……2分
由正弦定理得,,
所以.……4分
在△ABC中,,,所以.
若,则,矛盾.
若,则.
在△ABC中,,所以.……7分
(2)由
(1)知,,所以.
因为,所以.
解得(负值已舍).……9分
因为,所以或.
在△ABC中,又,故,所以.
因为,所以.……11分
从而
.……14分
17.(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,过椭圆:
的左顶点作直线,与椭圆
和轴正半轴分别交于点,.
(1)若,求直线的斜率;
(2)过原点作直线的平行线,与椭圆交于点,求证:
为定值.
解:
(1)依题意,椭圆的左顶点,
设直线的斜率为,点的横坐标为,
则直线的方程为.①……2分
又椭圆:
,②
由①②得,,
则,从而.……5分
因为,所以.
所以,解得(负值已舍).……8分
(2)设点的横坐标为.结合
(1)知,直线的方程为.③
由②③得,.……10分
从而……12分
,即证.……14分
18.(本小题满分16分)
将2张边长均为1分米的正方形纸片分别按甲、乙两种方式剪裁并废弃阴影部分.
(1)在图甲的方式下,剩余部分恰能完全覆盖某圆锥的表面,求该圆锥的母线长及底面
半径;
(2)在图乙的方式下,剩余部分能完全覆盖一个长方体的表面,求长方体体积的最大值.
解:
(1)设圆锥的母线长及底面半径分别为,
则……4分
解得……6分
(2)设被完全覆盖的长方体底面边长为,宽为,高为,
则
解得……8分
则长方体的体积:
,……10分
0
↗
极大值
↘
所以.令得,或(舍去).
列表:
……12分
所以,当时,.……14分
答:
(1)圆锥的母线长及底面半径分别为分米,分米.
(2)长方体体积的最大值为立方分米.……16分
19.(本小题满分16分)
对于给定的正整数,如果各项均为正数的数列满足:
对任意正整数,
总成立,那么称是“数列”.
(1)若是各项均为正数的等比数列,判断是否为“数列”,并说明理由;
(2)若既是“数列”,又是“数列”,求证:
是等比数列.
解:
(1)是“数列”,理由如下:
因为是各项均为正数的等比数列,不妨设公比为.……2分
当时,有……4分
.
所以是“数列”.……6分
(2)因为既是“数列”,又是“数列”,
所以,,①
,.②……8分
由①得,,,③……10分
,.④……12分
③④②得,,.
因为数列各项均为正数,所以,.……14分
所以数列从第3项起成等比数列,不妨设公比为.
①中,令得,,所以.
①中,令得,,所以.
所以数列是公比为的等比数列.……16分
20.(本小题满分16分)
设命题:
对任意的,恒成立,其中.
(1)若,求证:
命题为真命题.
(2)
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