第二章谓词逻辑.docx
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第二章谓词逻辑
第二章谓词逻辑
1.什么叫做客体和客体变元?
如何表示客体和客体变元?
2.么叫做谓词?
3.什么叫做论域?
我们定义一个“最大〞的论域叫做什么?
4.填空题:
1.存在量词:
记作(),表示()或者()或者()。
2.全称量词:
记作(),表示()或者()或者()。
5.什么叫做量词的作用域?
指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。
"x(F(x,y)→$yP(y))∧Q(z)∧$xA(x)
"x$y"z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
6.什么叫做约束变元?
什么叫做自由变元?
指出下面公式中哪些客体变元是约束变元?
哪些客体变元是自由变元?
"x(F(x,y)→$yP(y))∧Q(z)∧$xA(x)
7.填空:
一个谓词公式如果无自由变元,它就表示一个()。
8.给出的谓词J(x):
x是教练员,L(x):
x是运动员,S(x):
x是大学生,O(x):
x是年老的,V(x):
x是健壮的,C(x):
x是国家选手,W(x):
x是女同志,H(x):
x是家庭妇女,A(x,y):
x钦佩y。
客体j:
金某人。
用上面给出的符号将下面命题符号化。
1.所有教练员是运动员。
2.某些运动员是大学生。
3.某些教练是年老的,但是健壮的。
4.金教练既不老,但也不是健壮的。
5.不是所有运动员都是教练。
6.某些大学生运动员是国家选手。
7.没有一个国家选手不是健壮的。
8.所有老的国家选手都是运动员。
9.没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。
10.有些女同志既是教练又是国家选手。
11.所有运动员都钦佩某些教练。
12.有些大学生不钦佩运动员。
9.将下面命题符号化
1.金子闪光,但闪光的不一定都是金子。
2.没有大学生不懂外语。
3.有些液体可以溶解所有固体。
4.每个大学生都爱好一些文体活动。
5.每个自然数都有唯一的后继数。
10.令P表示天气好。
Q表示考试准时进展。
A(x)表示x是考生。
B(x)表示x提前进入考场。
C(x)表示x取得良好成绩。
E(x,y)表示x=y。
利用上述符号,分别写出下面各个命题的符号表达式。
1.如果天气不好,那么有些考生不能提前进入考场。
2.只有所有考生提前进入考场,考试才能准时进展。
3.并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。
4.有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。
11.将下面命题符号化。
1.对一个大学生来说,仅当他刻苦学习,才能取得优异成绩。
(S(x):
x是大学生;Q(x):
x取得了优异成绩;H(x):
x刻苦学习。
)
2.每个不等于0的自然数,都有唯一的前驱数。
(Z(x):
x是自然数;E(x,y):
x=y;Q(x,y):
y是x的前驱数。
)
在括号分别写入y是B的极小元、最小元、下界相应的谓词表达式。
y是B的极小元Û()
y是B的最小元Û()
y是B的下界Û()
13.设论域D={1,2}又a=1b=2f
(1)=2f
(2)=1
P(1,1)=TP(1,2)=TP(2,1)=FP(2,2)=F
求谓词公式"x$y(P(x,y)®P(f(x),f(y)))的真值。
(要求有解题的过程)
14设论域为{2,3},A(x,y)表示x+y=xy。
求谓词公式Ø"x$yA(x,y)的真值。
(要求有解题的过程。
)
15.设谓词P(x,y)表示x是y的因子,论域是{1,2,3}。
求谓词公式"x$yØA(x,y)的真值。
(要求有解题过程)
16.令论域D={a,b},P(a,a):
F,Pa,b):
T,P(b,a):
T,P(b,b):
F。
公式()的真值为真。
A:
"x$yP(x,y)B:
$x"yP(x,y)C:
"x"yP(x,y)D:
Ø$x$yP(x,y)
17.令论域D={a,b},P(a,a):
F,P(a,b):
T,P(b,a):
T,P(b,b):
F,公式()的真值为真。
a:
Ø$x$yP(x,y)b:
$x"yP(x,y)c:
"x"yP(x,y)d:
"x$yP(x,y)
18.令Lx,y)表示x a: 自然数集合b: 整数集合c: 有理数集合d: 实数集合 19.设论域为{1,2,3},谓词公式$xP(x,3)®("yØP(3,y)®$zP(1,z))的真值为假,那么x=2时,使P(x,3)为真。 此说法是否正确? 针对你的答案说明原因。 20.什么叫做对谓词公式赋值? 21.什么叫做谓词公式的永真式? 22.什么叫做谓词公式A与B等价? 23.什么叫做谓词公式A永真蕴含B? 24.设B是个不含客体变元x的谓词公式,在下面的等价公式中,哪些是不正确? 说明不正确的原因。 1."xA(x)∨BÛ"x(A(x)∨B) 2."xA(x)∧BÛ"x(A(x)∧B) 3.B→"xA(x)Û"x(B→A(x)) 4."xA(x)→BÛ"x(A(x)→B) 25.证明下面等价公式$x(A(x)→B(x))Û"xA(x)→$xB(x) 26.证明下面等价公式$xA(x)→"xB(x)Þ"x(A(x)→B(x)) 27.下面谓词公式等价成立吗? 对你的回答给予证明或者举反例。 $xA(x)∧$xB(x)Û$x(A(x)∧B(x)) 28.下面谓词公式等价成立吗? 对你的回答给予证明或者举反例。 "x(A(x)∨B(x))Û"xA(x)∨"xB(x) 29.下面永真蕴涵式成立吗? 对你的回答给予证明或者举反例。 $xA(x)∧$xB(x)Þ$x(A(x)∧B(x)) 30.下面永真蕴涵式成立吗? 对你的回答给予证明或者举反例。 "x(A(x)∨B(x))Þ"xA(x)∨"xB(x) 31.什么叫做谓词公式的前束式? 32.不是谓词公式"x(A(x,y)®$yB(x,y))的前束式的为() a: "x$y(A(x,t)®B(x,y))b: "x$t(A(x,y)®B(x,t)) c: "x$y(A(x,y)®B(x,y))d: "t$y(A(t,x)®B(t,y)) 33.写出谓词公式"x(P(x)∧R(x))→(Ø$xP(x)∧Q(x))的前束式。 34.分别指出推理规那么US、ES、的名称、形式、作用以与使用这些规那么时的考前须知。 35.举例说明在谓词推理时,使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用US规那么所指 定的客体c(即本次用ES特指客体c,不应该是以前特指的客体)。 并分析发生的错误。 36.举例说明在谓词推理时,使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用ES规那么所 指定的客体c(即本次用ES特指客体c,不应该是以前特指的客体)。 并分析发生的错误。 37.分别指出推理规那么EG、UG的名称、形式、作用以与使用这些规那么时的考前须知。 38.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。 (要求按照推理的格式书写推理过程。 ) "xC(x),$x(A(x)ÚB(x)),"x(B(x)®ØC(x))Þ$xA(x) 39.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。 (要求按照推理的格式书写推理过程。 )“不认识错误的人,也不能改正错误。 有些诚实的人改正了错误。 所以有些诚实的人是认 识了错误的人。 〞 设A(x): x是认识错误的人。 B(x): x改正了错误。 C(x): x是诚实的人。 命题符号化为: "x(ØA(x)→ØB(x)),$x(C(x)∧B(x)),Þ$x(C(x)∧A(x)) 40.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 〔要求按照推理格式书写推理过程。 〕 "x(A(x)®(ØB(x)ÚØC(x))),"x(A(x)®(ØC(x)®D(x))),$x(A(x)ÙØD(x))Þ$x(A(x)ÙØB(x)) 41.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 $x(A(x)Ù(B(x)®ØC(x))),"x(A(x)®(C(x)ÚØD(x))),"x(A(x)®D(x)) Þ$x(A(x)ÙØB(x)) 42.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 〔要求按照推理格式书写推理过程。 〕 “鸟都会飞。 猴子都不会飞。 所以,猴子都不是鸟。 〞 43.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 〔要求按照推理格式书写推理过程。 〕 “一些病人喜欢所有医生。 任何病人都不喜欢庸医。 所以没有医生是庸医。 〞 44.给定谓词如下: S(x): x是学生;L(x): x是校领导;G(x): x是好的;T(x): x是教师;P(x): x受过处分;C(x,y): y表扬x。 用上述谓词表达下面各个命题,并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。 “没有受过处分的学生,都受到过校领导的表扬;有些好学生,仅仅受到教师的表扬;所有好学生,都没有受过处分。 所以,有的教师是校领导。 〞 45.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 〔要求按照推理格式书写推理过程。 〕 “任何人如果他喜欢步行,他就不喜欢乘汽车;每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。 有的人不爱骑自行车,因此有的人不爱步行。 〞 46.给定谓词M(x): x是高山俱乐部成员。 H(x): x是滑雪者。 D(x): x是登山者。 L(x,y): x喜欢y。 客体: a: 小;b: 小;c: 小林;d: 雨;e: 雪。 用谓词逻辑推理证明方法,解决下面问题。 〔要求按照推理格式书写推理过程。 〕 “小、小和小林为高山俱乐部成员,该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。 没有一个登山者喜欢雨。 而所有滑雪者都喜欢雪。 但凡小喜欢的,小就不喜欢。 小喜欢雨和雪。 试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。 如果有,他是谁? 〞 47.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 〔要求按照谓词逻辑推理格式,书写推理过程。 〕 $x(ØP(x)®Q(x)),"x(ØQ(x)ÚØR(x)),"xR(x)Þ$xP(x) 48.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 〔要求按照谓词逻辑推理格式,书写推理过程。 〕 "x(P(x)®(Q(x)ÙR(x))),Ø"x(R(x)®Q(x))Þ$x(R(x)ÙØP(x)) 49.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 (要求: 按照教材中推理的格式写出推理过程) "x(ØC(x)Ú(ØA(x)ÚØB(x))),"x(A(x)®(ØC(x)®D(x))),Ø"x(ØA(x)ÚD(x)) Þ$x(A(x)ÙØB(x)) 50.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 (要求: 按照逻辑推理格式书写推理过程) "x($y(S(x,y)ÙM(y))®$z((P(z)ÙR(x,z)))ÞØ$zP(z)®"x"y(S(x,y)®ØM(y)) 51.设: N(x)表示x是自然数;O(x)表示x是奇数;E(x)表示x是偶数;C(x)表示x能被2整除。 用上面给定的谓词表示下面各个命题,然后用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。 〔注: 要按照教材中推理的书写格式描述推理过程〕 “每个自然数不是奇数就是偶数;所有奇数都不能被2整除;有些自然数能被2整除;因此,有些自然数是偶数。 〞 52.用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。 〔注: 要按照教材中推理的书写格式描述推理过程〕 $x(A(x)ÙØ"y(ØB(y)ÚØC(x,y))),"x(A(x)®"y(D(y)®ØC(x,y)))Þ$y(B(y)ÙØD(y)) 53.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 (要求按照教材格式写出推理过程) "x(A(x)®$y(B(y)®ØC(x,y))),"x(A(x)®"y(C(x,y)ÚD(y))),$xA(x)Ù"yØD(y) ⇒$yØB(y) 54.给定谓词如下: A(x): x是书刊;B(x): x是合法出版的;C(x): x是人;D(x): x感到忧虑。 先用这些谓词将下面各个命题符号化,再用谓词逻辑推理方法证明这个推理是正确的。 “如果有些书刊是非法出版的,那么所有人都感到忧虑。 一些人不感到忧虑。 因此,所有书刊都是合法出版的。 〞 55.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。 (按照教材格式写出推理过程) $xA(x),$x(B(x)ÙØC(x)),"z((A(z)Ù"x$yD(x,y))®"y(B(y)®C(y))),Þ"y$xØD(x,y) 56.给定谓词: N(x): x是自然数,E(x): x是偶数,O(x): x是奇数,D(x,y): x可被y整除。 用上述谓词表达下面各命题,并用谓词逻辑推理方法证明其推理的有效性。 “每个自然数不是偶数,就是奇数。 自然数为偶数,当且仅当它能被2整除。 并不是所有自然数都可以被2整除。 所以,有的自然数是奇数。 〞 57.用谓词推理证明下面推理的有效性。 〔注: 要按照教材中推理的书写格式描述推理过程〕 $x(A(x)Ù$y(B(y)ÙC(x,y))),"x(A(x)®"y(D(y)®ØC(x,y)))ÞØ"y(B(y)®D(y)) 58.分析下面推理过程是否正确。 如果有错误,请指出错误所在之处。 并写出正确的推理过程。 "x(A(x)→B(x)),$xA(x)Þ$xB(x) ⑴"x(A(x)→B(x))P ⑵A(c)→B(c)US⑴ ⑶$xA(x)P ⑷A(c)ES⑶ ⑸B(c)T⑵⑷I11 ⑹$xB(x)EG⑸ 59.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。 要求按照推理的格式书写推理过程。 $xP(x),"x(Q(x)®ØR(x)),"x(ØP(x)ÚR(x))Þ$xØQ(x) 1.答案: 定义: 能够独立存在的事物,称之为客体,也称之为个体。 它可以是具体的,也可以是抽象的事物。 通常用小写英文字母a、b、c、...表示。 定义: 用小写英文字母x、y、z...表示任何客体,那么称这些字母为客体变元。 2.答案: 定义: 一个大写英文字母后边有括号,括号是假设干个客体变元,用以表示客体的属性或者客体之间的关系,称之为谓词。 如果括号有n个客体变元,称该谓词为n元谓词。 3.答案: 定义: 在命题函数中客体变元的取值围,称之为论域,也称之为个体域。 论域是一个集合。 定义: 由所有客体构成的论域,称之为全总个体域。 它是个“最大〞的论域。 4.答案: 1.存在量词: 记作($),表示(有些)或者(一些)或者(至少一个)。 2.全称量词: 记作("),表示(每个)或者(任何一个)或者(所有的)。 5.答案: 在谓词公式中,量词的作用围称之为量词的作用域,也叫量词的辖域。 在"x(F(x,y)→$yP(y))∧Q(z)∧$xA(x)中: "x的作用域: (F(x,y)→$yP(y)) $y的作用域: P(y) $x的作用域: A(x) 在"x$y"z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)中: "x的作用域: $y"z(A(x,y)→B(x,y,z)) $y的作用域: "z(A(x,y)→B(x,y,z)) "z的作用域: (A(x,y)→B(x,y,z)) 6.答案: 定义: 如果客体变元x在"x或者$x的辖域,那么x在此辖域约束出现,并称x在此辖域是约束变元。 否那么x是自由出现,并称x是自由变元。 在"x(F(x,y)→$yP(y))∧Q(z)∧$xA(x)中 F(x,y)中的x和P(y)中的y以与A(x)中x是约束变元。 而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由变元。 7.答案: (命题) 8.答案: 1."x(J(x)→L(x)) 2.$x(L(x)∧S(x)) 3.$x(J(x)∧O(x)∧V(x)) 4.J(j)∧ØO(j)∧ØV(j) 5.Ø"x(L(x)→J(x))或者$x(L(x)∧ØJ(x)) 6.$x(S(x)∧L(x)∧C(x)) 7.$Øx(C(x)∧ØV(x))或者"x(C(x)→V(x)) 8."x((O(x)∧C(x))→L(x)) 9.Ø$x(W(x)∧C(x)∧H(x)) 10.$x(W(x)∧J(x)∧C(x)) 11."x(L(x)→$y(J(y)∧A(x,y))) 12.$x(S(x)∧"y(L(y)→ØA(x,y))) 9.答案: 1.设: G(x): x是金子。 F(x): x闪光。 那么命题的表达式为 "x(G(x)®F(x))ÙØ"x(F(x)®G(x))或者 "x(G(x)®F(x))Ù$x(F(x)ÙØG(x)) 2.设S(x): x是大学生。 F(x): x是外语。 K(x,y): x懂得y。 那么命题的表达式为 Ø$x(S(x)Ù"y(F(y)®ØK(x,y)))或者 "x(S(x)®$y(F(y)ÙK(x,y))) 3.设F(x): x是液体。 .S(x): x是固体。 D(x,y): x可溶解y。 那么命题的表达式为 $x(F(x)Ù"y(S(y)®D(x,y))) 4.设S(x): x是大学生。 L(x,y): x爱好y。 C(x): x是文娱活动。 P(x): x是体育活动。 那么命题的表达式为: "x(S(x)®$y((C(y)∨P(y))ÙL(x,y))) 5.设令N(x): x是自然数。 A(x,y): y是x的后继数。 E(x,y): x=y那么命题的表达式为 "x(N(x)→$y(N(y)∧A(x,y)∧"z((N(z)∧A(x,z))→E(y,z)))) 10.答案: 1.ØP®$xA(x)ÙØB(x) 2.Q®"x(A(x)®D(x)) 3.Ø"x((A(x)Ù(B(x))®C(x)) 4.$xA(x)ÙB(y)ÙØC(x)Ù"y((A(y)ÙB(y)ÙC(y))®E(x,y))) 11.答案: 1."x(S(x)→(Q(x)→H(x))) 2."x((Z(x)∧ØE(x,0))→$y(Z(y)∧Q(x,y)∧"z((Z(z)∧Q(x,z))→E(y,z)))) 12.答案: y是B的极小元Û($y(y∈B∧Ø$x(x∈B∧x≠y∧x≤y))) y是B的最小元Û($y(y∈B∧"x(x∈B→y≤x))) y是B的下界Û($y(y∈A∧"x(x∈B→y≤x))) 13.答案: 解: "x$y(P(x,y)®P(f(x),f(y))) Û$y(P(1,y)®P(f (1),f(y)))Ù$y(P(2,y)®P(f (2),f(y))) Û((P(1,1)®P(f (1),f (1)))Ú(P(1,2)®P(f (1),f (2))))ÙP(2,1)®P(f (2),f (1)))Ú(P(2,2)®P(f (2),f (2)))) Û((P(1,1)®P(2,2))Ú(P(1,2)®P(2,1)))Ù((P(2,1)®P(1,2))Ú(P(2,2)®P(1,1))) Û((T®F)Ú(T®F))Ù((F®T)Ú(F®T)) Û(FÚF)Ù(TÚT) ÛFÙTÛF 14.答案: 解: Ø"x$yA(x,y)Û$x"yØA(x,y) Û"yØA(2,y)Ú"yØA(3,y) Û(ØA(2,2)ÙØA(2,3))Ú(ØA(3,2)ÙØA(3,3)) Û(FÙT)Ú(TÙT) ÛFÚTÛT 15.答案: 解: "x$yØA(x,y) Û$yØA(1,y)Ù$yØA(2,y)Ù$yØA(3,y) Û(ØA(1,1)ÚØA(1,2)ÚØA(1,3))Ù(ØA(2,1)ÚØA(2,2)ÚØA(2,3)) Ù(ØA(3,1)ÚØA(3,2)ÚØA(3,3)) Û(FÚF)ÚF)Ù(TÚF)ÚT)Ù(TÚTÚT)) ÛF 16.答案: A 17.答案: 令论域D={a,b},P(a,a): F,P(a,b): T,P(b,a): T,P(b,b): F,公式(d)的真值为真。 a: Ø$x$yP(x,y)b: $x"yP(x,y)c: "x"yP(x,y)d: "x$yP(x,y) 因为a: Ø$x$yP(x,y)ÛØ($yP(a,y)Ú$yP(b,y))ÛØ(P(a,a)ÚP(a,b))Ú(P(b,a)ÚP(b,b)) ÛØ((FÚT)Ú(TÚF))ÛF b: $x"yP(x,y)Û"yP(a,y)Ú"yP(b,y)Û(P(a,a)ÙP(a,b))Ú(P(b,a)ÙP(b,b)) Û(FÙT)Ú(TÙF)ÛF c: "x"yP(x,y)Û"yP(a,y)Ù"yP(b,y)Û(P(a,a)ÙP(a,b))Ù(P(b,a)ÙP(b,b)) Û(FÙT)Ù(TÙF)ÛF d: "x$yP(x,y)Û$yP(a,y)Ù$yP(b,y)Û(P(a,a)ÚP(a,b))Ù(P(b,a)ÚP(b,b)) Û(FÚT)Ù(TÚF)ÛT 18.答案: a 19.答案: 解: 此说确。 因为$xP(x,3)®("yØP(3,y)®$zP(1,z))的真值为假,所以$xP(x,3)的真值为真,"yØP(3,y)的真值为真,$zP(1,z))的真值为假。 由$xP(x,3)的真值为真,得P(1,3)为真,或者P(2,3)为真,或者P(3,3)为真。 由"yØP(3,y)的真值为真,得P(3,1)、P(3,2)、P(3,3)均为假。 由$zP(1,z))的真值为假,得P(1,1)、P(1,2)、P(1,3)均为假。 综合上述情况得,P(2,3)为真, 20.答案: 假设将给定的谓词公式中的命题变元,用确定的命题代替,对公式中的客体变元用 论域中的客体代替,这个过程就称之为对谓词公式作指派,或称之为对谓词公式赋值。 21.答案: 给定谓词公式A,E是其论域,如果不论对公式A作任何赋值,都使得A的真值为真,那么称公式A在论域E上是永真式。 如果不论对什么论域E,都使得公式A为永真式,那么称A为永真式。 22.答案: 给定谓词公式A、B,E是它们的论域,如果不论对公式A、B作任何赋值,都使得A与B的真值一样(或者说A«B是永真式),那么称公式A与B在论域E上是等价的。 如果不论对什么论域E,都使得公式A与B等价,那么称A与B等价,记作AÛB。 23.答案: 给定谓词公式A、B,E是它们的论域,如果不论对公式A、B作任何赋值,使得 A→B为永真式,那么称在论域E上公式A永真蕴含B。 如果不论对什么论域E,都使得公式A→B为永真式,那么称A永真蕴含B,记作AÞB。 24.答案: 解: 4式不正确。 因为 "xA(x)→BÛØ"xA(x)∨BÛ$xØA(x)∨BÛ$x(ØA(x)∨B)Û$x(A(x)→B) 所以"xA(x)→B不等价于"x(A(x)→B),即4式不成立。 25.答案: 证明"xA(x)→$xB(x) ÛØ"xA(x)∨$xB(x) Û$xØA(x)∨$xB(x) Û$x(ØA(x)∨B(x)) Û$x(A(x)→B(x)) 26.答案: 证明$xA(x)→"xB(x) ÛØ$xA(x)∨"xB(x) Û"xØA(x)∨"xB(x) Þ"x(ØA(x)∨B(x)) Û"x(A(x)→B(x)) 27.答案: 不成立。 因为根据
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