八年级全等三角形几何辅助线能力拓展.docx
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八年级全等三角形几何辅助线能力拓展.docx
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八年级全等三角形几何辅助线能力拓展
1、如图①,线段BE上有一个C,以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC,DCE。
连接AE、BD。
(1)线段BD和线段AE相等吗(如图①)?
若相等,请证明你的结论。
(2)若将△CDE绕点C顺时针旋转一个角
(如图②),则BD和AE还相等吗?
2、
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E在边CD上,连接BE、AE并延长AE交BC的延长线于点F,若∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:
(1)BE⊥AF;
(2)AD+BC=AB
3、已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合,它的两条直角边分别与OA、OB(或它们的反向延长线)相交于点D、E。
(1)当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)根据
,CD=CE;
(2)当三角形绕点C旋转到图2情况下,上述结论是否还成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请写出你的猜想;
(3)当三角板绕点C旋转到图3情况下,直接写出CD与CE的大小关系。
4、如图,已知△ABC中,AB=AC=6cm,∠B=∠C,BC=4cm,点D为AB的重点。
(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向C运动,同时,点Q在线段CA上由点C向点A运动。
1若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等。
请说明理由
2若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为时,经过秒后,能够使△BPD与△CQP全等。
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
5、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE。
(1)如图①所示,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,求∠BCE得度数。
(2)设∠BAC=
。
1如图②所示,当点D在线段BC上移动,则
、
之间有怎样的数量关系?
请说明理由。
2如图②所示,当点D直线BC上移动,则
、
之间有怎样的数量关系?
请直接写出你的结论。
6、将两个全等的Rt△ABC和Rt△DBE按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE所在的直线交AC所在直线于点F。
(1)求证:
AF+EF=DE;
(2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α,且0°<α<60°,其它条件不变,请在图②中画出变换后的图形,并直接写出
(1)中的结论是否仍然成立。
(3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β,且60°<β<180°,其它条件不变,得到如图③,你认为
(1)中的结论是否还成立?
若成立,请说明理由;若不成立,请写出AF、EF、DE之间的关系并说明理由。
7、如图,△ABC中,∠B=∠ACB,点D在AC的延长线上,点E在AB上,且BE=CD,DE交BC于G,EF⊥BC于F,求证:
BC=2FG。
8、如图,在△ABC中,PB、PC分别是△ABC的两个外角的角平分线,求证:
PA是∠BAC的平分线。
9、如图,在△ABC中,AB≠AC,∠BAC的外角平分线交直线BC于D,过D作DE⊥AB,DF⊥AC分别交直线AB、AC于E、F,连接EF,求证:
AD垂直平分EF。
10、如图,已知在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,且CD=CB。
(1)
求证:
∠ABC+∠ADC=180°;
(2)若AE=3BE=9,求AD得长;
(3)△ABC和△ACD的面积分别为36和24,求△BCE得面积。
11、如图,△ABC中,AB>AC,AD是角平分线,P是AD上任意一点。
求证:
AB-AC>PB-PA。
12、已知,如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC。
(1)
求证:
AM平分∠BAD;
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系并证明;
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系并证明;
13、如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,过C作CE⊥AB于点E,并且AE=
(AB+AD),求∠ABC+∠ADC得度数。
14、如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:
DE=DF
15、如图,已知AC//BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E。
求证:
AB=AC+BD。
16、如图①,在平面直角坐标系中,已知A(-4,0),B(0,4),C(0,2),D(2,0).
(1)求证:
AC=BD;
(2)如图②,设E,F分别是AC,BD的中点,试判断△OEF的形状,并说明理由;
(3)如图③,延长AC交BD于P,连接OP,试求
的值。
17、已知,如图,△ABC是等边三角形,过AC边上的点D作DG//BC,交AB于点G,在GD的延长线上取一点E,使DE=DC,连接AE,BD。
(1)求证:
△AGE
△DAB;
(2)过点E作EF//DB,交BC于点F,连接AF,求∠AFE的度数;
18、如图,△ABC,△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条直线上,AD与BE,AD与BC,BE与CD分别交于点O、点P、点Q。
求证:
(1)AD=BE,AP=BQ;
(2)∠AOB=60°,OC平分∠AOE
(3)PQ//AE;
19、已知:
如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于P,M.
(1)求证:
AB=CD;
(2)若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD
的数量关系,并说明理由.
20、如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
⑴求证:
△AMB≌△ENB;
⑵①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
21、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.
,且EF交正方形外角
的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证
,所以
.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
22、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;
(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG.你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问
(1)中的结论是否仍然成立?
23、以
的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
和等腰Rt
,
连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当
为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt
绕点A沿逆时针方向旋转
(0<
<90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
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