届二轮复习 不等式学案全国通用.docx
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届二轮复习不等式学案全国通用
专题七 不等式
———————命题观察·高考定位———————
(对应生用书第28页)
1.(2016·江苏高考)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是________.
[根据已知的不等式组画出可行域,如图阴影部分所示,则(x,y)为阴影区域内的动点.d=可以看做坐标原点O与可行域内的点(x,y)之间的距离.数形结合,知d的最大值是OA的长,d的最小值是点O到直线2x+y-2=0的距离.由可得A(2,3),
所以dmax==,dmin==.所以d2的最小值为,最大值为13.所以x2+y2的取值范围是.]
2.(2015·江苏高考)不等式2x2-x<4的解集为______.
{x|-1<x<2} [∵2x2-x<4,∴2x2-x<22,∴x2-x<2,即x2-x-2<0,∴-1<x<2.]
3.(2014·江苏高考)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.
【导号:
56394045】
[作出二次函数f(x)的图象,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,
则有
即
解得- 所以实数a的取值范围为.] [命题规律] 在近年的高考数中,有关不等式的试题都占有较大的比重.不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力.在题型上,填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等.试题常常是寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中,知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高考数思想、数方法、考能力、考素质的主阵地.从近几年数试题得到启示: 涉及不等式解法的题目,往往较为容易;对简单线性规划的应用的考查,不但具有连续性,而且其题型规律易于把握;对基本不等式的考查,较多的寓于综合题目之中. 通过第二轮的专题复习,应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上,强化记忆,熟化常见题型的解法,提升综合应用不等式解题的能力. ———————主干整合·归纳拓展——————— (对应生用书第28页) [第1步▕核心知识再整合] 1.在证明不等式的各种方法中,作差比较法是一种最基本、最重要的方法,它是利用不等式两边的差是正数还是负数证明不等式,其应用非常广泛,一定要熟练掌握. 2.解不等式的过程,实质上是不等式等价转化的过程.因此在习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.转化的方法是: 超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式.其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础,这体现了转化与化归的数思想. 3.对于公式a+b≥2,ab≤2,要理解它们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 4.在应用均值定理求最值时,要把握定理成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件,就会出现错误. 5.平面区域的确定方法是“直线定界,特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集.确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等,只需把区域画出,结合图形通过计算解决. 线性目标函数z=ax+by中的z不是直线ax+by=z在y轴上的截距,把目标函数化为y=-x+可知是直线ax+by=z在y轴上的截距,要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值. 6.含有绝对值的不等式常用的方法是: (1)由定义分段讨论; (2)利用绝对值不等式的性质;(3)平方;(4)利用绝对值的几何意义. [第2步▕高频考点细突破] 简单线性规划的应用 【例1】 (江苏省泰州中2017届高三摸底考试)已知实数x,y满足若不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立,则实数a的最小值是________. [解析] 可行域为一个三角形ABC及其内部(图略),其中A(2,4),B(1,4),C,因此∈[kOA,kOB]=[2,4],因为+在[2,4]上单调递增,所以+∈,不等式a(x2+y2)≥(x+y)2恒成立等价于a≥max=max=⇒amin=. [答案] [规律方法] 这是简单线性规划的应用的基本题型.基本思路是: 画、移、解、代.技巧是: 往往在“角点”处取得最值,直接代入点的坐标即可,关键点是理解目标函数的几何意义. [举一反三] (2017·江苏省泰州市高考数一模)若实数x,y满足则z=3x+2y的最大值为________. 7 [作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分). 由z=3x+2y得y=-x+z, 平移直线y=-x+z, 由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大, 此时z最大. 由 解得A(1,2), 代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7. 即目标函数z=3x+2y的最大值为7.] 简单线性规划“逆向”问题,确定参数的取值(范围) 【例2】 (无锡市普通高中2017届高三上期期中基础性检测)已知x,y满足,若z=3x+y的最大值为M,最小值为m,且M+m=0,则实数a的值为________. [解析] 画出不等式组表示的区域如图,结合图形可以看出当动直线y=-3x+z经过点A(a,a)和B(1,1)时,z=3x+y分别取最小值m=4a和最大值m=4,由题设可得4a+4=0,所以a=-1. [答案] -1 [规律方法] 尝试画出“可行域”,通过平移直线确认“最优解”,建立参数的方程. [举一反三] 实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-2,则实数m的值为________. 【导号: 56394046】 8 [如图,约束条件表示的可行域应该是△ABC内部(含边界)(否则可行域不存在),作直线l: x-y=0,当把直线l向上平移时,z减小,因此其最小值点是直线y=2x-1与直线x+y=m的交点,由得B(3,5),代入x+y=m得m=8.] 基本不等式的应用 【例3】 (2016-2017年度江苏苏州市高三期中调研考试)若函数y=tanθ+,则函数y的最小值为________. [解析] ∵θ∈,∴tanθ>0. y=tanθ+=tanθ+=tanθ+≥2=2,当且仅当tanθ=1时取等号.因此y的最小值为2. [答案] 2 [规律方法] 应用基本不等式,应注意“一正、二定、三相等”,缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代(换)”,创造应用不等式的条件,是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件,是常见错误之一. [举一反三] (苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上期期中)已知正数a,b满足+=-5,则ab的最小值为________. 36 [+=-5⇒-5≥2⇒()2-5-6≥0⇒≥6⇒ab≥36,当且仅当b=9a时取等号,因此ab的最小值为36.] 不等式的综合应用 【例4】 (泰州中2016-2017年度第一期第一次质量检测)已知二次函数f(x)=mx2-2x-3,关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为. (1)当a>0时,解关于x的不等式: ax2+n+1>(m+1)x+2ax; (2)是否存在实数a∈(0,1),使得关于x的函数y=f(ax)-3ax+1(x∈[1,2])的最小值为-5? 若存在,求实数a的值;若不存在,说明理由. [解] (1)由不等式mx2-2x-3≤0的解集为知,关于x的方程mx2-2x-3=0的两根为-1和n,且m>0, 由根与系数关系,得 ∴ 所以原不等式化为(x-2)(ax-2)>0, ②当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解得x∈R且x≠2; ③当a>1时,原不等式化为(x-2)>0,且2>,解得x<或x>2; 综上所述:
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