高考数学高考数学理一轮复习精品选修4系列.docx
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高考数学高考数学理一轮复习精品选修4系列
2016年高考数学(理)一轮复习精品选修4系列
N1选修4-1几何证明选讲
15.N1[2014·广东卷](几何证明选讲选做题)如图13所示,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB=2AE,AC与DE交于点F,则=________.
图13
15.9 [解析]本题考查相似三角形的性质定理,面积比等于相似比的平方.
∵EB=2AE,∴AE=AB=CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴△AEF∽△CDF,∴==9.
15.N1[2014·湖北卷](选修41:
几何证明选讲)
如图13,P为⊙O外一点,过P点作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=________.
图13
15.4 [解析]由切线长定理得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4,解得QA=2.故PB=PA=2QA=4.
12.N1[2014·湖南卷]如图13所示,已知AB,BC是⊙O的两条弦,AO⊥BC,AB=,BC=2,则⊙O的半径等于________.
图13
12. [解析]设圆的半径为r,记AO与BC交于点D,依题可知AD=1.由相交弦定理可得1×(2r-1)=×,解得r=.
22.N1[2014·辽宁卷]选修41:
几何证明选讲
如图17所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上—点且PG=PD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.
(1)求证:
AB为圆的直径;
(2)若AC=BD,求证:
AB=ED.
图17
22.证明:
(1)因为PD=PG,所以∠PDG=∠PGD.
由于PD为切线,故∠PDA=∠DBA,
又因为∠PGD=∠EGA,所以∠DBA=∠EGA,
所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD,
从而∠BDA=∠PFA.
又AF⊥EP,所以∠PFA=90°,所以∠BDA=90°,故AB为圆的直径.
(2)连接BC,DC.
由于AB是直径,故∠BDA=∠ACB=90°.
在Rt△BDA与Rt△ACB中,AB=BA,AC=BD,从而得Rt△BDA≌Rt△ACB,
于是∠DAB=∠CBA.
又因为∠DCB=∠DAB,所以∠DCB=∠CBA,故DC∥AB.
因为AB⊥EP,所以DC⊥EP,∠DCE为直角,
所以ED为直径,又由
(1)知AB为圆的直径,所以ED=AB.
22.N1[2014·新课标全国卷Ⅰ]选修41:
几何证明选讲
如图16,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
图16
(1)证明:
∠D=∠E;
(2)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:
△ADE为等边三角形.
22.证明:
(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.
又AD不是⊙O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD,
所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,由
(1)知,∠D=∠E,所以△ADE为等边三角形.
22.N1[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修41:
几何证明选讲
如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.
图14
22.证明:
(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,
故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
15.[2014·陕西卷]
图13
B.N1(几何证明选做题)如图13,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC=2AE,则EF=________.
15.B.3 [解析]B.由题意,可知∠AEF=∠ACB,又∠A=∠A,所以△AEF∽ACB,所以=.因为AC=2AE,BC=6,所以EF=3.
6.N1[2014·天津卷]
图12
如图12所示,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:
①BD平分∠CBF;
②FB2=FD·FA;
③AE·CE=BE·DE;
④AF·BD=AB·BF.
则所有正确结论的序号是( )
A.①②B.③④
C.①②③D.①②④
6.D [解析]如图所示,∵∠1=∠3,∠2=∠4,且∠1=∠2,∴∠4=∠3,∴BD平分∠CBF,∴△ABF∽△BDF.
∵=,∴AB·BF=AF·BD.∵=,∴BF2=AF·DF.故①②④正确.
14.N1[2014·重庆卷]过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA=6,AC=8,BC=9,则AB=________.
14.4 [解析]根据题意,作出图形如图所示,由切割线定理,得PA2=PB·PC=PB·(PB+BC),即36=PB·(PB+9)∴PB=3,∴PC=12.由弦切角定理知∠PAB=∠PCA,又∠APB=∠CPA,∴△PAB∽△PCA,∴=,即AB===4.
N2选修4-2矩阵
21.N2[2014·福建卷](Ⅰ)选修42:
矩阵与变换
已知矩阵A的逆矩阵.
(1)求矩阵A;
(2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.
21.(Ⅰ)解:
(1)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且=2×2-1×1=3≠0,
所以A==.
(2)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)==λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=)是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=)是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.
N3选修4-4参数与参数方程
13.N3[2014·天津卷]在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为________.
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