中考数学二次函数压轴题题型归纳.docx
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中考数学二次函数压轴题题型归纳
中考二次函数综合压轴题型归类
、常考点汇总
1用和参数的其他要求确定参数的取值范围;
2解方程,求出方程的根;(两种形式:
分式、二次根式)
3分析求解:
若是分式,分母是分子的因数;若是二次根式,被开方式是完全平方式。
例:
关于x的一元二次方程x2—2m1xm2=0有两个整数根,mv5且m为整数,求m的值。
4、二次函数与x轴的交点为整数点问题。
(方法同上)
例:
若抛物线ymx23m1x3与x轴交于两个不同的整数点,且m为正整数,试确定此抛物线的解析式。
固定的点,并求出固定点的坐标。
解:
把原解析式变形为关于m的方程yx22mlx;
抛物线总经过一个固定的点(1,-1)。
小结:
关于x的方程axb有无数解
7、路径最值问题(待定的点所在的直线就是对称轴)
MN之
(1)如图,直线11、丨2,点A在12上,分别在11、12上确定两点M、N,使得AM
和最小。
N,使得
(2)如图,直线11、12相交,两个固定点A、B,分别在11、12上确定两点M、
BMMNAN之和最小。
(3)如图,A、B是直线I同旁的两个定点,线段a,在直线1上确定两点E、F(
&在平面直角坐标系中求面积的方法:
直接用公式、割补法
三角形的面积求解常用方法:
如右图,SPAB=1/2•PM-^x=1/2•AN・Ay
2
9、函数的交点问题:
二次函数(y=ax+bx+c)与一次函数(y=kx+h)
y=9X+bx+C可求出两个图象交点的坐标。
y=kx+h
尸获+bx+c,即ax2+b-kx+c-h=0,
y=kx+h
通过可判断两个图象的交点的个数有两个交点>0
仅有一个交点0
没有交点v0
10、方程法
(1)设:
设主动点的坐标或基本线段的长度
(2)表示:
用含同一未知数的式子表示其他相关的数量
(3)列方程或关系式
11、几何分析法
特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”
等图形时,利用几何分析法能给解题带来方便。
几何要求
几何分析
涉及公式
应用图形
跟平行有关的
图形
平移
y1y2
l1//l2k2、k——
x1x2
平行四边形
矩形
梯形
跟直角有关的
图形
勾股定理逆定理利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
几r丨22
AB十yAyBXaXb
直角三角形直角梯形矩形
跟线段有关的
图形
利用几何中的全等、中垂线的性质等。
ABJyAyB2XaXb2
等腰三角形
全等等腰梯形
跟角有关的图形
利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等
y=x22x3(以下几种分类的函数解析式就是这个)
★和最小,差最大在对称轴上找一点P,使得PB+PC的和最小,求出P点坐标
在对称轴上找一点P,使得PB-PC的差最大,求出P点坐标
★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P,使得ACP面积最大,求出P坐标
★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为直角三角形,求出P坐标或者在抛物线上求点卩,使厶ACP是以AC为直角边的直角三角形.
★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得ACP为等腰三角形,求出P坐标
★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,
且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标
二综合题型
例1(中考变式)如图,抛物线yx2bxc与X轴交与A(1,0),B(-3,0)两点,顶点为Do
交Y轴于C
(1)求该抛物线的解析式与厶ABC的面积。
(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M,使△MBC是以/BCM为直角的直角三角形,若存
在,求出点P的坐标。
若没有,请说明理由
J
/p
c
\s
1
I°
X
⑶若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合),过E作EF与X轴垂直,交
BC于F,设E点横坐标为x.EF的长度为L,
求L关于X的函数关系式?
关写出X的取值范围?
例2考点:
关于面积最值
如图,在平面直角坐标系中,点A、C的坐标分别为(一1,0)、(03),点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数
图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F.
(1)
求该二次函数的解析式;
(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段
(3)求厶PBC面积的最大值,并求此时点P的坐标.
例3考点:
讨论等腰
12
如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),
2
点C的坐标为(0,—1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE丄x轴于点D,连结。
。
,当厶DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点卩,使厶ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
例4考点:
讨论直角三角⑴如图,已知点A(一1,0)和点B(1,2),在坐标轴上
确定点P,使得△ABP为直角三角形,则满足这样条件的点P共有()
(A)2个(B)4个(C)6个(D)7个
11o
⑵已知:
如图一次函数y=—x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B;二次函数y=-x2+
22
1
bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点,与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1,
2
0)
(1)求二次函数的解析式;
(2)求四边形BDEC的面积S;
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形?
若存在,求出所有的点P,若不存在,请说明理由.
例5考点:
讨论四边形
已知:
如图所示,关于x的抛物线y=ax2+x+c(0)与x轴交于点A(-2,0),点B(6,0),与y轴交于点C.
(1)求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标;
(2)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(3)在
(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是
否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形?
如果存在,请直接写出点Q的坐标;如果
不存在,请说明理由.
综合练习:
1、平面直角坐标系xOy中,抛物线yax24ax4ac与x轴交于点A、点B,与y轴的正半轴交于点C,点A的坐标为(1,0),OB=OC,抛物线的顶点为D。
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足/APB=ZACB,求点P的坐标;
(3)Q为线段BD上一点,点A关于/AQB的平分线的对称点为A,若QAQB,2,求点Q
的坐标和此时厶QAA的面积。
2、在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数yax2+2axc的图像与y轴交于点C0,3,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为3,0。
(1)
求二次函数的解析式及顶点D的坐标;
两部分,求出此时点M的坐标;
是多少?
并求出此时点P的坐标。
3、如图,在平面直角坐标系且对称轴与x轴交于点C。
线BC上,若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标。
4^已知关于x的方程(1m)x2(4m)x30。
(1)若方程有两个不相等的实数根,求m的取值范围;
(2)若正整数m满足82m2,设二次函数y(1m)x2(4m)x3的图象与x轴交于
A、B两点,将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象;请你结合这个新的图象回答:
当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时,求出k的值(只需要求出两个满足题意的k值即可)。
ft
4
2
b
F
V
-4-20
_2
-4
4
”24x
5如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a工0与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)
点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE//AC,交BC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时,求点Q的坐标;
(3)平行于x轴的动直线I与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0).问是否有直线I,使△ODF是等腰三角形?
若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x轴的两个交点分别位于某定点的两侧
2
例1.已知二次函数y=x+(m-1)x+m-2的图象与x轴相交于A(Xi,0),B(X2,0)两点,且
xi (1)若xiX2<0,且m为正整数,求该二次函数的表达式; (2)若xi<1,X2>1,求m的取值范围; (3)是否存在实数m使得过AB两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由; 亠1-,宀MD1 (4)右过点D(0,~2)的直线与 (1)中的二次函数图象相交于MN两点,且"DN=—,求该直线的表达式. 题型二、抛物线与x轴两交点之间的距离问题 例2已知二次函数y=x2+mx+m-5, (1)求证: 不论m取何值时,抛物线总与x轴有两个交点; (2)求当m取何值时,抛物线与x轴两交点之间的距离最短. 题型三、抛物线方程的整数解问题 例1.已知抛物线yx22(m1)xm20与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且m<5,则 整数m的值为 例2.已知二次函数y=x2—2mx+4m—8. (1)当x<2时,函数值y随x的增大而减小,求m的取值范围; (2) AMN(M,N两点 以抛物线y=x2—2mx+4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正 在拋物线上),请问: △AMN勺面积是与m无关的定值吗? 若是,请求出这个定值;若不是,请说 明理由; (3)若抛物线y=x2—2mx+4m—8与x轴交点的横坐标均为整数,求整数m的值. 题型四、抛物线与对称,包括: 点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1•已知抛物线yx2bxc(其中b>0,c丰0)与y轴的交点为A,点A关于抛物线对称轴的 对称点为B(m,n),且AB=2. (1)求m,b的值 ⑵如果抛物线的顶点位于x轴的下方,且BO=20。 求抛物线所对应的函数关系式(友情提醒: 请画图思考) 题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)例1•已知: 二次函数yx24xm的图象与x轴交于不同的两点A(x-i,0)、B(x2,0)(x1 (1)求实数m的取值范围; (2)如果(为+1)(X2+1)=8,求二次函数的解析式; (3)把 (2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移,如果平移后的函数图象与x轴交于点A、 B1,顶点为点C1,且△A3G是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式. 1.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,4),且IAB=2.3,图象的对称轴为x=1. (1)求二次函数的表达式; (2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方,求m的取值范围. 2 2.已知二次函数y=—x+mx-m^2. (1)若该二次函数图象与x轴的两个交点AB分别在原点的两侧,并且AB=E,求m的值; (2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点’MN,且&mnc=27,求m的值. 22 3.已知关于x的一元二次方程x—2(k+1)x+k=0有两个整数根,kv5且k为整数. (1)求k的值; 22 (2)当此方程有两个非零的整数根时,将关于x的二次函数y=x—2(k+1)x+k的图象沿x 轴向左平移4个单位,求平移后的二次函数图象的解析式; (3)根据直线y=x+b与 (2)中的两个函数图象交点的总个数,求b的取值范围. 4.已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m (1)若m为定值,求此二次函数的解析式; (2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围; (3)若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为2,2,求m的值. 四、中考二次函数定值问题 1.如图,已知二次函数y=x2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边),与y轴交于点 C. (1)写出二次函数Li的开口方向、对称轴和顶点坐标; (2)研究二次函数L2: y=kx-4kx+3k(0). 1写出二次函数L2与二次函数Li有关图象的两条相同的性质; 2 EF 若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点,问线段EF的长度是否发生变化? 如果不会,请求出的长度;如果会,请说明理由. 2. O的直 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A(—2,0)、B(2,0)、C(0,-I)三点,过坐标原点 线y=kx与抛物线交于MN两点.分别过点C、D(0,—2)作平行于x轴的直线|1、|2. (1)求抛物线对应二次函数的解析式; ⑵求证以0N为直径的圆与直线|1相切; (3)求线段MN的长(用k表示),并证明MN两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长 £ 3.如图1,已知直线y=kx与抛物线y=—x2+22x交于点A(3,6). 273 (1)求直线y=kx的解析式和线段0A的长度; (2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM交x轴于点M(点M0不重合),交直线0A于点Q再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究: 线段QM与线段QN的长度之比是否为定值? 如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由; (3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段0A上(与点OA不重合),点D(m 0)是x轴正半轴上的动点,且满足/BAEKBED/AOD继续探究: m在什么范围时,符合条件的 E点的个数分别是1个、2个? 4•孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将 一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点, 请解答以下问题: (1)若测得OA=OB=2'、2(如图1),求a的值; (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF丄x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标; (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总 经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标. |y 图1 图2
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