高考数学理科分类汇编专题 圆锥曲线.docx

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高考数学理科分类汇编专题圆锥曲线

专题9圆锥曲线

1.【2014高考福建卷第9题】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（）

A.B.C.D.

9．D　[解析]设圆心为点C，则圆x2＋（y－6）2＝2的圆心为C（0，6），半径r＝.设点Q（x0，y0）是椭圆上任意一点，则＋y＝1，即x＝10－10y，

∴|CQ|＝＝＝，

当y0＝－时，|CQ|有最大值5　，

则P，Q两点间的最大距离为5　＋r＝6　.

2.【2014高考广东卷理第4题】若实数满足，则曲线与曲线的（）

A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等

4．A　[解析]本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解．

∵00，25－k>0.

对于双曲线－＝1，

其焦距为2＝2；

对于双曲线－＝1，

其焦距为2＝2.所以焦距相等．

3.【2014高考湖北卷理第9题】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）

A.B.C.3D.2

9．A　[解析]设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得4a＝r＋r＋2r1r2，4a＝r－2r1r2＋r.又由余弦定理得4c2＝r＋r－r1r2，消去r1r2，得a＋3a＝4c2，

即＋＝4.所以由柯西不等式得＝≤＝.

所以＋≤.故选A.

4.【2014高考湖南卷第15题】如图4，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.

图14

15．1＋　[解析]依题意可得C，F，代入抛物线方程得a＝p，b2＝2a，化简得b2－2ab－a2＝0，即2－2－1＝0，解得＝1＋.

5.【2014江西高考理第15题】过点作斜率为的直线与椭圆：

相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为.

15.　[解析]设点A（x1，y1），点B（x2，y2），点M是线段AB的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且两式作差可得＝

，即＝，所以＝－，

即kAB＝－.由题意可知，直线AB的斜率为－，所以－＝－，即a＝b.又a2＝b2＋c2，

所以c＝b，e＝.

6.【2014辽宁高考理第10题】已知点在抛物线C：

的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（）

A．B．C．D．

7.【2014辽宁高考理第15题】已知椭圆C：

，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则.

10．D　[解析]因为抛物线C：

y2＝2px的准线为x＝－，且点A（－2，3）在准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m（y－3），与抛物线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m＝－（舍）或者m＝2，这时B点的坐标为（8，8），而焦点F的坐标为（2，0），故直线BF的斜率kBF＝＝.

8.【2014全国1高考理第4题】已知为双曲线:

的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（）

A.B.3C.D.

4．A　[解析]双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为（，0）．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.

9.【2014全国1高考理第10题】已知抛物线C：

的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）

A.B.C.D.

10.【2014全国2高考理第10题】设F为抛物线C:

的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则

△OAB的面积为（）

A.B.C.D.

10．B　[解析]由题知F（2，0），设P（－2，t），Q（x0，y0），则FP＝（－4，t），＝（x0－2，y0），由FP＝4FQ，得－4＝4（x0－2），解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.

11.【2014高考安徽卷理第14题】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为__________

14．x2＋y2＝1　[解析]

设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，

则可设A（c，b2），B（x0，y0），由|AF1|＝3|F1B|，

可得＝3，故即代入椭圆方程可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.

12.【2014高考北京版理第11题】设双曲线经过点（2,2），且与具有相同渐近线，则的方程为；渐近线方程为.

11.－＝1　y＝±2x　[解析]设双曲线C的方程为－x2＝λ，将（2，2）代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.

13.【2014江西高考理第9题】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为（）

A.B.C.D.

9．A　[解析]由题意知，圆C必过点O（0，0），故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π.

14.【2014山东高考理第10题】已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）

A.B.C.D.

10．A　[解析]椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝×＝，

解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.故选A.

15.【2014四川高考理第10题】已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）

A．B．C．D．

10．B　[解析]由题意可知，F.设A（y，y1），B（y，y2），∴·＝y1y2＋yy＝2，

解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.

当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝（x－y）＝（x－y），

令y＝0，得x＝－y1y2＝2，即直线AB过定点C（2，0）．

于是S△ABO＋S△AFO＝S△ACO＋S△BCO＋S△AFO＝×2|y1|＋×2|y2|＋×|y1|＝（9|y1|＋8|y2|）≥×2＝3，当且仅当9|y1|＝8|y2|且y1y2＝－2时，等号成立．当y＝y时，取y1＝，y2＝－，则AB所在直线的方程为x＝2，此时求得S△ABO＋S△AFO＝2××2×＋××＝，而>3，故选B.

16.【2014浙江高考理第16题】设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________

16.　[解析]双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0

的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是.

17.【2014重庆高考理第8题】设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.3

8．B　[解析]不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，联立|PF1|＋|PF2|＝3b，平方相减得|PF1|·|PF2|＝，则由题设条件，得＝ab，整理得＝，∴e＝＝＝＝.

18.【2014天津高考理第5题】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：

，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（　　）

（A）　　（B）（C）　　（D）

5．A　[解析]由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点（－c，0）在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.

19.【2014大纲高考理第6题】已知椭圆C：

的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交C于A、B两点，若的周长为，则C的方程为（）

A．B．C．D．

6．A　[解析]根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1.

20.【2014大纲高考理第9题】已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则（）

A．B．C．D．

9．A　[解析]根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝

＝.

21.【2014高考安徽卷第19题】如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.

（1）证明：

（2）过原点作直线（异于，）与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.

22.【2014高考北京理第19题】已知椭圆：

.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

23.【2014高考大纲理第21题】

已知抛物线C：

的焦点为F，直线与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且.

（I）求C的方程；

（II）过F的直线与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求的方程.

24.【2014高考福建理第19题】已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，

四象限），且的面积恒为8，试探究：

是否存在总与直线有且只有一个公

共点的双曲线？

若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.

25.【2014高考广东理第20题】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

26.【2014高考湖北理第21题】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为.

（1）求轨迹为的方程；

（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

27.【2014高考湖南理第21题】如图7,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知,且.

（1）求的方程;

（2）过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.

28.【2014高考江苏第18题】如图：

为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（为河岸），.

（1）求新桥的长；

（2）当多长时，圆形保护区的面积最大？

29.【2014高考江苏第17题】如图在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左右焦点，顶点的坐标是，连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点，连接.

（1）若点的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率的值.

30.【2014高考江西理第20题】如图，已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上，轴，∥（为坐标原点）.

（1）求双曲线的方程；

（2）过上一点的直线与直线相交于点