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充要条件与量词
充要条件与量词
一、课程标准
1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.并能正确判断两个命题之间的关系
2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
二、基础知识回顾
1、充分条件与必要条件
(1)充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
(2)从集合的角度:
若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.
提示 若AB,则p是q的充分不必要条件;
若A⊇B,则p是q的必要条件;
若AB,则p是q的必要不充分条件;
若A=B,则p是q的充要条件;
若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
2、全称量词与全称命题
(1)全称量词:
短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词.
(2)全称命题:
含有全称量词的命题.
(3)全称命题的符号表示:
形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).
3、存在量词与特称命题
(1)存在量词:
短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词.
(2)特称命题:
含有存在量词的命题.
(3)特称命题的符号表示:
形如“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”的命题,用符号简记为∃x0∈M,p(x0).
三、自主热身、归纳总结
1、命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是( )
A.∃x0∈R,x+x0≤0 B.∃x0∈R,x+x0<0
C.∀x∈R,x2+x≤0D.∀x∈R,x2+x<0
【答案】B
【解析】由全称命题的否定是特称命题知命题B正确.故选B.
2、“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】选B 若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.
3、使不等式成立的一个充分不必要条件是
A.B.C.或D.
【答案】
【分析】不等式,即,,解得范围,即可判断出结论.
【解答】解:
不等式,即,,解得,或.
使不等式成立的一个充分不必要条件是:
.及,或.
4、命题“∃x∈[0,1],x2-1≥0”是________命题(选填“真”或“假”).
【答案】真
【解析】 取x=1,则x2-1=0,所以为真命题.
5、“”是“”成立的▲条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”).
【答案】充分不必要
【解析】根据正弦函数的图象,由可得,,或,故“”是“”成立的充分不必要条件.
6、(一题两空)已知p:
|x|≤m(m>0),q:
-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为________;若p是q的必要条件,则m的最小值为________.
【答案】14
【解析】由|x|≤m(m>0),得-m≤x≤m.
若p是q的充分条件⇒⇒0 则m的最大值为1. 若p是q的必要条件⇒⇒m≥4. 则m的最小值为4. 四、例题选讲 考点一、充要条件、必要条件的判断 例1、已知直线l,m,平面α,m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”). 【答案】必要不充分 【解析】根据直线与平面垂直的定义: 若直线与平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直,而不是任意一条,故由“l⊥m”推不出“l⊥α”,但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”,故填必要不充分. 变式1、“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直的充要条件为a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件. 变式2、.设x∈R,则“1 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】由|x-2|<1,得1 所以“1 变式3、设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】|a-3b|=|3a+b|⇔(a-3b)2=(3a+b)2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,又∵|a|=|b|=1, ∴a·b=0⇔a⊥b,因此|a-3b|=|3a+b|是“a⊥b”的充要条件. 变式4、下列选项中,是的必要不充分条件的是 A.;: 方程的曲线是椭圆 B.;: 对,不等式恒成立 C.设是首项为正数的等比数列,: 公比小于0;: 对任意的正整数, D.已知空间向量,1,,,0,,;: 向量与的夹角是 【答案】: . 【解析】,若方程的曲线是椭圆, 则,即且, 即“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件; ,,不等式恒成立等价于恒成立,等价于; “”是“对,不等式恒成立”必要不充分条件; 是首项为正数的等比数列,公比为, 当,时,满足,但此时,则不成立,即充分性不成立, 反之若,则 ,,即, 则,即成立,即必要性成立, 则“”是“对任意的正整数,”的必要不充分条件. : 空间向量,1,,,0,, 则, ,, 解得, 故“”是“向量与的夹角是”的充分不必要条件. 方法总结: 充要条件的三种判断方法 (1)定义法: 根据p⇒q,q⇒p进行判断. (2)集合法: 根据使p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. (3)等价转化法: 根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题, 考点二、充要条件等条件的应用 例2、已知p: ,q: {x|1-m≤x≤1+m,m>0}. (1)若m=1,则p是q的什么条件? (2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 分析: 问题 (1)考查的仍是充要条件的判定,需要从“充分”和“必要”两个方面考察,并且用集合方法处理; 问题 (2)考查充要条件的应用,根据“若p是q的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数m的取值范围. 【解析】 (1)因为p: ={x|-2≤x≤10}, q: {x|1-m≤x≤1+m,m>0}={x|0≤x≤2}, 显然{x|0≤x≤2}{x|-2≤x≤10}, 所以p是q的必要不充分条件. (2)由 (1),知p: {x|-2≤x≤10},因为p是q的充分不必要条件, 所以 解得m≥9,即m∈[9,+∞). 变式1、设p: 实数x满足x2-4ax+3a2<0,a∈R;q: 实数x满足x2-x-6≤0或x2+2x-8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【解析】由p得(x-3a)(x-a)<0,当a<0时,3a 由q得x2-x-6≤0或x2+2x-8>0,则-2≤x≤3或x<-4或x>2,则x<-4或x≥-2. 设p: A=(3a,a),q: B=(-∞,-4)∪[-2,+∞), 又p是q的充分不必要条件. 可知AB,∴a≤-4或3a≥-2,即a≤-4或a≥-. 又∵a<0,∴a≤-4或-≤a<0, 即实数a的取值范围为(-∞,-4]∪. 变式2、已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围. 【解析】 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10, ∴P={x|-2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件, 则S⊆P. ∴解得m≤3. 又∵S为非空集合,∴1-m≤1+m,解得m≥0. 综上,可知m≥0≤3时,x∈P是x∈S的必要条件. 方法总结: 充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意: (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. 考点三、含有量词的命题 例3、已知函数f(x)=3x2+2x-a2-2a,g(x)=x-,若对任意x1∈[-1,1],总存在x2∈[0,2],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 【解析】 f(x)=3x2+2x-a(a+2),则f′(x)=6x+2,由f′(x)=0得x=-. 当x∈时,f′(x)<0; 当x∈时,f′(x)>0, 所以[f(x)]min=f=-a2-2a-. 又由题意可知,f(x)的值域是的子集, 所以 解得实数a的取值范围是[-2,0]. 变式1、若命题“∃x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则实数m的取值范围是________. 【答案】[-4,0] 【解析】“∃x∈R,x2-mx-m<0”是假命题,则“∀x∈R,x2-mx-m≥0”是真命题.即Δ=m2+4m≤0, ∴-4≤m≤0 变式2、若命题“∃x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是____________. 【答案】: [-,] 【解析】命题“∃x0∈R,使得3x+2ax0+1<0”是假命题,即“∀x∈R,3x2+2ax+1≥0”是真命题,故Δ=4a2-12≤0,解得-≤a≤. 变式3、若命题“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则实数a的取值范围是________. 【答案】(2,+∞) 【解析】“存在x∈R,ax2+4x+a≤0”为假命题,则其否定“对任意x∈R,ax2+4x+a>0”为真命题,当a=0,4x>0不恒成立,故不成立;当a≠0时,解得a>2,所以实数a的取值范围是(2,+∞). 方法总结: 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”, 五、优化提升与真题演练 1、设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】x>yx>|y|(如x=1,y=-2). 但x>|y|时,能有x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 2、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是() A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知: 内有两条相交直线都与平行是的充分条件; 由面面平行的性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内有两条相交直线都与平行是的必要条件. 故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B. 3、(2018·北京卷)设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的( ) A.充分而不必
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