传球问题.docx
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传球问题
传球问题
传球问题核心公式:
N个人传M次球,X=(N-1)M/N,最接近X的整数为最后传给他人的的方法数,第二接近X的整数为最后传给自己的方法数。
例:
4人进行传篮练习,要求每人接球后再传给别人,开始由甲发球,作为第1次发球,若第5次传球后,球又回到甲手中,则共有多少种传球方法?
A.60 B.65 C.70 D.75
解法1:
4人传5次球,共35=243种方法,平均分给4个人,最后传给每人的传法为243/4=60.75种,第一接近的整数61是最后传给他人的方法,第二接近的是60为最后传给自己的传法,即为所求。
解法2:
(1)传球不经过甲:
甲→()→()→()→()→甲 3*2*2*2=24种
(2)传球经过甲:
甲→()→甲→()→()→甲 3*1*3*2=18种
甲→()→()→甲→()→甲 3*2*1*3=18种
综上,共有24+18+18=60种方法最后可以传给甲本身。
解法3:
第n次传球
方法
球在甲手中
球不在甲手中
1
3
0
3
2
9
3
6
3
27
6
21
4
81
21
60
5
243
(60)
183
例2:
某人去A、B、C、D、E这五个城市旅游,第1天去A市,第7天去E市。
若他今天在某个城市,则第二天肯定去另一市。
一共有()种旅游方式?
A.204 B.205 C.819 D.820
5个城市游7天,辗转6次,第7天到达某一城市平均可分配46/5=4096/5=819.2种方法,最接近的整数(四舍五入)为819,是最后一天到E市的方法数。
2012年行测指导:
数学运算16种题型之传球问题
2011-11-29 来源:
江苏公务员网
1
【字体:
大 中 小】
例:
四人进行篮球传接球练习,要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球,并作为第一次传球,若第五次传球后,球又回到甲手中,则共有多少种传球方式?
A.60种 B.65种 C.70种 D.75种
【解析一】五次传球传回甲,中间将经过四个人,将其分为两类:
第一类:
传球的过程中不经过甲,甲→___→___→___→___→甲___→甲,共有方法3×2×2×2=24种
第二类:
传球的过程中经过甲,
①甲→___→___→甲→___→甲,共有方法3×2×1×3=18种
②甲→___→甲→___→___→甲,共有方法3×1×3×2=18种
根据加法原理:
共有不同的传球方式24+18+18=60种
【解析二】注意到:
N次传球,所有可能的传法总数为3(每次传球有3种方法),第N次传回甲手中的可能性就是第N-1次不在甲手中的可能性。
第N次传球
传球的方法
球在甲手中的传球方法
球不在甲手中的传球方
1
3
0
3
2
9
3
6
3
27
6
21
4
81
21
60
5
243
60
183
从表中可知,经过5次传球后,球仍回甲手的方法共有60种,故选A项。
【解析三】我们很容易算出来,四个人传五次球一共有35=243种传法,由于一共有4个人,所以平均传给每一个人的传法是243÷4=60.75,最接近的就是60,选择A。
传球问题核心注释
这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。
【解析一】是最直观、最容易理解的,但耗时耗力并且容易错,稍微应运数字计算量可能陡增;【解析二】操作性强,可以解决这种类型的种问题,但理解起来要求比较高,具体考场之上也比较耗时;【解析二】不免投机取巧,但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数,如果答案只有一个3的倍数,便能快速得到答案),也给了一个启发—
传球问题核心公式
N个人传M次球,记X=(N-1)M/N,则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数,与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。
大家牢记一条公式,可以解决此类至少三人传球的所有问题。
比如说上例之中,X=(4-1)5、4=60.75,最接近的整数是61,第二接近的整数是60,所以传回甲自己的方法数为60种,而传给乙(或者丙、丁)的方法数为61。
题:
某人去A、B、C、D、E五个城市旅游,第一天去A城市,第七天到E城市,如果他今天在某个城市,那么第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市,那么他一共有多少种旅游行程安排的方式?
A.204 B.205 C.819 D.820
【答案】C。
相当于五个人传六次球,根据“传球问题核心公式”,X=(5-1)6/5=819.2,与之最接近的是819,第二接近的是820。
因此若第七天回到A城市则有820种方法,去另外一个城市则有819种方法。
行测数学运算16种题型之剩余定理
【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
【解析】题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
为了使20被3除余1,用20×2=40;
使15被4除余1,用15×3=45;
使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274,
因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?
在1000内符合这样条件的数有几个.?
【解析】题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。
为了使56被3除余1,用56×2=112;
使24被7除余1,用24×5=120。
使21被8除余1,用21×5=105;
然后,112×2+120×4+105×5=1229,
因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。
再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合条件的数有6个.
【例3】一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。
【解析】题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。
为了使88被5除余1,用88×2=176;
使55被8除余1,用55×7=385;
使40被11除余1,用40×8=320。
然后,176×4+385×3+320×2=2499,
因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。
【例4】有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?
【解析】题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;
使45被7除余1,用45×5=225;
使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×5+225×1+126×2=1877,
因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法
“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”,这种题目,也可以用倍数和余数的方法解决。
【例一】一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少?
解法:
题目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4。
看到那个“被6除余4,被7除余4”了么,有同余数的话,只要求出6和7的最小公倍数,再加上4,就是满足后面条件的数了,6X7+4=46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。
不行的话,只要再46加上6和7的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5除余2”。
这步的原因是,42是6和7的最小公倍数,再怎么加都会满足
“被6除余4,被7除余4”的条件。
46+42=88
46+42+42=130
46+42+42+42=172
【例二】一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班有多少学生?
解法:
题目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4。
没有同余的情况,用的方法是“逐步约束法”,就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”,就是再7上一直加4,直到所得的数除5余3。
得出数为18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除3余2”
4+7=11
11+7=18
18+35=53
【例1】在国庆50周年仪仗队的训练营地,某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。
如果他们排成五列人数相等的横队,只剩下连长在队伍前面喊口令。
如果他们排成七列这样的横队,只有连长仍然可以在前面领队,如果他们排成八列,就可以有两个作为领队了。
在全营排练时,营长要求他们排成三列横队。
以一哪项是最可以出现的情况?
A该连队官兵正好排成三列横队。
B除了连长外,正好排成三列横队。
C排成了整齐的三列横队,加有两人作为全营的领队。
D排成了整齐的三列横队,其中有一人是其他连队的
【解析】这个数符合除以5余1,除以7余1,除以8余2;
符合除以5余1,除以7余1的最小数为36,那么易知符合除以5余1,除以7余1,除以8余2为106,106÷3=35余1,所以选B。
【习题一】1到500这500个数字,最多可取出多少个数字,保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。
【解析】
每7个数字1组,余数都是1,2,3,4,5,6,0,要使得三个数字之和不是7的倍数,那么其余数之和就不是7的倍数。
我们应该挑选0,1,2,或者0,5,6
因为7/3=2也就是说最大的数字不能超过2,例如如果是1,2,3那么我们可以取3,3,1这样的余数,其和就是7
500/7=71余数是3,且剩下的3个数字余数是1,2,3
要得去得最多,那么我们取0,1,2比较合适因为最后剩下的是1,2,3所以这样就多取了2个
但是还需注意0不能取超过2个如果超过2个是3个以上的话3个0就可以构成7的倍数0也能被7整除
所以答案是71个1,2和剩下的一组1,2外加2个0
71×2+2+2=146
行测数学运算16种题型之余数问题
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法
“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”,这种题目,也可以用倍数和余数的方法解决。
【例一】一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少?
解法:
题目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4。
看到那个“被6除余4,被7除余4”了么,有同余数的话,只要求出6和7的最小公倍数,再加上4,就是满足后面条件的数了,6X7+4=46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。
不行的话,只要再46加上6和7的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5除余2”。
这步的原因是,42是6和7的最小公倍数,再怎么加都会满足
“被6除余4,被7除余4”的条件。
46+42=88
46+42+42=130
46+42+42+42=172
【例二】一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班有多少学生?
解法:
题目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4。
没有同余的情况,用的方法是“逐步约束法”,就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”,就是再7上一直加4,直到所得的数除5余3。
得出数为18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除3余2”
4+7=11
11+7=18
18+35=53
【例1】在国庆50周年仪仗队的训练营地,某连队一百多个战士在练习不同队形的转换。
如果他们排成五列人数相等的横队,只剩下连长在队伍前面喊口令。
如果他们排成七列这样的横队,只有连长仍然可以在前面领队,如果他们排成八列,就可以有两个作为领队了。
在全营排练时,营长要求他们排成三列横队。
以一哪项是最可以出现的情况?
A该连队官兵正好排成三列横队。
B除了连长外,正好排成三列横队。
C排成了整齐的三列横队,加有两人作为全营的领队。
D排成了整齐的三列横队,其中有一人是其他连队的
【解析】这个数符合除以5余1,除以7余1,除以8余2;
符合除以5余1,除以7余1的最小数为36,那么易知符合除以5余1,除以7余1,除以8余2为106,106÷3=35余1,所以选B。
【习题一】1到500这500个数字,最多可取出多少个数字,保证其取出的任意三个数字之和不是7的倍数。
【解析】
每7个数字1组,余数都是1,2,3,4,5,6,0,要使得三个数字之和不是7的倍数,那么其余数之和就不是7的倍数。
我们应该挑选0,1,2,或者0,5,6
因为7/3=2也就是说最大的数字不能超过2,例如如果是1,2,3那么我们可以取3,3,1这样的余数,其和就是7
500/7=71余数是3,且剩下的3个数字余数是1,2,3
要得去得最多,那么我们取0,1,2比较合适因为最后剩下的是1,2,3所以这样就多取了2个
但是还需注意0不能取超过2个如果超过2个是3个以上的话3个0就可以构成7的倍数0也能被7整除
所以答案是71个1,2和剩下的一组1,2外加2个0
71×2+2+2=146
行测数学运算16种题型之时钟问题
基本思路:
封闭曲线上的追及问题。
关键问题:
①确定分针与时针的初始位置;
②确定分针与时针的路程差;
基本方法:
①分格方法:
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格,每小格我们称为1分格。
分针每小时走60分格,即一周;而时针只走5分格,故分针每分钟走1分格,时针每分钟走1/12分格,故分针和时针的速度差为11/12分格/分钟。
②度数方法:
从角度观点看,钟面圆周一周是360°,分针每分钟转360/60度,即6°,时针每分钟转360/12*60度,即0.5度,故分针和时针的角速度差为5.5°/分钟。
【例题1】从12时到13时,钟的时针与分针可成直角的机会有:
A.1次B.2次C.3次D.4次
【解析】
时针与分针成直角,即时针与分针的角度差为90度或者为270度,理论上讲应为2次,还要验证:
根据角度差/速度差=分钟数,可得90/5.5=16又4/11<60,表示经过16又4/11分钟,时针与分针第一次垂直;同理,270/5.5=49又1/11<60,表示经过49又1/11分钟,时针与分针第二次垂直。
经验证,选B可以。
【例题2】在某时刻,某钟表时针在10点到11点之间,此时刻再过6分钟后的分针和此时刻3分钟前的时针正好方向相反且在一条直线上,则此时刻为
A.10点15分:
B.10点19分
C.10点20分
D.10点25分
【解法1】时针10―11点之间的刻度应和分针20―25分钟的刻度相对,所以要想时针与分针成一条直线,则分针必在这一范围,而选项中加上6分钟后在这一范围的只有10点15分,所以答案为A。
【解法2】常规方法
设此时刻为X分钟。
则6分钟后分针转的角度为6(X+6)度,则此时刻3分钟前的时针转的角度为0.5(X+3)度,以0点为起始来算此时时针的角度为0.5(X―3)+10×30度。
所谓“时针与分针成一条直线”即0.5(X―3)+10×30―6(X+6)=180度,解得X=15分钟。
【例题3】现在是2点,什么时候时针与分针第一次重合?
解析:
2点的时候分针和时针的角度差为60°,而分针和时针的角速度差巍为5.5°/分钟,所以时间为60/5.5=120/11分。
即经过120/11分钟后时针与分针第一次重合。
【例题4】在7点与8点之间,时针与分针在什么时刻相互垂直?
解析:
在7点与8点之间,时针与分针会有两次垂直的机会。
在7点的时候,分针与时针的角度为210°,第一次垂直时分针需要追及的角度为120°,则时间为120/5.5=240/11分,第二次垂直时分针需要追及的角度为300°,则时间为300/5.5=600/11分。
【例题5】晚上7点到8点之间电视里播出一部动画片,开始时分针与时针正好成一条直线,结束时两针正好重合。
这部动画片播出了多长时间?
解析:
7点的时候分针与时针的角度差为210°,重合的时候分针追及的角度为30°,则时间为30/5.5=60/11分钟。
重合的时候分针追及的角度为210°,则时间为210/5.5=420/11,时间差为360/11分钟。
【例题6】3点过多少分时,时针和分针离“3”的距离相等,并且在“3”的两边?
解析:
时针和分针离3的距离相等,即时针和分针与3的角度相等。
列方程如下:
0.5X=90-6XX=180/13分钟。
【例题7】小王去开会,会前会后都看了表,发现前后时针和分针位置刚好互换,问会开了1小时几分()
A.51B49C47D45
解析:
时间大于1小时小于两小时,又因为时针和分针的位置互换,则分针与时针共同转过的角度和为720°,则时间为720/6.5=1440/13约等于1小时51分钟。
【例题8】会议开始时,小李看了一下表,会议结束时,又看了一下表,结果分针与时针恰好对调了位置.会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束,请问会议何时召开?
【解析】会议在3点至4点之间召开,5点至6点之间结束。
那么会议开始的大致时间我们可以得到是3点25-30之间。
会议结束的时间大致是5点15-20分。
会议结束时时针的位置就是会议开始时分钟的位置,15-20分,时针转的格数是15/12-20/12=5/4-5/3之间,那么分钟就在这个位置。
5点位置分针是25分,加上5/4-5/3就是分钟的位置。
常规解法:
会议持续的时间为720/6.5=1440/13分钟=24/13小时
假设会议开始的时间为3点X分。
那么会议开始时时针的格数为15+1/12*X格
会议结束时时针的格数为X格。
得X=15+X/12+5*(24/13)
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