四年级奥数高斯求和.doc
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四年级奥数高斯求和.doc
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第1讲高斯求和
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:
1+2+3+4+…+99+100=?
老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢?
原来小高斯通过细心观察发现:
1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。
1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。
于是,小高斯把这道题巧算为
(1+100)×100÷2=5050。
小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列,数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项之差称为公差。
例如:
(1)1,2,3,4,5,…,100;
(2)1,3,5,7,9,…,99;
(3)8,15,22,29,36,…,71;
其中
(1)是首项为,末项为,公差为的等差数列;
(2)是首项为,末项为,公差为的等差数列;
(3)是首项为,末项为,公差为的等差数列;
由高斯的巧算方法,得到等差数列的求和公式:
和=(首项+末项)×项数÷2。
项数=(末项-首项)÷公差+1。
末项=首项+公差×(项数-1)。
对于任意一个项数为奇数的等差数列来说,中间一项的值等于所有项的平均数,也等于首项和末项和的一半;或者换句话说,各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理
【例题讲解及思维拓展训练】
例11+2+3+…+1999=?
【思维拓展训练一】
1、11+12+13+…+31=?
2、3+7+11+…+99=?
例2(2+4+6+……+2012)-(1+3+5+……+2011)
【思维拓展训练二】
1、(7+9+11+……+25)-(5+7+9+……+23)
2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60
例3求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。
【思维拓展训练三】
1、求首项是34,公差是5的等差数列的前50项的和。
例4求所有加6以后被11整除的三位数的和
【思维拓展训练四】
1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少?
2、在1——400中,所有不是9的倍数的数的和是多少?
3、求所有被7除余数是1的三位数的和?
例5在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。
问:
(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?
(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?
【思维拓展训练五】
1、盒子里放有三只乒乓球,一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球,将它变成3只球后放回盒子里;第二次又从盒子里拿出二只球,将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球,将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球?
例题6建筑工地有一批砖,码成如下图的形状,最上层2块砖,第2层6块砖,第3层10块砖…,依次每层都比它上面一层多4块砖,已知最下一层2106块砖,问中间一层有多少块砖?
这堆砖共有多少块?
【思维拓展训练六】
1、求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差。
2、连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首相的连续九个自然数的和是多少?
【课堂巩固训练题】
1.计算下列各题:
(1)2+4+6+…+200;
(2)17+19+21+…+39;
(3)5+8+11+14+…+50;
(4)3+10+17+24+…+101。
2.求首项是5,末项是93,公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13,公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打,敲打的次数等于该钟点数,每半点钟也敲一下。
问:
时钟一昼夜敲打多少次?
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中,十位数比个位数大的数共有多少个?
7、100个连续自然数(从小到大排列)的和是8450,取出其中第1个,第3个,…,第99个数,再把剩下的50个数相加,和是多少?
8、把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么第1个数和第6个数各是多少?
9、把27枚棋子放入7个不同的空盒中,如果要求每个盒子都不空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到,若能,写出具体方案,若不能,说明理由。
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