专题02 翻折直尺三角板中的平行问题解析版.docx

专题02 翻折直尺三角板中的平行问题解析版.docx

《专题02 翻折直尺三角板中的平行问题解析版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题02 翻折直尺三角板中的平行问题解析版.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

专题02翻折直尺三角板中的平行问题解析版

七年级数学下册解法技巧思维培优

专题02翻折、直尺、三角板中的平行问题

典例题型一翻折与平行线

1．〔2021•西湖区校级月考〕一次教学活动中,检验两条纸带①、②的边线是否平行〔如图〕,小明和小华采用两种不同的方法：

小明对纸带①沿AB折叠,量得∠1＝∠2＝50°；小华对纸带②沿GH折叠,发现GD与GC重合,HF与HE重合．那么纸带①的边线　不平行　；纸带②的边线　平行　．〔横线上填“平行〞或“不平行〞〕

【点睛】直接利用翻折变换的性质结合平行线的判定方法得出答案．

【解析】解：

如图①所示：

∵∠1＝∠2＝50°,

∴∠3＝∠2＝50°,

∴∠4＝∠5＝180°﹣50°﹣50°＝80°,

∴∠2≠∠4,

∴纸带①的边线不平行；

如图②所示：

∵GD与GC重合,HF与HE重合,

∴∠CGH＝∠DGH＝90°,∠EHG＝∠FHG＝90°,

∴∠CGH+∠EHG＝180°,

∴纸带②的边线平行．

故答案为：

不平行,平行．

2．〔2021•鄂州期中〕把一张对边互相平行的纸条折成如图那样,EF是折痕,假设∠EFB＝32°,那么∠D′FD的度数为　64°　．

【点睛】直接利用平行线的性质以及折叠的性质得出∠C′EG＝64°,进而得出答案．

【解析】解：

∵EF是折痕,∠EFB＝32°,AC′∥BD′,

∴∠C′EF＝∠GEG＝32°,

∴∠C′EG＝64°,

∵CE∥FD,

∴∠D′FD＝∠EGB＝64°．

故答案为：

64°．

3．〔2021•覃塘区期末〕如图,把长方形ABCD沿EF按图那样折叠后,点A,B分别落在G,H点处,假设∠1＝50°,那么∠AEF的度数是　115°　．

【点睛】依据平行线的性质即可得到∠AEF+∠BFE＝180°；借助翻折变换的性质求出∠BFE,即可解决问题．

【解析】解：

∵四边形ABCD为长方形,

∴AE∥BF,∠AEF+∠BFE＝180°；

由折叠变换的性质得：

∠BFE＝∠HFE,而∠1＝50°,

∴∠BFE

〔180°﹣50°〕＝65°,

∴∠AEF＝180°﹣65°＝115°．

故答案为：

115°．

典例题型二直尺、三角板与平行线

4．〔2021•莒南期末〕如图,有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°,那么∠1的度数是　16°　．

【点睛】依据∠ABC＝60°,∠2＝44°,即可得到∠EBC＝16°,再根据BE∥CD,即可得出∠1＝∠EBC＝16°．

【解析】解：

如图,∵∠ABC＝60°,∠2＝44°,

∴∠EBC＝16°,

∵BE∥CD,

∴∠1＝∠EBC＝16°,

故答案为：

16°．

5．〔2021•孟津期末〕如图,将三角板与直尺贴在一起,使三角板的直角顶点C〔∠ACB＝90°〕在直尺的一边上,假设∠2＝65°,那么∠1的度数是〔　　〕

A．15°B．25°C．35°D．65°

【点睛】根据直尺的两边是平行的,从而可以得到CD∥EF,然后根据平行线的性质,可以得到∠2和∠DCE的关系,再根据∠ACB＝∠1+∠DCE,从而可以求得∠1的度数,此题得以解决．

【解析】解：

如右图所示,

∵CD∥EF,∠2＝65°,

∴∠2＝∠DCE＝65°,

∵∠DCE+∠1＝∠ACB＝90°,

∴∠1＝25°,

应选：

B．

6．〔2021•牡丹区期中〕如图,将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上,如果∠2＝50°,那么∠1的度数为　20°　．

【点睛】利用平行线的性质三角形的外角的性质即可解决问题．

【解析】解：

如图,∵m∥n,

∴∠3＝∠2＝50°,

∵∠3＝∠1+30°,

∴∠1＝50°﹣30°＝20°．

典例题型三三角板与平行线

7．〔2021•长春模拟〕将一副三角尺按如图的方式摆放,那么∠α的度数是〔　　〕

A．45°B．60°C．75°D．105°

【点睛】根据平行线的性质和根据三角形的内角和计算即可．

【解析】解：

如图：

∵∠DEC＝∠ABE＝90°,

∴AB∥DE,

∴∠AGD＝∠D＝30°,

∴∠α＝∠AHG＝180°﹣∠A﹣∠AGD＝180°﹣45°﹣30°＝105°,

应选：

D．

8．〔2021•丰城市期末〕将一副三角板按如图放置,小明得到以下结论：

①如果∠2＝30°,那么有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD,那么有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°,那么∠4＝∠C；那么其中正确的结论有　①②④　．

【点睛】根据平行线的性质和判定和三角形内角和定理逐个判断即可．

【解析】解：

∵∠2＝30°,∠CAB＝90°,

∴∠1＝60°,

∵∠E＝60°,

∴∠1＝∠E,

∴AC∥DE,故①正确；

∵∠CAB＝∠DAE＝90°,

∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°,故②正确；

∵BC∥AD,∠B＝45°,

∴∠3＝∠B＝45°,

∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°,

∴∠2＝45°,故③错误；

∵∠CAD＝150°,∠BAE+∠CAD＝180°,

∴∠BAE＝30°,

∵∠E＝60°,

∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°,

∴∠4+∠B＝90°,

∵∠B＝45°,

∴∠4＝45°,

∵∠C＝45°,

∴∠4＝∠C,故④正确；

故答案为：

①②④．

9．〔2021•岱岳区期末〕将一副三角尺按如下图的方式摆放〔两条直角边在同条直线上,且两锐角顶点重合〕,连接另外两条锐角顶点,并测得∠1＝47°,那么∠2的度数为　58°　．

【点睛】由三角尺角的特殊性,利用平角定义及三角形内角和定理即可求出．

【解析】解：

如下图,

∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°,

那么∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣47°﹣75°＝58°．

故答案为：

58°

稳固练习

1．〔2021•长春模拟〕如图,将一副三角板按如图放置,那么以下结论：

①∠1＝∠3；

②如果∠2＝30°,那么有BC∥AE；

③如果∠1＝∠2＝∠3,那么有BC∥AE；

④如果∠2＝45°,必有∠4＝∠E．

其中正确的有〔　　〕

A．①②B．①③C．①②④D．①③④

【点睛】根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．

【解析】解：

∵∠EAD＝∠CAB＝90°,

∴∠1＝∠3,故①正确,

当∠2＝30°时,∠3＝60°,∠4＝45°,

∴∠3≠∠4,

故AE与BC不平行,故②错误,

当∠1＝∠2＝∠3时,可得∠3＝∠4＝45°,

∴BC∥AE,故③正确,

∵∠E＝60°,∠4＝45°,

∴∠E≠∠4,故④错误,

应选：

B．

2．〔2021•烟台〕小明将一张正方形纸片按如下图顺序折叠成纸飞机,当机翼展开在同一平面时〔机翼间无缝隙〕,∠AOB的度数是　45°　．

【点睛】根据折叠的轴对称性,180°的角对折3次,求出每次的角度即可；

【解析】解：

在折叠过程中角一直是轴对称的折叠,

∠AOB＝22.5°×2＝45°；

故答案为45°．

3．〔2021•苏州期末〕将一张长方形纸条折成如下图的图形,如果∠1＝64°,那么∠2＝　58°　．

【点睛】由折叠可得,∠2＝∠CEF,再根据平角的定义,即可得到∠2的度数．

【解析】解：

由折叠可得,∠2＝∠CEF,

∵∠1＝64°,

∴∠2

〔180°﹣64°〕＝58°,

故答案为：

58°．

4．〔2021•遂宁期末〕如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠,假设∠EFG＝52°,那么∠AEG的度数是　76°　．

【点睛】由平行线的性质可求得∠DEF,由折叠可知∠GEF＝∠DEF,再由邻补角可求得∠AEG的度数．

【解析】解：

∵AD∥BC,

∴∠DEF＝∠EFG＝52°,

又由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°,

∴∠AEG＝180°﹣∠DEF﹣∠GEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°．

故答案为：

76°．

5．〔2021•东至期末〕如图,将一张长方形纸条折叠,假设∠1＝52°,那么∠2＝　76°　．

【点睛】依据邻补角的性质以及折叠的性质,即可得到∠2的度数．

【解析】解：

如图,

由折叠性质可知

∠3＝∠1+∠2

∴∠1＝∠3﹣∠2＝180°﹣∠1﹣∠2,

∠2＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×52°＝76°．

故答案为76°．

6．〔2021•河西区期中〕如图,一副直角三角板技如下图的方式摆放,其中点C在FD的延长线上,且AB∥FC,那么∠CBD的度数为　15°　．

【点睛】先根据平行线的性质得出∠ABD的度数,进而可得出结论．

【解析】解：

∵AB∥CD,

∴∠ABD＝∠EDF＝45°,

∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．

故答案为：

15°．

7．〔2021•沙坪坝区校级期末〕将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G、D、C分别在M、N的位置上,假设∠EFG＝52°,那么∠2﹣∠1＝　28　°．

【点睛】由折叠的性质可得,∠DEF＝∠GEF,根据平行线的性质可得,∠DEF＝∠EFG＝55°,根据平角的定义即可求得∠1,再由平行线的性质求得∠2,从而求解．

【解析】解：

∵AD∥BC,∠EFG＝52°,

∴∠DEF＝∠FEG＝52°,∠1+∠2＝180°,

由折叠的性质可得∠GEF＝∠DEF＝52°,

∴∠1＝180°﹣∠GEF﹣∠DEF＝180°﹣52°﹣52°＝76°,

∴∠2＝180°﹣∠1＝104°,

∴∠2﹣∠1＝104°﹣76°＝28°．

故答案为：

28．

8．〔2021•诸城市期末〕如图〔1〕是长方形纸带,∠DEF＝20°,将纸带沿EF折叠图〔2〕形状,那么∠FGD等于　40　度．

【点睛】根据图形的翻折变换,依据平行线性质即可求解．

【解析】解：

根据折叠可知：

∠AEG＝180°﹣20°×2＝140°,

∵AE∥BF,

∴∠EGB＝180°﹣∠AEG＝40°,

∴∠FGD＝40°．

故答案为：

40．

9．〔2021•南昌期末〕将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,假设∠1＝30°,∠2＝56°,那么∠3的度数是　26°　．

【点睛】如图,由平行线的性质可求得∠4,结合三角形外角的性质可求得∠3．

【解析】解：

如图,

∵a∥b,

∴∠4＝∠2＝56°,

又∵∠4＝∠1+∠3,

∴∠3＝∠4﹣∠1＝56°﹣30°＝26°．

故答案为：

26°．

10．〔2021•泉州期末〕如图,将一张长方形纸条沿某条直线折叠,假设∠1＝116°,那么∠2等于　58°　．

【点睛】依据平行线的性质以及折叠的性质,即可得到∠2的度数．

【解析】解：

如图,∵AB∥CD,

∴∠1＝∠BAC＝116°,

由折叠可得,∠BAD

∠BAC＝58°,

∵AB∥CD,

∴∠2＝∠BAD＝58°,

故答案为：

58°．