8A版初三数学圆的经典讲义.docx
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8A版初三数学圆的经典讲义
圆
目录
圆的定义及相关概念
垂经定理及其推论
圆周角与圆心角
圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
圆内接四边形
会用切线,能证切线
切线长定理
三角形的内切圆
了解弦切角与圆幂定理(选学)
圆与圆的位置关系
圆的有关计算
一.圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1:
圆的对称性:
圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:
确定圆的条件;圆心和半径
①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;
②不在同一条直线上的三点确定一个圆;
考点3:
弦:
连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:
圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:
圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)
弓形:
弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:
弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)
固定的已经不能再固定的方法:
求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:
考点4:
三角形的外接圆:
锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5
点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d>r;②点在圆上d=r;③点在圆内d<r;
【典型例题】
例1在⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD是直径,,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数。
例3⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm,最大为8cm,则这圆的半径是_________cm。
例4在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是多少?
例5如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,,
求CD的长.
例6.已知:
⊙O的半径0A=1,弦AB、AC的长分别为,求的度数.
二.垂径定理及其推论
【考点速览】
考点1
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条孤.
推论1:
①平分弦(不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条孤.
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条孤.
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条孤.
推论2.圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为:
1经过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点
【典型例题】
例1如图AB、CD是⊙O的弦,M、N分别是AB、CD的中点,且.
求证:
AB=CD.
例2已知,不过圆心的直线交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥于E,BF⊥于F。
求证:
CE=DF.
【考点速练】
1.已知⊙O的半径为2cm,弦AB长,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为().
A.1cmB.2cmC.D.cm
3.如图1,⊙O的半径为6cm,AB、CD为两弦,且AB⊥CD,垂足为点E,若CE=3cm,DE=7cm,则AB的长为()
A.10cmB.8cmC.D.
4.有下列判断:
①直径是圆的对称轴;②圆的对称轴是一条直径;③直径平分弦与弦所对的孤;④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有()
A.0个B.1个C.2个D.3个
5.如图2,同心圆中,大圆的弦交AB于C、D若AB=4,CD=2,圆心O到AB的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为()
A.3:
2B.:
2C.:
D.5:
4
6.如图,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是.
7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是____m.
8.如图,直径为1000mm的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB为800mm,求水的最大深度CD.
三.圆周角与圆心角
【考点速览】
考点1
圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg:
判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
圆周角:
顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可.
Eg:
判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由
考点2
定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
Eg:
如下三图,请证明。
考点3
4.推论:
①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,的圆周角所对的弦是直径.
③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
经典例题
例1:
下图中是圆周角的有.是圆心角的有。
①②③
④⑤⑥
例2:
如图,∠A是⊙O的圆周角,且∠A=35°,则∠OBC=_____.
例3:
如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB= .
例4:
如图1,是⊙O的直径,点都在⊙O上,若,则º.
例如图2,⊙O的直径过弦的中点,,则.
例6:
已知:
如图,AD是⊙O的直径,∠ABC=30°,则∠CAD=_______.
例7:
已知⊙O中,,,则⊙O的半径为
四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
推论:
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(务必注意前提为:
在同圆或等圆中)
例1.如图所示,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D,求证:
AB=CD.
例2、已知:
如图,EF为⊙O的直径,过EF上一点P作弦AB、CD,且∠APF=∠CPF。
求证:
PA=PC。
例3.如图所示,在中,∠A=,⊙O截的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.
例4.如图,⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A,且BC=DE.求证:
AC=AE.
例5.如图所示,已知在⊙O中,弦AB=CB,∠ABC=,OD⊥AB于D,OE⊥BC于E.
求证:
是等边三角形.
五.圆内接四边形
【考点速览】
圆内接四边形对角互补,外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一:
四边形对角互补即可。
【典型例题】
例1
(1)已知圆内接四边形ABCD中,∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4,求∠D的度数.
(2)已知圆内接四边形ABCD中,如图所示,AB、BC、CD、AD的度数之比为1:
2:
3:
4,求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.
例2四边形ABCD内接于⊙O,点P在CD的延长线上,且AP∥BD.求证:
例3如图所示,是等边三角形,D是BC上任一点.求证:
DB+DC=DA.
六.会用切线,能证切线
考点速览:
考点1
直线与圆的位置关系
图形
公共点个数
d与r的关系
直线与圆的位置关系
0
d>r
相离
1
d=r
相切
2
d 相交 考点2 切线: 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 符号语言 ∵OA⊥l于A,OA为半径 ∴l为⊙O的切线 考点3 判断直线是圆的切线的方法: ①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。 ②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (请务必记住证明切线方法: 有交点就连半径证垂直;无交点就做垂直证半径) 考点4 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 (请务必记住切线重要用法: 见切线就要连圆心和切点得到垂直) 经典例题: 例1.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠CAD=∠ABC,判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由。 例2.如图,OA=OB=13cm,AB=24cm,⊙O的半径为5cm,AB与⊙O相切吗? 为什么? 例3.如图,PA、PB是⊙O的切线,切点为A、B,C是⊙O上一点,若∠P=40。 , 求∠C的度数。 例4.如图所示,中,,以AC为直径作⊙O交AB于D,E为BC中点。 求证: DE是⊙O的切线. 中考链接 1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,AB经过圆心O,且与小圆相交于点A,与大圆相交于点B,小圆的切线AC与大圆相交于点D,且CO平分∠ACB. 试判断BC所在直线与小圆的位置关系,并说明理由。 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90。 ,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A, 判断BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论。 七.切线长定理 考点速览: 考点1 切线长概念: 经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 切线长和切线的区别 切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量. 考点2 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 要注意: 此定理包含两个结论,如图,PA、PB切⊙O于A、B两点, ①PA=PB②PO平分. 考点3 两个结论: 圆的外切四边形对边和相等; 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长. 经典例题: 例1已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点,若PO=13㎝,的周长为24㎝, 求: ①⊙O的半径;②若,的度数. 例2如图,⊙O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F,若. (1)求AD、BE、CF的长; (2)当,求内切圆半径r. 例3.如图,一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为? 考点速练1: 1.如图,⊙O是的内切圆,D、E、F为切点, ,则. . 2.直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝,则此直角三角形的外接圆半径为㎝,内切圆半径为㎝. 3.如图,直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G,且AB∥CD,若OB=6㎝,OC=8㎝,则,⊙O的半径=㎝,BE+CG=㎝. 八.三角形内切圆 考点速览 考点1 概念: 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形. 概念推广: 和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形. 考点2 三角形外接圆与内切圆比较: 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC; (2)外心不一定在三角形的内部. 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三边的距离相等; (2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB; (3)内心在三角形内部. 考点3
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