中考数学易错题专题训练反比例函数练习题含详细答案doc.docx
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中考数学易错题专题训练-反比例函数练习题含详细答案
一、反比例函数
1.如图,反比例函数y=的图象经过点A(﹣1,4),直线y=﹣x+b(b≠0)与双曲线y=
在第二、四象限分别相交于P,Q两点,与x轴、y轴分别相交于C,D两点.
(1)求k的值;
(2)当b=﹣2时,求△OCD的面积;
(3)连接OQ,是否存在实数b,使得S△ODQ=S△OCD?
若存在,请求出b的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:
∵反比例函数y=的图象经过点A(﹣1,4),
∴k=﹣1×4=﹣4;
(2)解:
当b=﹣2时,直线解析式为y=﹣x﹣2,
∵y=0时,﹣x﹣2=0,解得x=﹣2,
∴C(﹣2,0),
∵当x=0时,y=﹣x﹣2=﹣2,
∴D(0,﹣2),
∴S△OCD=×2×2=2
(3)解:
存在.
当y=0时,﹣x+b=0,解得x=b,则C(b,0),
∵S△ODQ=S△OCD,
∴点Q和点C到OD的距离相等,
而Q点在第四象限,
∴Q的横坐标为﹣b,
当x=﹣b时,y=﹣x+b=2b,则Q(﹣b,2b),
∵点Q在反比例函数∴﹣b?
2b=﹣4,解得
y=﹣b=﹣
的图象上,
或b=
(舍去),
∴b的值为﹣.
【解析】【分析】
(1)根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得
k=﹣4;
(2)当b=﹣2
时,直线解析式为
y=﹣x﹣2,则利用坐标轴上点的坐标特征可求出
C(﹣2,0),D(0,
﹣2),然后根据三角形面积公式求解;(
3)先表示出C(b,0),根据三角形面积公
式,由于S△
△
Q的横坐标为(﹣b,
ODQ=SOCD,所以点Q和点C到OD的距离相等,则
0),利用直线解析式可得到
Q(﹣b,2b),再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得
到﹣b?
2b=﹣4,然后解方程即可得到满足条件的
b的值.
2.如图,一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的图象交于点A(4,m)和B(﹣8,﹣
2),与y轴交于点C.
(1)m=________,k1=________;
(2)当x的取值是________时,k1x+b>
;
(3)过点A作AD⊥x轴于点D,点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线
OP
与线段AD交于点E,当S四边形ODAC:
S△ODE=3:
1时,求点P的坐标.
【答案】
(1)4;
(2)﹣8<x<0或x>4
(3)解:
由
(1)知,y1=
x+2与反比例函数y2=
,
∴点C的坐标是(0,2),点A
的坐标是(4,4).
∴CO=2,AD=OD=4.
∴S
=
?
OD=
×4=12,
梯形ODAC
∵S
:
S
=3:
1,
四边形ODAC
△ODE
∴S△ODE=
S梯形ODAC=
×12=4,
即OD?
DE=4,
∴DE=2.
∴点E的坐标为(4,2).
又点E在直线OP上,
∴直线OP的解析式是y=x,
∴直线OP与y2=的图象在第一象限内的交点P的坐标为(4,2).
【解析】【解答】解:
(
1)∵反比例函数y2=
的图象过点B(﹣8,﹣2),
∴k2=(﹣
8)×(﹣2)=16,
即反比例函数解析式为y2=,
将点A(4,m)代入y2=
,得:
m=4,即点A(4,4),
将点A(4,4)、B(﹣8,﹣2)代入y1=k1x+b,
得:
,
解得:
,
∴一次函数解析式为y1=x+2,
故答案为:
4,;
(2)∵一次函数y1=k1x+2
与反比例函数
y2=的图象交于点
A(4,
4)和B(﹣8,﹣2),
∴当y1
2
时,x的取值范围是﹣8<x<0或x>4,
>y
故答案为:
﹣8<x<0或x>4;
【分析】(
1)由A与B为一次函数与反比例函数的交点,将
B坐标代入反比例函数解析
式中,求出
k2
的值,确定出反比例解析式,再将
A的坐标代入反比例解析式中求出
m的
值,确定出
A的坐标,将B坐标代入一次函数解析式中即可求出
k1的值;
(2)由A与B
横坐标分别为
4、﹣8,加上0,将x轴分为四个范围,由图象找出一次函数图象在反比例
函数图象上方时
x的范围即可;(3)先求出四边形
ODAC的面积,由
S四边形ODAC:
S△ODE=3:
1得到△ODE的面积,继而求得点E的坐标,从而得出直线OP的解析式,结合反比例函数解析式即可得.
3.如图,一次函数y=kx+b(k<0)与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,一次函数
的图象与y轴相交于点C,已知点A(4,1)
(1)求反比例函数的解析式;
(2)连接OB(O是坐标原点),若△BOC的面积为3,求该一次函数的解析式.
【答案】
(1)解:
∵点A(4,1)在反比例函数y=的图象上,∴m=4×1=4,
∴反比例函数的解析式为y=
(2)解:
∵点B在反比例函数y=的图象上,∴设点B的坐标为(n,).
将y=kx+b代入y=中,得:
kx+b=,整理得:
kx2+bx﹣4=0,
∴4n=﹣,即nk=﹣1①.令y=kx+b中x=0,则y=b,
即点C的坐标为(0,b),
∴S△BOC=bn=3,
∴bn=6②.
∵点A(4,1)在一次函数y=kx+b的图象上,
∴1=4k+b③.
联立①②③成方程组,即,
解得:
,
∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3
【解析】【分析】
(1)由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义,即可求出m的
值;
(2)设点B的坐标为(n,),将一次函数解析式代入反比例函数解析式中,利用
根与系数的关系可找出n、k的关系,由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系,再由
点A在一次函数图象上,可找出k、b的关系,联立3个等式为方程组,解方程组即可得出结论.
4.已知点A,B分别是x轴、y轴上的动点,点C,D是某个函数图象上的点,当四边形
ABCD(A,B,C,D各点依次排列)为正方形时,我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣
正方形”.
例如:
在图1中,正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”.
(1)如图1,若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长;
(2)如图2,若某函数是反比例函数
(k>0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,
点D(2,m)(m<2)在反比例函数图象上,求
m的值及反比例函数的解析式;
(3)如图3,若某函数是二次函数
y=ax2+c(a≠0),它的图象的“伴侣正方形”为ABCD,
C,D中的一个点坐标为(
3,4),请你直接写出该二次函数的解析式.
【答案】
(1)解:
(I)当点A在x轴正半轴、点
B在y轴负半轴上时:
正方形ABCD的边长为
.
(II)当点A在x轴负半轴、点
B在y轴正半轴上时:
设正方形边长为a,易得3a=
,
解得a=,此时正方形的边长为.
∴所求“伴侣正方形”的边长为或
(2)解:
如图,作DE⊥x轴,CF⊥y轴,垂足分别为点E、F,
易证△ADE≌△BAO≌△CBF.
∵点D的坐标为(2,m),m<2,
∴DE=OA=BF=m,
∴OB=AE=CF=2﹣m.
∴OF=BF+OB=2,
∴点C的坐标为(2﹣m,2).
∴2m=2(2﹣m),解得m=1.
∴反比例函数的解析式为y=
(3)解:
实际情况是抛物线开口向上的两种情况中,另一个点都在(
口向下时,另一点都在(3,4)的右侧,与上述解析明显不符合
3,4)的左侧,而开
a、当点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,点C坐标为(3,4)时:
另外一个顶
点为(4,1),对应的函数解析式是
y=﹣x2+;
b、当点A在x轴正半轴上,点
B在y轴正半轴上,点
D坐标为(3,4)时:
不存在,
c、当点A在x轴正半轴上,点
B在y轴负半轴上,点
C坐标为(3,4)时:
不存在
d、当点A在x轴正半轴上,点
B在y轴负半轴上,点
D坐标为(3,4)时:
另外一个顶
点C为(﹣1,3),对应的函数的解析式是y=x2+
;
e、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点
C坐标为(3,4)时,另一个顶点D
的坐标是(7,﹣3)时,对应的函数解析式是y=﹣
x2+;
f、当点A在x轴负半轴上,点B在y轴负半轴上,点
C坐标为(3,4)时,另一个顶点D
的坐标是(﹣4,7)时,对应的抛物线为y=x2+;
故二次函数的解析式分别为:
y=x2+或y=﹣x2+
或y=﹣x2+
或y=x2+
【解析】【分析】
(1)先正确地画出图形,再利用正方形的性质确定相关点的坐标从而计
算正方形的边长.
(2)因为ABCD为正方形,所以可作垂线得到等腰直角三角形,利用点
D(2,m)的坐标
表示出点C的坐标,可求出
m的值,即可得到反比例函数的解析式.
(3)由抛物线开口既可能向上,也可能向下.当抛物线开口向上时,正方形的另一个顶点
也是在抛物线上,这个点既可能在点(3,4)的左边,也可能在点(3,4)的右边,过点
(3,4)向x轴作垂线,利用全等三角形确定线段的长即可确定抛物线上另一个点的坐标;当抛物线开口向下时也是一样地分为两种情况来讨论,即可得到所求的结论.
5.一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象相交于
y轴交于点C,与x轴交于点D,点D的坐标为(﹣1,0),点A
tan∠CDO=2.过点B作BH⊥y轴交y轴于H,连接AH.
A,B两点,与
的横坐标是1,
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△ABH面积.
【答案】
(1)解:
∵点D的坐标为(﹣1,0),tan∠CDO=2,
∴CO=2,即C(0,2),
把C(0,2),D(﹣1,0)代入y=ax+b可得,
,解得,
∴一次函数解析式为y=2x+2,
∵点A的横坐标是1,
∴当x=1时,y=4,即A(1,4),
把A(1,4)代入反比例函数y=,可得k=4,
∴反比例函数解析式为y=
(2)解:
解方程组
,可得
或
,
∴B(﹣2,﹣2),
又∵A(1,4),BH⊥y
轴,
∴△ABH面积=×(2×4+2)=6.
【解析】【分析】
(1)先由tan∠CDO=2可求出C坐标,再把D点坐标代入直线解析式,
可求出一次函数解析式,再由直线解析式求出A坐标,代入双曲线解析式,可求出双曲线
解析式;
(2)△ABH面积可以BH为底,高=yA-yB=4-(-2)=6.
6.如图1,经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C;与双曲线y=相交
于点A,B;直线AB与分别与x轴、y轴交于点D,E.已知点A的坐标为(﹣
1,4),点
B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等.
(1)求双曲线和抛物线的解析式;
(2)计算△ABC的面积;
(3)如图2,将抛物线平移至顶点在原点上时,直线半轴上是否存在点P,使△PAB的内切圆的圆心在
AB随之平移,试判断:
在
y轴上?
若存在,求出点P
y轴的负
的坐标;若
不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:
把点A的坐标代入双曲线的解析式得:
k=﹣1×4=﹣4.
所以双曲线的解析式为y=﹣.
设点B的坐标为(m,﹣m).
∵点B在双曲线上,
∴﹣m2=﹣4,解得m=2或m=﹣2.
∵点B在第四象限,
∴m=2.
∴B(2,﹣2).
将点A、B、C的坐标代入得:
,
解得:
.
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x.
(2)解:
如图1,连接AC、BC.
令y=0,则x2﹣3x=0,∴x=0或x=3,
∴C(3,0),
∵A(﹣1,4),B(2,﹣2),∴直线AB的解析式为y=﹣2x+2,∵点D是直线AB与x轴的交点,∴D(1,0),
∴S△ABC=S△ADC+S△BDC=×2×4+×2×;2=6
(3)解:
存在,理由:
如图2,
由原抛物线的解析式为y=x2﹣3x=(x﹣)2﹣,
∴原抛物线的顶点坐标为(,﹣),
∴抛物线向左平移个单位,再向上平移而平移前A(﹣1,4),B(2,﹣2),
个单位,
∴平移后点A(﹣,),B(,),
∴点A关于y轴的对称点A'(,),
连接A'B并延长交y轴于点P,连接AP,
由对称性知,∠APE=∠BPE,
∴△APB的内切圆的圆心在y轴上,
∵B(,),A'(,),
∴直线A'B的解析式为y=3x﹣,
∴P(0,﹣).
【解析】【分析】
(1)首先将点A的坐标代入反比例函数的解析式求得k的值,然后再
求得B的值,最后根据点A的坐标求出双曲线的解析式,进而得出点B的坐标,最后,将
点A、B、O三点的坐标代入抛物线的解析式,求得a、b、c的值即可;
(2)由点A和点B的坐标可求得直线AB的解析式,然后将y=0可求得点D的横坐标,最
后用三角形的面积和求解即可;
(3)先确定出平移后点A,B的坐标,进而求出点A关于y轴的对称点的坐标,求出直线
BA'的解析式即可得出点
P的坐标
.
7.已知:
O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y=(k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为
s,且s=1+.
(1)当n=1时,求点A的坐标;
(2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠,求OP2的最小值.
【答案】
(1)解:
过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m,
当n=1时,s=,
∴a==.
(2)解:
解法一:
∵OP=AP,PA⊥OP,∴△OPA是等腰直角三角形.
∴m=n=.
∴1+=?
an.即n4﹣4n2+4=0,
∴k2﹣4k+4=0,
∴k=2.
解法二:
∵OP=AP,PA⊥OP,
∴△OPA是等腰直角三角形.
∴m=n.
设△OPQ的面积为s1
则:
s1=∴?
mn=(1+),
即:
n4﹣4n2+4=0,
∴k2﹣4k+4=0,
∴k=2.
(3)解:
解法一:
∵PA⊥OP,PQ⊥OA,
∴△OPQ∽△OAP.
设:
△OPQ的面积为s1,则=
即:
=化简得:
化简得:
2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0
(k﹣2)(2k﹣n4)=0,
∴k=2或k=(舍去),
∴当n是小于20的整数时,k=2.
∵OP2=n2+m2=n2+又m>0,k=2,
∴n是大于0且小于20的整数.当n=1时,OP2=5,
当n=2时,OP2=5,
当n=3时,OP2=32+=9+=,
当n是大于3且小于20的整数时,
即当n=4、5、619时,OP2的值分别是:
2
2
、6
2
+
2
,
4+
、5+
19+
∵192+>182+>32+>5,
∴OP2的最小值是5.
【解析】【分析】
(1)利用△OPA面积定义构建关于a的方程,求出A的坐标;
(2)由
已知OP=AP,PA⊥OP,可得△OPA是等腰直角三角形,由其面积构建关于n的方程,转化
为k的方程,求出k;(3)利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程,
最值问题的基本解决方法就是函数思想,利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的
范围内求出OP2的最值.
8.如图,直线y=kx与双曲线=-交于A、B两点,点C为第三象限内一点.
(1)若点A的坐标为(a,3),求a的值;
(2)当k=-,且CA=CB,∠ACB=90°时,求C点的坐标;
(3)当△ABC为等边三角形时,点C的坐标为(m,n),试求m、n之间的关系式.
【答案】
(1)解:
把(a,3)代入=-,得,解得a=-2;
(2)解:
连接CO,作AD⊥y轴于D点,作CE垂直y轴于E点,
则∠ADO=∠CEO=90°,
∴∠DAO+∠AOD=90,°
∵直线y=kx与双曲线=-交于A、B两点,∴OA=OB,
当CA=CB,∠ACB=90°时,∴CO=AO,∠BOC=90°,即∠COE+∠BOE=90°,
∵∠AOD=∠BOE,∴∠DAO=∠EOC,
∴△ADO≌△OEC,
又k=-
,由
y=-
x和
y=-
解得
,
,所以
A点坐标为(-
2,3),
由△ADO≌△OEC得,CE=OD=3,EO=DA=2,
所以C(-3,-2);
(3)解:
连接CO,作AD⊥y轴于D点,作CE⊥y轴于E点,
则∠ADO=∠CEO=90°,
∴∠DAO+∠AOD=90,°
∵直线y=kx与双曲线=-交于A、B两点,∴OA=OB,
∵△ABC为等边三角形,∴CA=CB,∠ACB=60,°∠BOC=90,°即∠COE+∠BOE=90,°∵∠AOD=∠BOE,∴∠DAO=∠EOC,
∴△ADO∽△OEC,
∴,
∵∠ACO=∠ACB=30,°∠AOC=90,°∴,
∵C的坐标为(m,n),∴CE=-m,OE=-n,∴AD=-n,OD=-m,
∴A(
n,-
m),代入y=-中,
得mn=18.
【解析】【分析】
(1)将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出
a的值;
(2)连接
CO,作AD⊥y轴于D点,作CE垂直y轴于E点,根据垂直的定义得出
∠ADO=∠CEO=90,°故∠DAO+∠AOD=90,°根据双曲线的对称性得出
OA=OB,当CA=CB,
∠ACB=90时°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出
CO=AO,∠BOC=90°,即∠COE+∠BOE=90°,根据等角的余角相等得出
∠DAO=∠EOC,从而
利用AAS判断出△ADO≌△OEC,,解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组,得出
A
点的坐标,由△ADO≌△OEC得,CE=OD=3,EO=DA=2,进而得出C点坐标;
(3)连接CO,作AD⊥y轴于D点,作CE⊥y轴于E点,根据垂直的定义得出
∠ADO=∠CEO=90,°故∠DAO+∠AOD=90,°根据双曲线的对称性得出
OA=OB,△ABC为等
边三角形,故CA=CB,∠ACB=60°,∠BOC=90°,即∠COE+∠BOE=90°,根据等角的余角相等得出∠DAO=∠EOC,从而判断出△ADO∽△OEC,根据相似三角形的旋转得出
根据锐角三角函数的定义,及特殊锐角三角函数值得出
m,从而得出
C的坐标为(m,n),故CE=-m,OE=-n,AD=-
A点的坐标,再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.
n,OD=-
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=k
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